Leonardo Sasso. Algebra. a colori. Nuova Matematica. con Probabilità ed elementi di Informatica CD-ROM. Edizione GIALLA per la riforma.

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1 Leonrdo Ssso Nuov Mtemtic colori Algebr con Probbilità ed elementi di Informtic CD-ROM Edizione GIALLA per l riform. Primo biennio

2 Simboli utilizzti nel testo B INSIEMI NUMERICI N insieme dei numeri nturli, compreso lo zero N f0g insieme dei numeri nturli, escluso lo zero Z insieme dei numeri interi Q insieme dei numeri rzionli R insieme dei numeri reli Z þ (Z ) insieme dei numeri interi positivi (negtivi) Q þ (Q ) insieme dei numeri rzionli positivi (negtivi) R þ (R ) insieme dei numeri reli positivi (negtivi) Z þ 0 insieme dei numeri interi positivi, compreso lo zero Q þ 0 insieme dei numeri rzionli positivi, compreso lo zero R þ 0 insieme dei numeri reli positivi, compreso lo zero B INSIEMI pprtiene = non pprtiene j tle che : tle che 9 esiste 8 per ogni insieme vuoto è contenuto è strettmente contenuto [ unione \ intersezione differenz A U complementre dell insieme A rispetto ll insieme U (, b) coppi ordint prodotto crtesino B LOGICA V vero F flso equivlenz tr proposizioni p negzione dell proposizione p _ o ^ e ) se... llor (impliczione), se e solo se (doppi impliczione) B RELAZIONI E FUNZIONI R relzione f : A! B funzione d A B f : 7! y funzione f che ssoci ll elemento l elemento y f funzione invers di f g f funzione compost di f e g B ALGEBRA ugule 6 diverso circ ugule < minore > mggiore minore o ugule mggiore o ugule più o meno jj vlore ssoluto di n potenz n-esim di np ffiffiffi rdice n-esim di M.C.D. mssimo comune divisore m.c.m. minimo comune multiplo C.E. condizioni di esistenz discriminnte B GEOMETRIA k prllelo? perpendicolre coincidente ffi congruente : equivlente simile A misur dell grndezz A! v vettore S simmetri rispetto ll sse S O simmetri rispetto ll origine S y simmetri rispetto ll sse y S y simmetri rispetto ll bisettrice del primo e del terzo qudrnte S r simmetri rispetto ll rett r S P simmetri rispetto l punto P T! trslzione di vettore! v v R O, rotzione di centro O e ngolo di rotzione! O,k omoteti di centro O e rpporto di omoteti k B ALFABETO GRECO Minuscolo lf bet gmm delt epsilon " zet et tet, # iot cpp lmbd mu nu i omicron o pi ro sigm tu ipsilon fi chi psi omeg! Miuscolo Alf Bet Gmm Delt Epsilon Zet Et Tet Iot Cpp Lmbd Mu Nu Xi Omicron Pi Ro Sigm Tu Ipsilon Fi Chi Psi Omeg A B E Z H I K M N O P T X Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

3 Formulrio B B B B B B B VALORE ASSOLUTO jj se 0 se < 0 PROPRIETÀ DELLE POTENZE m n m þ n ; m : n m n ; ð m Þ n mn ðbþ n n b n n n b b n n n se 6 0 e n N PRODOTTI NOTEVOLI ða þ BÞ A þ AB þ B ða þ BÞ 3 A 3 þ 3A B þ 3AB þ B 3 ða þ B þ CÞ A þ B þ C þ AB þ AC þ BC SCOMPOSIZIONI IN FATTORI A B ða BÞðA þ BÞ A 3 B 3 ða BÞðA þ AB þ B Þ A 3 þ B 3 ða þ BÞðA AB þ B Þ X þðp þ QÞX þ PQ ðx þ PÞðX þ QÞ RADICALI np ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffi m npp mp 0 pffiffiffiffiffi jj np ffiffiffi ffiffiffi np ffiffiffiffiffi b np b (se n è pri, 0eb0Þ np ffiffiffi rffiffiffiffiffi n np ffiffiffi (se n è pri, 0eb > 0Þ b b p ffiffiffi p ffiffiffi b b > 0 b b 3p ffiffiffi b 3p ffiffiffiffiffi b b 6 0 b pffiffiffi pffiffi ð pffiffiffi pffiffi b c Þ b > 0, c > 0eb6 c b c b c ffiffiffiffiffiffi m n np m 0 LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO b 0 se e solo se 0ob 0 PROPRIETÀ DELLE DISUGUAGLIANZE 3 Se < b e c > 0, llor c < bc 3 Se < b e c < 0, llor c > bc B B B EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 3 þ b þ c 0, 6 0 pffiffiffiffi b se > 0,,, b 4c se0, b se < 0, non ci sono soluzioni reli MATRICI Determinnte di c GEOMETRIA ANALITICA b b d c d d bc 3 Distnz tr i punti Að, y Þ e Bð, y Þ: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð Þ þðy y Þ 3 Punto medio del segmento di estremi Að, y Þ e Bð, y Þ: þ y þ y, 3 Vertice dell prbol di equzione y þ b þ c: b,, dove b 4c 4 3 Asse dell prbol di equzione y þ b þ c: b 3 Rett pssnte per Pð 0, y 0 Þ di coefficiente ngolre m: y y 0 mð 0 Þ 3 Condizione di prllelismo per due rette di coefficienti ngolri m ed m 0 : m m 0 3 Condizione di perpendicolrità per due rette di coefficienti ngolri m ed m 0 : mm 0 3 Coefficiente ngolre dell rett pssnte per Að, y Þ e Bð, y Þ, con 6 : y y B PROBABILITÀ Probbilità di un evento E in uno spzio finito equiprobbile: numero di csi fvorevoli pðeþ numero di csi possibili Probbilità dell evento unione e dell evento contrrio pða [ BÞ pðaþþpðbþpða \ BÞ pðaþ pðaþ Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

4 Indice Prim di comincire... TEMA A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Unità Frzioni lgebriche Introduzione lle frzioni lgebriche 4 Semplificzione di frzioni lgebriche 8 3 Addizioni e sottrzioni tr frzioni lgebriche 9 4 Moltipliczioni, divisioni e potenze tr frzioni lgebriche Sintesi e riepilogo 6 ESERCIZI 7 Unità Equzioni di primo grdo frzionrie e letterli Equzioni frzionrie 35 Equzioni letterli 37 3 Problemi che hnno come modello equzioni frzionrie o letterli 4 Sintesi e riepilogo 45 ESERCIZI 45 Lbortorio di informtic 58 Verso le competenze 60 Verso le prove Invlsi 6 TEMA B I numeri reli Unità 3 Insieme R Richimi sugli insiemi numerici 66 Approssimzioni ed errori 69 3 Propgzione degli errori 7 Mtemtic nell stori I numeri reli dll scuol Pitgoric lle teorie di Cntor e Dedekind 76 Mtemtic nell reltà I numeri e i clcoltori 77 Sintesi e riepilogo 78 ESERCIZI 79 Unità 4 Rdicli Introduzione i rdicli 88 Riduzione llo stesso indice e semplificzione 94 VI 3 Prodotto, quoziente, elevmento potenz ed estrzione di rdice di rdicli 97 4 Trsporto dentro e fuori dl segno di rdice 99 5 Addizioni e sottrzioni di rdicli ed espressioni irrzionli 03 6 Rzionlizzzioni 05 7 Equzioni e disequzioni lineri coefficienti irrzionli 07 8 Potenze con esponente rzionle 08 Sintesi e riepilogo ESERCIZI 3 Lbortorio di informtic 43 Verso le competenze 46 Verso le prove Invlsi 48 TEMA C Sistemi lineri e rett Unità 5 Sistemi lineri Introduzione i sistemi 5 Metodo di sostituzione 57 3 Metodo del confronto 60 4 Metodo di ddizione e sottrzione 6 5 Metodo di Crmer e criterio dei rpporti 64 Mtemtic nell stori Gbriel Crmer 68 6 Sistemi frzionri 69 7 Sistemi lineri di tre equzioni in tre incognite 70 8 Problemi che hnno come modello sistemi lineri 73 Sintesi e riepilogo 77 ESERCIZI 78 Unità 6 Rette nel pino crtesino Richimi sul pino crtesino 04 Distnz tr due punti 06 3 Punto medio di un segmento 09 4 L funzione linere 0 5 L equzione generle dell rett nel pino crtesino 6 Rette prllele e posizione reciproc di due rette 7 III Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

