INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Calcolo di funzioni non lineari

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1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Calcolo di funzioni non lineari Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: crossi@deis.unibo.it

2 Calcolo di funzioni non lineari Si considerano funzioni statiche di una variabile reale y = f x Si applica anche a funzioni multivariabile, ma difficile per più di due variabili y = f ( x1,, x n ) Si applica anche al calcolo di sistemi dinamici non lineari x y ( ) ( n + 1) = f ( x( n), u( n) ) ( n) = g( x( n), u( n) )

3 Calcolo di funzioni non lineari Tre metodi base look-up table: è il più generale, non richiede l equazione della funzione; su processori senza moltiplicatore HW è in genere anche il puù veloce algoritmo iterativo: disponibile solo per alcune funzioni; può essere il più preciso, ma anche il più lento sviluppo polinomiale: solamente per funzioni sufficientemente smooth, richiede interpolazione polinomiale per funzioni disponibili solamente in forma tabellare o per funzioni complesse; può essere il più veloce su processori con moltiplicatori HW (DSP) Metodi misti combinazione polinomiale di funzioni di base tabellate

4 Look-up table Due casi: con o senza interpolazione Senza interpolazione con campioni equispaziati definizione della tabella con punti campione y = ( ) i x i indirizzamento della tabella x x = N min xmax xmin addr = base + se il passo è una potenza di due, per il calcolo di è sufficiente utilizzare i bit più significativi di x-x min se il passo non è una potenza di due, moltiplicazione per una costante può richiedere messa in scala f

5 Look-up table l errore può generalmente essere ridotto definendo valori campione ~ y + y y = i i+ i 1 i = 0,1,, N 1 2 l assunzione di punti equispaziati può essere onerosa, specialmente per curve con curvatura fortemente variabile si può suddividere il range in intervalli dove è di nuovo possibile applicare la spaziatura equidistante si può utilizzare una ricerca binaria su un vettore non equispaziato soluzioni precedenti costose e poco flessibili numero di punti cresce velocemente con la precisione richiesta si preferisce in questi casi l utilizzo dell interpolazione

6 Look-up table Look-up table con interpolazione lineare in questo caso l uscita viene calcolata come yi y y = y i i ( x xi ) xi+ 1 xi per il calcolo dell indice i valgono le considerazioni fatte per il caso senza interpolazione per una implementazione efficiente si memorizzano tre tabelle campioni di x campioni di y valori della pendenza la pendenza può violare i limiti frazionari messa in scala la richiesta di memoria per ottenere un dato errore può essere significativamente minore del caso senza interpolazione molto più flessibile

7 Look-up table Spesso si hanno più funzioni non lineari nella stessa variabile x Conviene definire lo stesso vettore di punti campione (breakpoint) di x si centralizza il calcolo dell indice e del rapporto x x i r = i xi+1 xi si calcolano separatamente per la uscita k ( y y ) y k = yk, i + r k, i+ 1 k, i Si veda le funzioni di look-up table su Matlab

8 Sviluppo in serie polinomiale Si utilizza lo sviluppo in serie di una funzione troncando ad un dato ordine y = p + p x + p x 2 n p n x Anche con matematica ideale esiste un errore associato Le espansioni in serie di potenze standard possono dare risultati pessimi espansione nell intorno di punti standard ottimizzazione dei coefficienti per minimizzazione dell errore Coefficienti fuori dal range frazionario messa in scala Attenzione agli errori introdotti dalla quantizzazione dei coefficienti e delle variabili l errore può essere più grande del previsto

9 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Calcolo di funzioni non lineari - fine Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: crossi@deis.unibo.it