5 7 Rette perpendicolri 9 8 Come determinre l equzione di un rett 0 9 Distnz di un punto d un rett 4 0 Problemi che hnno modelli lineri 5 Sintesi e riepilogo 7 ESERCIZI 8 Lbortorio di informtic 53 Verso le competenze 57 Verso le prove Invlsi 6 TEMA D Equzioni, disequzioni e sistemi di secondo grdo Unità 7 Equzioni di secondo grdo e prbol Introduzione lle equzioni di secondo grdo 66 Le equzioni di secondo grdo: il cso generle 69 3 Equzioni di secondo grdo frzionrie 76 4 Equzioni di secondo grdo letterli 77 5 Relzioni tr le soluzioni e i coefficienti di un equzione di secondo grdo 80 6 Scomposizione di un trinomio di secondo grdo 8 7 Condizioni sulle soluzioni di un equzione prmetric 83 8 Problemi che hnno come modello equzioni di secondo grdo 85 9 L prbol e l interpretzione grfic di un equzione di secondo grdo 88 Mtemtic nell stori Stori delle equzioni di secondo grdo 94 Sintesi e riepilogo 95 ESERCIZI 96 Unità 8 Disequzioni di secondo grdo e frzionrie Richimi sulle disequzioni 335 Le disequzioni di secondo grdo Le disequzioni frzionrie I sistemi di disequzioni contenenti disequzioni di secondo grdo o frzionrio Problemi che hnno come modello disequzioni di secondo grdo 350 Sintesi e riepilogo 35 ESERCIZI 353 Unità 9 Sistemi di secondo grdo Sistemi di secondo grdo 379 Sistemi frzionri Sistemi di secondo grdo con più di due incognite Problemi che hnno come modello sistemi di secondo grdo 388 Sintesi e riepilogo 390 ESERCIZI 39 Lbortorio di informtic 405 Verso le competenze 4 Verso le prove Invlsi 47 TEMA E Dti e previsioni Unità 0 Probbilità Introduzione l clcolo delle probbilità 4 Vlutzione dell probbilità secondo l definizione clssic 48 3 I primi teoremi sul clcolo delle probbilità Probbilità composte ed eventi indipendenti 435 Mtemtic nell stori L nscit e gli sviluppi del clcolo delle probbilità 439 Sintesi e riepilogo 44 ESERCIZI 44 Lbortorio di informtic 460 Verso le competenze 463 Verso le prove Invlsi 466 Verso le prove OCSE-Pis 469 Risposte lle prove di utoverific 47 Glossrio 475 Indice nlitico 484 IV Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

6 Risorse multimedili Esercizi interttivi (CD-ROM e online) Informtic multimedile (CD-ROM) Mterili per il volume Algebr (CD-ROM): Complementi e pprofondimenti Problemi di progrmmzione linere Esercizi con trcci guidt Figure dinmiche Mterili per il Lbortorio di informtic Schede introduttive su Ecel, GeoGebr, Derive D l ccesso l portle studente di zonmtemtic consente di cimentrsi utonommente con prove di utoverific (le stesse presenti nche nel CD-ROM, m costntemente ggiornte e implementte), oppure di eseguire le prove personlizzte che il docente ssegnerà ll clsse. V Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

7 Prim di comincire... Unosgurdo sull mtemtic di oggi Prim di comincire... Il Novecento è stto il secolo dell mtemtic: in cento nni si sono dimostrti più teoremi che nell intero corso dell stori! Molte teorie sono stte riprese e hnno vuto notevoli ppliczioni prtiche, mentre celebri problemi, irrisolti d secoli, hnno trovto un soluzione. Il Congresso degli Stti Uniti, negli nni Ottnt, h dichirto con un propri legge l mtemtic «un risors strtegic». Le Nzioni Unite hnno dichirto l nno 000 l Anno Mondile dell Mtemtic. D dove nsce tnto interesse nei confronti dell mtemtic? L rispost è semplice: ess fornisce strumenti essenzili per molti settori dell scienz e dell tecnologi. Per esempio, l mtemtic h un ruolo fondmentle: in eronutic: l mtemtic è stt essenzile per l costruzione degli erei di nuov generzione 767, 777 e Airbus; in informtic: softwre di generzioni recenti sono bsti su teorie lgebriche e logiche vnzte; in meteorologi: le previsioni del tempo sono fondte su complessi modelli mtemtici; in medicin: l mtemtic è stt impiegt per l relizzzione di nuovi strumenti di indgine dignostic quli per esempio l TAC (tomogrfi ssile computerizzt); l sttistic, inoltre, è ll bse dell nlisi di dti medici ed epidemiologici e del monitorggio di dti frmcologici; in biologi: lo studio dell evoluzione di popolzioni pprtenenti vrie specie è bsto su modelli mtemtici; L scienz e l tecnologi utilizzno, dunque, teorie mtemtiche sempre più sofisticte. Per questo motivo, negli ultimi nni sono nte nuove figure professionli, in grdo di utilizzre l mtemtic per scopi diversi. Tli figure sono richieste per esempio: nei centri di ricerc di tutte le grndi bnche; nelle ssicurzioni; nelle imprese che sviluppno softwre; nei centri di ricerc di piccole e grndi industrie. VI Sembr proprio che l mtemtic si il linguggio del terzo millennio, senz il qule non srà possibile comprendere l scienz e le tecnologie del futuro! Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

8 Qulche consiglio per «studire mtemtic» e per utilizzre questo libro Questo testo h diversi scopi: continure lo sviluppo delle competenze mtemtiche che hi cquisito nei corsi precedenti; introdurre il linguggio di bse dell lgebr e preprrti d ffrontre i corsi successivi di mtemtic; frti scoprire lcune ppliczioni dell mtemtic nel mondo in cui vivimo; contribuire frti cquisire quegli strumenti scientifici sempre più essenzili per prtecipre ll vit socile con conspevolezz e cpcità critic. Prim di comincire... Per rggiungere questi scopi, ti dimo qulche consiglio su come studire mtemtic. Lo studio dell mtemtic, come hi già vuto modo di consttre, richiede impegno e prtecipzione. Non puoi imprre molto limitndoti d ssistere lle lezioni: devi prtecipre, porti domnde e confrontrti, nche d solo, con problemi ed esercizi. 4 7 È importnte che studi mtemtic con regolrità: potri così ssimilre più gevolmente i concetti e il tuo insegnnte potrà più fcilmente iutrti superre le difficoltà. 3 Dovresti leggere le lezioni di questo libro e cercre di cpire ciò che hi letto. A questo proposito ti dimo lcuni suggerimenti: leggi lentmente, prestndo ttenzione ogni prol e i simboli; cerc nel glossrio il significto di ogni prol che non conosci o di cui non ricordi il significto; rileggi le prti che non ti risultno chire; prov rifre d solo gli esempi che compiono svolti nel testo; ll fine di ogni prgrfo, prim di proseguire, controll se hi cpito ciò che hi letto, cercndo di rispondere i quesiti che ti sono proposti nell rubric prov tu; costruisci schemi o mppe concettuli che possno iutrti nello studio; discuti i concetti che non ti sono chiri con qulche tuo compgno o con il tuo insegnnte. Risolvi gli esercizi che trovi l termine di ciscun Unità, suddivisi in prgrfi, con l iuto degli esempi forniti nell teori e degli esercizi svolti e guidti. Prim di inizire risolvere un esercizio, ricordti che spesso esiste più di un metodo per risolverlo: soffermti riflettere su qule può essere l strtegi migliore, invece di inizire immeditmente svolgere i clcoli! 6 5 Prest ttenzione i rimndi nel colonnino che indicno l disponibilità di mterili multimedili sul CD-ROM od online: potri trovre figure dinmiche per visulizzre meglio i concetti fondmentli presentti nell teori, test uto-correttivi che si ffincno lle prove di utoverific proposte nel libro, ttività interttive per llenrti nel Lbortorio di informtic, ulteriori complementi e pprofondimenti. Qundo risolvi un problem, non limitrti scrivere l tu soluzione: sforzti di illustrre ciò che sti fcendo edigiustificre i vri pssggi, con spiegzioni sintetiche m esurienti. Se non riesci rispondere un domnd o risolvere un esercizio immeditmente, non preoccuprti! Rileggi l lezione e gli esempi. Se puoi, bbndon momentnemente l questione e ffrontl in un secondo tempo. Qundo qulcos non ti è chiro, poni domnde e prlne con ltri. 8 Cerc di studire con spirito critico: l mtemtic non è solo clcolo, m soprttutto un form di pensiero. Nell epoc di innovzioni tecnologiche in cui vivimo, questo secondo spetto è sempre più essenzile: i clcoli si possono spesso demndre lle mcchine, mentre è essenzile sper rgionre in modo corretto, risolvere e porsi problemi, unire fntsi e rzionlità. A tutti uguro buon lvoro! L Autore VII Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

9 TEMA A Unità Frzioni lgebriche Unità Equzioni di primo grdo frzionrie e letterli PREREQUISITI 3Gli insiemi numerici 3Il clcolo letterle (monomi, polinomi e scomposizioni) 3Le equzioni di primo grdo intere COMPETENZE 3Individure strtegie pproprite per risolvere problemi che hnno come modello equzioni frzionrie o prmetriche CONOSCENZE 3Definire un frzione lgebric 3Spiegre che cos sono le condizioni di esistenz di un frzione lgebric 3Definire un equzione frzionri 3Definire un equzione letterle ABILITÀ 3Operre con le frzioni lgebriche Risolvere equzioni di primo grdo frzionrie 3 3 Risolvere e discutere semplici equzioni di primo grdo letterli Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

10 Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Abbimo visto che i polinomi sono modelli dtti descrivere molti problemi dell vit rele: essi, tuttvi, non consentono di descrivere tutte quelle situzioni in cui bisogn eseguire delle divisioni tr le vribili in gioco. Per potere ffrontre nche queste situzioni, dobbimo introdurre degli «oggetti mtemtici» più generli, costituiti dl rpporto di due polinomi; per esempio: s v k d 80ðn Þ n Espressioni di questo tipo si chimno frzioni lgebriche e si incontrno si in mtemtic si nelle vrie discipline scientifiche. s Per esempio le espressioni v e k hnno un d significto in fisic: l prim esprime il tempo impiegto d un corpo che si muove un velocità v (in km/h) per percorrere un distnz s (in km), mentre l second esprime un misur di qunto un sorgente luminos ppre «brillnte» un osservtore posto distnz d d ess (k indic un costnte che dipende dll sorgente luminos). 80ðn Þ Infine l espressione h un significto n in geometri, poiché esprime l misur (in grdi) di ciscun ngolo interno un poligono regolre di n lti. Nelle Unità che seguono illustreremo come si oper con le frzioni lgebriche e come si risolvono le equzioni in cui esse compiono. L intensità di luce, proveniente d un sorgente luminos puntiforme, che rriv su un determint superficie, è inversmente proporzionle l qudrto dell distnz d dll sorgente. Quest grndezz può essere espress, in funzione dell distnz d dll sorgente, trmite un frzione lgebric. Mtemtic in zione Un rgzzo nuot in un fiume velocità costnte. Egli impieg lo stesso tempo si per percorrere 500 metri in fvore di corrente si per percorrere 50 metri controcorrente. L velocità dell corrente è costnte e ugule km/h. Qul è l velocità cui nuot il rgzzo? Questo problem è discusso nell Unità d Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

11 Unità Frzioni lgebriche. Introduzione lle frzioni lgebriche Tem A Che cos è un frzione lgebric? Studindo gli insiemi numerici, bbimo osservto che nell insieme Z dei numeri interi non è sempre possibile eseguire l divisione; per potere sempre eseguire l divisione (con l esclusione dell divisione per 0), bbimo introdotto l insieme Q dei numeri rzionli. Anlogmente, nell Unità 9 del volume Algebr, prlndo di divisioni di polinomi bbimo osservto che l insieme dei polinomi ( coefficienti in Q o in R) non è chiuso rispetto ll divisione. In quest Unità introdurremo un insieme più mpio di quello dei polinomi, in cui nche l divisione è un operzione intern (sempre con l esclusione dell divisione per 0). Gli elementi di questo nuovo insieme sono le espressioni lgebriche che si presentno come rpporto di due polinomi: esse si dà un nome prticolre. FRAZIONE ALGEBRICA Si dice frzione lgebric ogni espressione lgebric dell form A B, dove A e B sono due polinomi e B è diverso dl polinomio nullo. I polinomi A e B si dicono termini dell frzione lgebric; precismente, A è il numertore e B è il denomintore. Per esempio, sono frzioni lgebriche le seguenti espressioni: þ þ þ b b L insieme formto dlle frzioni lgebriche che hnno denomintore ugule si può «identificre» con quello dei polinomi: possimo dire, quindi, che l insieme delle frzioni lgebriche è un mplimento dell insieme dei polinomi. Il dominio di un frzione lgebric Dl momento che un frzione lgebric rppresent un quoziente, ess è definit solo in corrispondenz dei vlori delle vribili per cui il denomintore è diverso d zero. ESEMPIO Considerimo l frzione lgebric. Ess non è definit qundo ; inftti, se sostituimo l posto di, ottenimo: 0 Espressione priv di significto 4 L insieme costituito d tutti i possibili vlori reli delle vribili per cui un frzione lgebric è definit si chim dominio (o insieme di definizione o insieme di esistenz) dell frzione lgebric: nel cso dell esempio precedente, il dominio dell frzione lgebric è R fg. Spesso, invece di indicre il dominio di un frzione lgebric, si indicno soltnto le condizioni che devono essere soddisftte perché l frzione lgebric si de- Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

12 finit: esse vengono chimte condizioni di esistenz dell frzione lgebric e indicte con il simbolo C.E.; nel cso dell esempio precedente, l condizione di esistenz è 6. ESEMPIO Condizioni di esistenz di un frzione lgebric Determinimo le condizioni di esistenz e il dominio dell frzione lgebric : Per individure le condizioni di esistenz, riscrivimo l frzione lgebric fttorizzndo il denomintore: ð Þð þ Þ In bse ll legge di nnullmento del prodotto, il denomintore è diverso d zero se e solo se tutti i suoi fttori sono diversi d zero, cioè per: 6 0 e þ 6 0 ossi per: 6 e 6 Queste sono le condizioni di esistenz; il dominio è l insieme R privto di e. In simboli: C.E.: 6 ^ 6 Dominio R f, g. Osserv ltri esempi nell seguente tbell. Frzione lgebric C.E. Dominio Attenzione! Rifletti sul diverso ruolo che hnno, per un frzione lgebric, i vlori delle vribili per cui si nnull il numertore e i vlori delle vribili per cui si nnull il denomintore: bbimo visto che un frzione lgebric non è definit in corrispondenz dei vlori delle vribili che nnullno il denomintore; l contrrio, un frzione lgebric è definit in corrispondenz dei vlori delle vribili che nnullno il numertore (m non il denomintore): precismente è ugule 0. Unità Frzioni lgebriche 3 þ þ 3 þ þ 3 þ þ 6 6 0e 6 Osserv che fttorizzndo il denomintore si ottiene ð þ Þ e imponi che i due fttori dell scomposizione sino diversi d zero Nessun Osserv che il denomintore è sempre positivo R fg R f, 0g R Frzioni lgebriche equivlenti Lvorndo con le frzioni numeriche bbimo chimto equivlenti due frzioni che rppresentno lo stesso numero rzionle: per esempio sono equivlenti le due frzioni 5 e 4, che rppresentno il numero rzionle l cui rppresentzione decimle è 0,4. Definimo un concetto nlogo per le frzioni 0 lgebriche. FRAZIONI ALGEBRICHE EQUIVALENTI Due frzioni lgebriche A B e C D si dicono equivlenti, e si scrive A B C D, qundo ssumono lo stesso vlore numerico per ogni vlore ttribuito lle vribili, esclusi quelli che nnullno il denomintore di un delle due frzioni. Per stbilire se due frzioni lgebriche sono equivlenti, sussiste un criterio nlogo quello visto per le frzioni numeriche. 5 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

13 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie CRITERIO PER STABILIRE L EQUIVALENZA DI DUE FRAZIONI ALGEBRICHE Due frzioni lgebriche A B e C sono equivlenti se e solo se il polinomio A D è D ugule l polinomio B C: ESEMPIO Sono equivlenti le due frzioni lgebriche: þ e 3 4 Inftti, clcolndo i «prodotti in croce», ottenimo che: A D ð 4 Þ 5 B C ð þ Þð 3 Þ 5 3 þ 3 5 Quindi è verifict l condizione: A D B C Abbimo visto che, moltiplicndo o dividendo il numertore e il denomintore di un frzione numeric per uno stesso numero diverso d 0, si ottiene un frzione equivlente (proprietà invrintiv): nche tle proprietà si estende in modo nturle lle frzioni lgebriche. PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER LE FRAZIONI ALGEBRICHE Moltiplicndo o dividendo (qundo si possibile) il numertore e il denomintore di un frzione lgebric per un polinomio non nullo si ottiene un frzione lgebric equivlente. ESEMPI. L frzione lgebric þ ð Þ ð þ Þð Þ b. L frzione lgebric 3 : ð Þ ð 5 þ Þ : ð Þ è equivlente, per esempio, : Moltiplicndo numertore e denomintore dell frzione dt per ð Þ 3 5 è equivlente, per esempio, : þ 3 þ Dividendo numertore e denomintore dell frzione dt per 6 Il segno dei termini di un frzione lgebric In bse ll proprietà invrintiv, moltiplicndo numertore e denomintore di un frzione lgebric per, ossi cmbindo il segno si i termini l numertore si quelli l denomintore, ottenimo un frzione lgebric equivlente. Per esempio: y y ð yþ ð yþ y y In lterntiv, per ottenere un frzione equivlente un dt, è possibile cmbire il segno solo l numertore o l denomintore dell frzione e contempornemente cmbire il segno dvnti ll frzione, in virtù delle seguenti uguglinze: A B A B A B Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

14 ESEMPIO Frzioni lgebriche equivlenti un dt, con termini di segno cmbito b L frzione lgebric equivle ciscun delle seguenti: b b Cmbindo il segno si l numertore si l denomintore b b b b b Cmbindo il segno solo l numertore e cmbindo il segno dvnti ll frzione Cmbindo il segno solo l denomintore e cmbindo il segno dvnti ll frzione Unità Frzioni lgebriche Possimo quindi scrivere che: b b b b b b b b b b b b L frzione lgebric che si ottiene cmbindo il segno dvnti ll frzione dt si dice frzione lgebric oppost quell dt. In lterntiv, per scrivere l frzione lgebric oppost un ssegnt, è possibile cmbire il segno solo l numertore o l denomintore dell frzione, in virtù delle seguenti uguglinze: A B A B A B ESEMPIO può essere espress in ciscun delle seguenti forme equi- L oppost di vlenti: b b b b b b Frzione lgebric oppost di un dt b b Cmbindo il segno dvnti ll frzione Cmbindo il segno solo l numertore Cmbindo il segno solo l denomintore Prov tu. Determin le condizioni di esistenz e il dominio delle seguenti frzioni lgebriche:. 3 b. 3 c. 4. Stbilisci se le seguenti coppie di frzioni lgebriche sono equivlenti: 3 þ., þ þ b. 3, þ þ þ 3. Scrivi due frzioni lgebriche equivlenti 3, utilizzndo l proprietà invrintiv. þ y 4. Qule delle seguenti frzioni lgebriche è l oppost di 3y? A y 3y B y 3y C y 3y D y 3y ESERCIZI p. 7 7 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

15 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie. Semplificzione di frzioni lgebriche Abbimo visto che per le frzioni lgebriche vle l proprietà invrintiv: ciò implic come conseguenz che nche un frzione lgebric può essere semplifict, dividendo numertore e denomintore dell frzione per gli eventuli fttori comuni (diversi d ). Se il numertore e il denomintore di un frzione lgebric non hnno in comune fttori diversi d, l frzione lgebric non è semplificbile e si dice irriducibile; in cso contrrio l frzione lgebric si dice riducibile. A livello opertivo, il procedimento per semplificre un frzione lgebric è del tutto simile l procedimento per le frzioni numeriche: osserv i seguenti esempi e not le nlogie. Semplifichimo, in prllelo, un frzione numeric e un lgebric Scomponimo numertore e denomintore Dividimo numertore e denomintore per i fttori comuni Frzione numeric Frzione lgebric þ ð Þð þ Þ ð þ Þ ð Þð þ Þ ð þ Þ L frzione semplifict è 5 7 In prtic, per semplificre un frzione lgebric, come per le frzioni numeriche:. si scompongono numertore e denomintore in fttori;. si elidono con un brr tutti i fttori comuni. ESEMPI Semplifichimo le seguenti frzioni lgebriche.. 3 b 5 4 b b. 4 4 c. 8k k þ d. y y e. 4 y y 4. 3 b 5 4 b b b 4 5 Attenzione! Qundo, come nell esempio b., tutti i fttori del numertore si semplificno con quelli del denomintore, l numertore rest, non 0. b. ð Þ 4 4 ð 4Þ ð Þ ð Þð þ Þ ð þ Þ 8k c. è un frzione lgebric irriducibile, poiché numertore e denomintore non hnno fttori in comune diversi d k þ. d. Osservimo che y ð yþ, perciò: e. y y 4 y y 4 ð yþ ð yþ ð yþð þ yþ ðy Þ Ricord: tutte le volte che i termini di un frzione lgebric sono opposti, puoi rccogliere in uno dei due termini e poi semplificre. I due fttori colorti in rosso sono opposti: rccoglimo l numertore e poi semplifichimo ðy Þð þ yþ ðy Þ þ y Attenzione non dimenticre questo segno meno. 8 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

16 Concludimo con due osservzioni.. Fi ttenzione gli errori di semplificzione! Si possono eseguire semplificzioni soltnto tr fttori, mi tr gli ddendi. Non possimo, per esempio, semplificre in questo modo: þ y y SBAGLIATO! perché si è semplificto il denomintore con un ddendo del numertore. È estto invece scrivere che: ð þ yþ þ y perché si è semplificto il denomintore con un fttore del numertore. Unità Frzioni lgebriche. Anche se non lo specificheremo tutte le volte, bisogn tenere presente che uguglinze come þ [.] ottenute medinte semplificzioni, esprimono l equivlenz tr due frzioni lgebriche quindi vlgono purché sino soddisftte le condizioni di esistenz dell frzione originri. L uguglinz [.], per esempio, vle purché si 6 0e 6. Che cos ccde se si ttribuisce vlore 0 o? Qundo 0 i due membri dell [.] perdono significto (perché si nnullno i denomintori); qundo il primo membro dell [.] perde significto (perché si nnull il denomintore), mentre il secondo membro vle. Prov tu. Semplific le seguenti frzioni lgebriche: þ 3 b. 4 þ 3 c. þ 3 4. Vero o flso?. b. y ð y Þ y V F y V F ESERCIZI p Addizioni e sottrzioni tr frzioni lgebriche L somm lgebric tr frzioni con lo stesso denomintore Per le frzioni lgebriche ssumimo l seguente definizione, nlog ll definizione che conoscimo per l somm di frzioni numeriche. SOMMA ALGEBRICA TRA FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE L somm lgebric di due o più frzioni lgebriche venti lo stesso denomintore è l frzione lgebric che h, per denomintore, il denomintore comune e, per numertore, l somm lgebric dei numertori. 9 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

17 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Attenzione! Non essere tentto di semplificre i risultti ottenuti negli esempi qui finco. In prticolre osserv che: e þ 6 þ þ þ ð þ 3Þ þ ð þ Þ þ. Quindi si trtt di frzioni lgebriche irriducibili. ESEMPI. þ 5 b. 3 þ 5 þ c. 3 þ þ þ Addizioni e sottrzioni di frzioni lgebriche con lo stesso denomintore þ 5 þ 3 Attenzione, per evitre errori di segno, non dimenticre queste prentesi. 3 þ 5 ð Þ þ 3 þ 5 þ þ þ 6 þ þ þ ð3 þ ÞþðÞ þ 3 þ þ þ þ Togliendo le prentesi tonde Eseguendo i clcoli þ þ Somm lgebric tr frzioni con denomintori diversi Per eseguire l ddizione o l sottrzione tr frzioni lgebriche venti denomintori diversi, possimo ricondurci l cso precedente, trsformndo le frzioni lgebriche in ltre equivlenti m venti lo stesso denomintore. ESEMPIO Clcolimo l somm lgebric: 3 5 þ b 3. Scrivimo nzitutto due frzioni, equivlenti quelle d ddizionre, e venti come comune denomintore il minimo comune multiplo dei denomintori delle frzioni dte (come per le frzioni numeriche, si dice che si effettu un riduzione delle frzioni l minimo comune denomintore). Nel nostro esempio, le due frzioni hnno come denomintori 5 e 3: m.c.m. (5, 3) 5 Utilizzndo l proprietà invrintiv, scrivimo le frzioni lgebriche equivlenti quelle dte, con denomintore ugule 5: e b 3 b b 5 Or simo in grdo di eseguire l ddizione. 3 5 þ b þ 0b 5 9 þ 0b 5 0 Come vri notto, i fondmenti teorici su cui si bsno l ddizione e l sottrzione tr frzioni lgebriche sono del tutto nloghi quelli già visti per le frzioni numeriche: si può perciò utilizzre, nell prtic, un regol opertiv simile quell che sei bituto utilizzre per le frzioni numeriche. Osserv il prllelismo negli esempi illustrti nell tbell seguente. Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

18 o psso: scomponimo i denomintori delle frzioni o psso: clcolimo il minimo comune multiplo dei denomintori Frzioni numeriche 5 þ þ m.c.m : 4 : : 6 7 Frzioni lgebriche 4 þ þ þ 4 ð Þð þ Þ þ þ þ ð Þ m.c.m. ð Þð þ Þ ð Þð þ Þ : ð Þð þ Þ ð Þð þ Þ : ð þ Þ ð Þ ð Þð þ Þ : ð Þ þ Unità Frzioni lgebriche 3 o psso: eseguimo l ddizione lgebric 5 þ ð Þð þ Þ þ þ þ ð Þ 5 þ þ ð Þð þ Þ ð þ Þ ð Þð þ Þ 0 þ þ ð þ Þ ð Þð þ Þ 39 4 þ 4 þ 4 ð Þð þ Þ 6 ð Þð þ Þ 4 o psso: scomponimo in fttori e, se è possibile, semplifichimo ð þ 3Þð Þ ð Þð þ Þ þ 3 ð þ Þ Anche se non lo specificheremo sempre, occorre tenere presente che tutti i risultti che otterremo eseguendo operzioni tr frzioni lgebriche vlgono solo se sono soddisftte le condizioni di esistenz dell espressione originri: per esempio, dl clcolo precedente deriv l uguglinz 4 þ þ þ 4 þ 3 ð þ Þ che vle, però, solo se 6. Vedimo ltri esempi che esponimo più sinteticmente, come nell prtic. ESEMPI Addizioni e sottrzioni tr frzioni lgebriche con denomintori diversi Clcolimo:. b. þ þ 3 þ Ô Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

19 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Ô. b. þ 3 þ ð Þð þ Þ ð Þð Þð Þð þ Þ ð Þð þ Þ þ þ ð Þð þ Þ 3 ð Þð þ Þ 6 4 þ 3 þ 6 ð Þð þ Þ þ 3 þ 6 ð Þð þ Þ 3 þ Scomponendo i denomintori Eseguendo l somm lgebric Eseguendo i clcoli l numertore Riducendo i termini simili: not che il risultto ottenuto è irriducibile Scomponimo i denomintori Not che i fttori colorti in rosso sono opposti. Trsformimo il denomintore dell second frzione lgebric nell opposto, cmbindo il segno dvnti ll frzione. 6 3ð þ Þð Þ ð Þð þ Þ Eseguendo l somm lgebric 4 ð Þð þ Þ Svolgendo i clcoli l numertore ð Þ ð Þð þ Þ þ Scomponendo il numertore e semplificndo Prov tu ESERCIZI p. Clcol le seguenti somme lgebriche þ þ þ þ þ 3 4 þ 4 3 þ ð þ Þ " # 5 ð þ 4Þð Þ 4. Moltipliczioni, divisioni e potenze tr frzioni lgebriche Moltipliczione PRODOTTO TRA FRAZIONI ALGEBRICHE Il prodotto di due frzioni lgebriche è l frzione lgebric che h per numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori. A livello opertivo, si procede in modo del tutto nlogo lle frzioni numeriche. Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

20 Osserv le nlogie confrontndo i seguenti due esempi. Frzioni numeriche Frzioni lgebriche þ ð þ Þ ð Þð þ Þ Unità Frzioni lgebriche In prtic, i pssi d seguire per effetture un moltipliczione tr frzioni lgebriche sono quindi i seguenti:. si scompongono i numertori e i denomintori delle frzioni d moltiplicre;. si effettuno eventuli semplificzioni («in croce» o tr i numertori e i denomintori delle frzioni lgebriche stesse); 3. si clcol il prodotto dei numertori e il prodotto dei denomintori. ESEMPI. 4 þ Moltipliczioni tr frzioni lgebriche 3 4 þ 4 ð Þð þ Þ ð þ Þ ð Þ ð þ Þ ð þ Þ ð þ Þð Þ ð Þð þ Þ ð Þ Scomponendo numertori e denomintori ð Þð þ Þ ð Þ Semplificndo «in croce» Moltiplicndo i numertori e i denomintori b ð Þ 3 6 ð Þ 3 c. ð6p 8Þ 5p 5 6ðp 3Þ 5ðp 3Þ 5 Elevmento potenz POTENZA DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA CON ESPONENTE INTERO POSITIVO O NULLO L potenz con un dto esponente intero positivo o nullo di un frzione lgebric è l frzione lgebric che h per numertore e per denomintore, rispettivmente, il numertore e il denomintore dell frzione lgebric originri elevti quell potenz. ESEMPIO Potenz di un frzione lgebric con esponente positivo 3 3 ð33 Þ þ ð þ Þ 96 ð þ Þ In prticolre, dll precedente definizione segue: A 0 A0 B B0 con A, B 6 0 A A B B A B 3 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

21 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Inoltre si estende nche lle frzioni lgebriche l nozione di potenz con esponente intero negtivo. Premettimo l seguente definizione (nlog, come l solito, ll corrispondente per le frzioni numeriche). RECIPROCA DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA Si dice reciproc o invers di un frzione lgebric, l frzione lgebric che, moltiplict per quell dt, dà come risultto. Come per le frzioni numeriche, per determinre l reciproc di un frzione lgebric (divers d 0) bst scmbire il numertore e il denomintore. Ricord che 0 non mmette reciproco. Frzione lgebric þ 3 m n Reciproc þ 3 m n Possimo or definire l potenz di un frzione lgebric con esponente intero negtivo. POTENZA DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA CON ESPONENTE INTERO NEGATIVO L potenz con un dto esponente intero negtivo di un frzione lgebric è ugule ll potenz con esponente opposto dell frzione lgebric reciproc. In simboli: A n B n con n N f0g B A ESEMPI Potenz di un frzione lgebric con esponente negtivo 3. b 3 b3 3 b6 9 4 b. ð þ Þ 4 þ þ þ Anche per le frzioni lgebriche vlgono le ordinrie proprietà delle potenze. ESEMPIO " # þ 8 4 : þ 6 þ 4 : þ þ ð þ Þ Divisione Anche l divisione tr frzioni lgebriche viene, come per le frzioni numeriche, ricondott ll moltipliczione trsformndo il divisore nell frzione lgebric reciproc. QUOZIENTE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE Il quoziente di due frzioni lgebriche, di cui l second non null, è l frzione lgebric che si ottiene moltiplicndo l prim per l reciproc dell second. 4 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

22 ESEMPI. z 9w : 5z 8w b. 3 þ 3 þ Divisioni tr frzioni lgebriche z 9w 8w 5z : 3 þ 6 3ð Þð þ Þ þ 3 þ 6 z 9 w 9 w 5z ð Þð þ Þ 3ð þ Þ 4w 5z Trsformndo l divisione in un moltipliczione Scomponendo numertori e denomintori Unità Frzioni lgebriche c. 3ð Þð þ Þ ð þ Þ ð Þð þ Þ 3ð þ Þ ð Þð Þ 3 þ 5 þ 4 þ : ð 3 þ Þ Semplificndo «in croce» Clcolndo il prodotto dei numertori e il prodotto dei denomintori 5 þ 4 þ 3 þ Trsformndo l divisione in moltipliczione ð Þð 4Þ þ ð Þð Þ Scomponendo e semplificndo 4 4 Eseguendo l moltipliczione Prov tu Esegui le seguenti operzioni.. þ þ 5 6 þ ð Þ 4 ð þ 6Þð Þ y. 3 " # y 6 ; y þ b ð yþ 3 ; ð þ bþ : 3 þ 3 ð Þ ESERCIZI p. 6 5 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

23 Unità Esercizi In più: esercizi interttivi Tem A SINTESI E RIEPILOGO Prole chive Condizioni di esistenz (di un frzione lgebric) p. 5 Dominio di un frzione lgebric p. 4 Frzione lgebric p. 4 Frzione lgebric irriducibile p. 8 Frzione lgebric riducibile p. 8 Frzioni lgebriche equivlenti p. 5 Legge di nnullmento del prodotto p. 5 Proprietà invrintiv per le frzioni lgebriche p. 6 Reciproc di un frzione lgebric p. 4 Riduzione delle frzioni l minimo comune denomintore p. 0 Segno dei termini di un frzione lgebric p. 6 Formule e proprietà importnti Semplificzione di un frzione lgebric. Si scompongono numertore e denomintore;. si dividono numertore e denomintore per i fttori in comune (proprietà invrintiv). Operzioni con le frzioni lgebriche Operzione Come si esegue Esempi Addizione lgebric Moltipliczione. Se le frzioni hnno lo stesso denomintore, si scrive l frzione lgebric che h quel denomintore e, come numertore, l somm lgebric dei numertori.. Se le frzioni lgebriche hnno denomintori diversi, ci si riconduce l cso precedente, come per le frzioni numeriche, riducendo le frzioni l minimo comune denomintore.. Si scompongono numertori e denomintori.. Si semplificno «in croce» gli eventuli fttori in comune. 3. Si moltiplicno fr loro i fttori rimsti i numertori e quelli rimsti i denomintori. y þ y z y þ z y y þ b þ y b by ð Þð þ Þ ð Þ 3 Divisione Potenz con esponente positivo o nullo n Potenz con esponente negtivo n, con n N f0g Si moltiplic l prim frzione lgebric per l reciproc dell second. Si elev n numertore e denomintore dell frzione lgebric. Si elev n il reciproco dell frzione lgebric. 5ð þ Þ 6 y : y y y 3 y 3 3 y y 3 4 b 4 b4 b 4 6 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

24 . Introduzione lle frzioni lgebriche TEORIA p. 4 Þ. Esercizi preliminri Vero o flso? þ y è un frzione lgebric V F b. un polinomio non è un frzione lgebric V F c. un frzione lgebric è definit per tutti i vlori per cui non si nnull il denomintore V F d. due frzioni lgebriche opposte sono equivlenti V F e. un frzione lgebric è ugule zero per tutti i vlori che nnullno il numertore (m non il denomintore) V F Unità Frzioni lgebriche Test f. due frzioni lgebriche A B e C sono equivlenti se AC BD V F D [ ffermzioni vere e 4 flse] Þ Un delle seguenti quttro frzioni lgebriche è definit per ogni numero rele. Qule? A B 64 þ 64 Le condizioni di esistenz C 6 þ 6 Þ 3 Un delle seguenti frzioni lgebriche è definit per ogni numero rele diverso d. Qule? A C þ 4 B þ D D 4 Þ 4 Qule delle seguenti frzioni lgebriche non è equivlente 3 4? A B Þ 5 Qule delle seguenti frzioni lgebriche non è l oppost di 3 4? A B 4 C D C 4 3 D 4 Þ 6 Complet l seguente tbell. Frzione lgebric 4 þ þ 0 Frzione con il denomintore fttorizzto il denomintore è irriducibile ð ::::::::::Þð þ ::::::::::Þ þ ð þ :::::Þ il denomintore è irriducibile Condizioni di esistenz (C.E.) 6 0 ) 6 ð ::::::::::Þð þ ::::::::::Þ 6 0 ) 6 :::::::::: e 6 :::::::::: Nessun, perché il denomintore risult sempre... ð þ ::::::::::Þ 6 0 ) 6 ::::: e 6 ::::: Determin le C.E. delle seguenti frzioni lgebriche. Þ 7 ½ 6 Š Þ 8 þ Þ 9 ½ 6 4Š 4 Þ 0 3 Þ ½ 6 4Š 8 Þ 3 Þ 3 4 þ 0 Þ 4 þ 5 3 þ Þ 5 4 þ 5 Þ 6 [ 6 5] Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

25 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Þ 7 þ 3 3 Þ 8 k ðk þ Þ Þ 9 ðk þ Þ k Þ 0 þ 3 Þ þ 3 3 Þ 3 Þ 3 4 Þ 4 8 þ 8 Þ 5 þ 4 [ 6 9] [k 6 ] 6 9 ½ 6 0 ^ 6 4Š ½ 6 4 ^ 6 0Š Þ 6 9 ½ 6 3Š Þ 7 3 Þ 8 þ 6 Þ Þ 30 þ 0 þ 5 Þ 3 3 Þ 3 3 þ 3 Þ Þ 34 ð 3Þ 5 Þ 35 ð Þ 36 [Definit 8 R] ½ 6 5Š ½ 6 3 ^ 6 0 ^ 6 Š ½ 6 5 ^ 6 7Š Þ 36 Invent tu Fornisci l esempio di un frzione lgebric che si non definit per 5 e per 0 e che si ugule 0 per 6. Þ 37 Invent tu Fornisci l esempio di un frzione lgebric che si non definit per 5 e che si ugule 0 per 6. L proprietà invrintiv e i segni dei termini di un frzione lgebric Complet in modo che, in bse ll proprietà invrintiv, sino vere le seguenti uguglinze. Þ 38 ð:::::þ 3 Þ 39 3 þ 8 þ 4 þ 4 ::::: þ Þ 40 4 þ 5 8 ð þ 5Þð:::::Þ Þ 4 ð:::::þ 4 8 Complet le seguenti uguglinze in modo che risultino corrette: prest ttenzione i segni! Þ 4 b 3 b ::::: Þ 43 y y y ::::: b 3 ::::: 3 y y y ::::: b 3 b ::::: y y ::::: y Þ 44 ð 3Þ ::::: ð3 Þ ð 3Þ ::::: ð 3Þ ð 4Þ ::::: ð4 Þ Þ 45 m 3 n þ m m ::::: m 3 n þ m ::::: n m 3 Þ 46 ð 5Þ 3 ::::: ð5 Þ 3 ð 5Þ 3 ::::: ð 5Þ 3 ð 5Þ 3 m 3 n þ m m ::::: ::::: Þ 47 5 Consider l frzione lgebric. Per ciscun delle seguenti frzioni lgebriche stbilisci se è equivlente o oppost quell dt: 3. 5 b. 5 5 c. d. 5 5 e Þ48 Consider l frzione lgebric. Per ciscun delle seguenti frzioni lgebriche stbilisci se è equivlente o 9 oppost quell dt:. 9 b. 9 c. 9 d. 9 e. 9 Þ 49 È vero che se due frzioni lgebriche sono equivlenti hnno le stesse condizioni di esistenz? Vicevers, è vero che se due frzioni lgebriche hnno le stesse condizioni di esistenz llor sono equivlenti? Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

26 Þ 50 Riduzione llo stesso denomintore ESERCIZIO SVOLTO Trsformimo le seguenti frzioni in ltre tre equivlenti, che bbino come denomintore il m.c.m. dei denomintori delle frzioni dte: þ,, Scomponimo nzitutto i denomintori: þ, ð Þð þ Þ, ð Þ Il minimo comune multiplo dei denomintori è ð Þð þ Þ Moltiplichimo numertore e denomintore delle frzioni dte per un fttore opportuno (colorto in rosso): ciò è consentito dll proprietà invrintiv. þ ðþ ð þ Þð Þ ð Þð þ Þ ð Þ ð Þð þ Þ ð þ Þ ð Þð þ Þ Le tre frzioni richieste sono dunque: ð Þ ð Þð þ Þ, ð Þð þ Þ, þ ð Þð þ Þ Trsform le seguenti frzioni in ltre equivlenti, che bbino come denomintore il m.c.m. dei denomintori delle frzioni dte. Þ 5 ; 3 þ ; Þ 5 þ ; þ ; 3 ð Þ ; ð Þ ; ð Þ Þ 53 ; 4 4 ; þ Þ 54 ; 4 ; þ ð þ Þð þ Þ 4 Þ 55 ; ; 3 4 Þ 56 b ; þ b ; ð b Þ ; Þ 57 ; b ; b Þ 58 3 b 3 ; b þ b þ b ; b Þ 59 3 b 3 ; ; 4 ; ð Þ 4 b ð b Þ ; b ð b Þ bð bþ 3 b 3 ; þ b þ b 3 b 3 þ b ; 4 4b ; 3 3b 6 ð bþ ð b Þ ; 3 ð b Þ ; 4ð þ bþ ð b Þ Þ 60 3 b ; b b 3 ; 3 þ b b b 3 b ð þ b Þ b ð þ b Þð bþ ; ð þ b Þ b ð þ b Þð bþ ; b b ð þ b Þð bþ Þ 6 Esplorzione In qule cso il minimo comune denomintore di due frzioni lgebriche è il prodotto dei loro denomintori? In qule cso coincide con uno dei due denomintori? Unità Frzioni lgebriche. Semplificzione di frzioni lgebriche TEORIA p. 8 Esercizi preliminri Þ 6 Ccci ll errore. Complet l seguente tbell. Semplificzione È corrett? Eventule correzione 3y þ 3y y þ y þ y y y y ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ ð3 tþ 3 t 3t z y y z ð3 tþ3 ðt 3Þ t ðt 3Þ t ðz yþðz þ yþ y z ðz þ yþ Sì No Sì No Sì No Sì No Sì No Sì No Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

27 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Test Þ 63 Þ 64 Þ 67 A Qule delle seguenti frzioni è irriducibile? þ b b B þ b b C b b D þ b b Qule delle seguenti semplificzioni è corrett? A t 4 4t t 3 0 B t 4 4t t 3 C t 4 4t t 3 t t þ D t 4 4t t 3 t t Semplificzione di frzioni lgebriche ESERCIZIO GUIDATO Semplific le seguenti frzioni lgebriche:. 3 b 3 c 4 5b 5 c 6 b c. 3 3 Þ 65 Þ 66 Qule delle seguenti semplificzioni è corrett? A þ b þ b þ b B b þ b C 4 y y þ y D b b A C d. b b b 3 b Qule delle seguenti semplificzioni non è corrett? þ B þ 4 þ D 4 þ þ þ Complet le seguenti trcce di svolgimento. 3 b 3 c 4. 5b 5 c 6 5b ::::: c ::::: b ::::: ð::::::::::þ ::::: ð::::::::::þ Scomponendo in fttori numertore e denomintore 5 ::::: ð::::::::::þ ::::: ð::::::::::þ Semplificndo i fttori in comune c ::::: ::::: ð Þ ð::::::::::þð þ Þ ::::: ð Þ ð::::::::::þð þ Þ Scomponendo in fttori numertore e denomintore Semplificndo i fttori in comune ::::: ::::: d. b b b 3 bð:::::::::::::::þ ::::: ðb Þ bð:::::::::::::::þ ::::: ð bþ bð:::::::::::::::þ ::::: ::::: ð:::::::::::::::þ ::::: Scomponendo in fttori numertore e denomintore Abbimo trsformto il fttore (b ) l denomintore nel suo opposto, ponendo un segno meno dvnti ll frzione 0 Semplific, se possibile, le seguenti frzioni lgebriche. Þ 68 4 b 3 c 4 b 5 c 6 h i 3b c Þ 69 6 þ 4 3 [ 3 þ ] Þ 70 þ h i Þ 7 6 b c 7 5b 5 c 6 Þ 7 Þ 73 5 c 5b 3 þ 4 þ þ 8 þ 6 h i 8 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

28 Þ 74 6 b 9 c 0 3b 4 c b 5 c 6 5 Þ 75 7 þ 5 þ Þ 76 6 þ Þ b 3 c 4 5b 3 c 6 d Þ þ 9 Þ 79 þ 4 þ Þ 80 0 þ 5 5 Þ 8 t t t Þ Þ þ Þ 84 4 þ Þ 85 8t 3t þ Þ 86 5 t t 0t þ 5 Þ 87 3 þ Þ 88 þ þ þ Þ Þ 90 4 þ 4 Þ 9 þ 5 þ 4 þ þ Þ 9 þ 6 Þ 93 9t þ 6t þ 3t þ t Þ 94 5 þ 5 9 Þ 95 þ Þ 96 4t 5 t þ 5t Þ 97 4 þ 4 þ 4 þ 4 [ 5 ] 3ð Þ 3 3c d þ 5 t þ t þ 5 [ð Þ] [6t ] t þ 5 5 t [Irriducibile] 3 þ þ 4 þ þ 3 3t þ t 5 3 þ þ t 5 t þ Þ þ þ 3 Þ þ þ 0 Þ þ 3 Þ 0 3 b b þ b Þ 0 þ 4 þ 4 4 Þ 03 y y 3 3 y Þ 04 3 Þ 05 y y y 3 y Þ 06 þ þ 4 þ 3 Þ y 6 þ 6 6y 6y Þ 08 0,5 0,5 Þ 09 b þ b þ b Þ 0 8 Þ 3b þ 3 b Þ 9 3 Þ 3 3 y 3 þ y 4 4 y y 4 Þ 4 4 þ 4 þ 4 3 Þ b b þ h y i y [Irriducibile] ð þ Þ þ b þ b þ ð þ Þ 3 b þ 3 þ y y þ ð Þ 3 b 6 b Þ þ 0 3 Þ 7 3 y y 4 Þ 8 þ 3 þ Þ 9 b þ b þ þ b b þ b Þ 0 b þ b þ b Þ 4 þ Þ b þ c þ db þ dc b þ c ð þ bþ ð Þ þ þ b b [Irriducibile] 3 þ 3 þ d Unità Frzioni lgebriche Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

29 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Þ 3 c þ d bc bd bc bd c þ d Þ 4 0 þ c þ d d c 5 þ Þ 5 c þ bc c b c cð bþ Þ 6 þ þ 3 4 ð 4Þ Þ 7 4 þ y 4 þ y þ y 4 y 4 y Þ 8 3 þ Þ 9 4 þ Þ 30 ð þ bþ c ðc Þ b þ [Irriducibile] þ b þ c b c Þ 3 m 7 mn 4 m 3 þ n m 4 n mn 3 n Þ 3 ð3 þ Þ 4 þ Þ þ Þ 34 3 þ y 6y 9 3 þ þ [ð Þ] þ y þ 3 Þ 35 3 þ b þ b þ b 3 4 b 4 b Þ 36 3 b b þ b 3 b 4 b 3 b þ b 3 " # Þ 37 3 þ 3 þ 3 þ þ ð Þ ð Þ þ 3 3 Þ38 5 Þ 39 Rpido m n þ m y n y n þ n y m m y Þ 40 9 y y 7y þ Þ 4 ðy þ 3Þ y þ 8y þ 6 Þ 4 y b þ by b by þ y Þ 43 þ þ 9 Þ 44 d þ b d c d þ bd cd d bd 5 ½Š y þ 3 4 y y þ y þ 4 ½ yš 3 þ b þ c d Þ 45 Complet in modo d ottenere delle uguglinze corrette:. ::::: b. ::::: 4 y 8 þ y 4 c. y ::::: ::::: Þ 46 Complet in modo d ottenere delle uguglinze corrette:. þ 5 ::::: b. ::::: 3 ::::: c. þ ::::: þ ::::: y ::::: 3 þ y 3 3 y 3 3. Addizioni e sottrzioni tr frzioni lgebriche TEORIA p. 9 Esercizi preliminri Þ 47 Vero o flso?. l somm di due frzioni lgebriche con lo stesso numertore è un frzione lgebric che h lo stesso numertore delle frzioni lgebriche dte e come denomintore l somm dei denomintori V F b. l somm di due frzioni lgebriche con lo stesso denomintore è un frzione lgebric che h lo stesso denomintore delle frzioni lgebriche dte e come numertore l somm dei numertori V F c. l differenz tr due frzioni lgebriche opposte è zero V F d. l somm di due frzioni lgebriche non può mi essere ugule V F e. l somm di due frzioni lgebriche è zero se e solo se le due frzioni lgebriche sono opposte V F [ ffermzioni vere e 3 flse] Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

30 Þ 48 Ccci ll errore. Complet l seguente tbell. Operzione y y y y y y y þ y y z z y z y È stt svolt correttmente? Sì No Sì No Sì No Eventule correzione Unità Frzioni lgebriche þ b þ b b Sì No... z y z y z Sì No... Somm lgebric di frzioni lgebriche con lo stesso denomintore Þ 49 ESERCIZIO GUIDATO Esegui le seguenti operzioni e semplific, se possibile, i risultti ottenuti:. 7 3 b. 3 þ þ þ 7 þ c. b þ b b þ b ::::: ::::: ::::: b. 3 þ þ þ 7 3 þ ::::: þ ::::: þ ::::: þ þ þ ð:::::::::::::::þ :::::::::: þ c. b þ b b b ð bþ b :::::::::: þ :::::::::: ::::: þ b þ b þ b þ b Attenzione non dimenticre queste prentesi! Esegui le seguenti operzioni e semplific, se possibile, i risultti ottenuti. Þ 50 þ 3 4 Þ 55 3 b b Þ 5 3 þ b þ b þ b Þ 56 þ 3 9 þ 3 Þ Þ 57 3 þ þ Þ 53 þ 3 Þ 58 þ þ þ Þ 54 b ðb Þ 3 3b þ b þ b þ b Þ 59 þ b b þ b þ þ þ [ 3] [] þ Somm lgebric di frzioni lgebriche con denomintori diversi Þ 60 ESERCIZIO GUIDATO Esegui le seguenti operzioni e semplific, se possibile, i risultti ottenuti: b. 3y y 6y y 3 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr

31 Tem A Le espressioni e le equzioni rzionli frzionrie Mentlmente si clcol ð : 4Þ 7 e si scrive il risultto. b. Mentlmente si clcol ð : 6Þ 5 e si scrive il risultto ::::: ::::: 6 3y y 6y y ::::: ð 3yÞð::::::::::Þ y È il m.c.m. tr i denomintori, cioè tr 4 e 6 ::::: y ::::: y Esegui le seguenti operzioni e semplific, se possibile, i risultti ottenuti: " # Þ 6 þ ð Þ 3 Þ 3 65 b þ b Þ 6 b b b Þ 66 b þ Þ 63 b b þ b b þ b b Þ 67 y þ z Þ 64 3y 3y 4y 6y 6 y Þ 68 þ y y y y b þ b b þ b b b b yz z þ y yz y þ y y Þ 69 ESERCIZIO GUIDATO Esegui le seguenti operzioni e semplific, se possibile, i risultti ottenuti:. 3m m 4 þ m þ 4 4 m b. þ 3 þ. 3m m 4 þ m þ 4 4 m Osserv che 4 m ðm 4Þ 3m m 4 m þ 4 m 4 :::::::::: m 4 ð:::::::::::::::þ ðm :::::Þðm þ :::::Þ :::::::::: m þ Or hi l differenz di due frzioni lgebriche con lo stesso denomintore Il risultto ottenuto si può semplificre b. þ 3 þ ð Þð þ Þ þ 3 ð:::::::::::::::þ Scomponi i denomintori Il m.c.m. dei denomintori è ð Þð þ Þ ::::: þ 3ð:::::::::::::::Þ ð Þð þ Þ :::::::::::::::::::: ð Þð þ Þ Svolgi i clcoli 4 Semplific le seguenti espressioni in cui compiono ddizioni e sottrzioni di frzioni lgebriche. Þ 70 þ b þ b þ b b b Þ 7 þ Þ 7 þ Þ 73 3y 4 y y Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr 4 ð 4Þ y ð yþ

32 Þ 74 þ þ 4 Þ 75 b þ b þ b Þ 76 þ 5 4 b b [] Þ 77 y 3 y y 3 þ y þ þ y 4 Þ 78 y y y y þ y y Þ 79 þ y Þ 80 y þ y y y þ y y Þ þ þ yðy Þ 4ð þ Þ Þ þ 3 ð þ Þ " # Þ 83 þ 4 þ 4 Þ 84 Þ 85 y þ þ y y y b 4 4b b 4 þ 4b þ Þ 86 þ ð þ Þð Þ 4y y ð b Þ þ 9 Þ 87 þ þ Þ 88 þ b þ " # ð Þ b 3b 3 þ b þ 5b 6 6b ð b Þ Þ þ 3 ð þ Þ Þ 90 þ þ þ 6 Þ 9 þ 3 þ Þ 9 þ þ Þ þ 4 4 Þ 94 b b þ b b b b 3 Þ 95 þ b b þ Þ 96 þ 3 þ Þ 97 y þ y þ 5 ð Þ 4 þ " # þ 6 ð Þ ð þ Þ b bðb Þ 3b b 4 b 4 y y y y Þ þ þ þ þ 4 b 4 3y ð y Þ " # 5 3 ð Þ Unità Frzioni lgebriche " # Þ 99 þ þ 7 þ þ þ þ 4 ð Þ ð þ Þ Þ 00 þ 3 þ Þ 0 4 þ 4 þ Þ 0 þ 3 4 þ 3 Þ þ 0 þ þ 6 Þ 04 3 þ þ 3 5 ð þ Þð Þð þ 3Þ " # þ 4 ð þ Þð Þ ð4 5Þ ð 3Þð þ 4Þð Þ 5 þ 3 5ð Þð þ 3Þ ð þ þ Þ Þ 05 b Rpido þ b þ b þ b b þ b b b þ b þ b [0] Þ 06 þ b þ c þ b þ b c þ c b þ þ b þ c þ b þ c Þ þ þ þ 3 þ Þ 08 3 þ b þ b þ b 3 3 b þ b b 3 þ b b ð þ bþð þ b Þ Þ 09. Complet in modo d ottenere uguglinze corrette: :::::: y þ y 4y y b. :::::: z z þ :::: z z þ 3 z z c. þ :::: þ 5 Nuov Mtemtic colori - Algebr - Ed. Gill 0 De Agostini Scuol S.p.A. - Novr