Bode Diagram. 1.2 Determinare il valore del guadagno del sistema. Disegnare gli zeri ed i poli nel piano complesso.

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1 5 Luglio 3 econda prova Sia dato un itema dinamico con funzione di traferimento G(), i cui diagrammi di Bode, del modulo e della fae, ono di eguito rappreentati: 6 Bode Diagram Phae (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/ec) Identificare l epreione di G(), a partire dai diagrammi aegnati Dal diagramma di Bode del modulo della funzione di traferimento G(), i deduce che il itema non ha poli né zeri nell origine (pendenza iniziale nulla) e che ha guadagno di modulo (infatti, il valore iniziale del modulo è 4dB), uno zero con ω = 3 rad / (alita di db / decade ), un polo con ω = 3 rad / (la pendenza ritorna nulla) e un polo con ω = 7 rad / (dicea di db / decade ) Grazie al diagramma delle fai, poi, i deduce che ia lo zero ia i poli ono negativi (la fae aumenta di 9 nel cao dello zero e diminuice di 9 in corripondenza di ciacun polo) e che il guadagno (vito che la fae iniziale è nulla) è poitivo (e quindi vale ) Compleivamente, dunque, i ha che G () = Determinare il valore del guadagno del itema Diegnare gli zeri ed i poli nel piano compleo Il guadagno del itema è (fae iniziale, modulo 4dB con pendenza nulla) Mappa dei poli e degli zeri:

2 5 4 Im 3 - Re Il itema dell eercizio precedente viene chiuo in retroazione come indicato nella ottotante figura: d( y ( - e( G() y( Verificare che il itema retroazionato è aintoticamente tabile La funzione d anello di queto itema, retroazionato negativamente, è L( ) = G( ) Si può uare il criterio di Bode, perché tale funzione ha una ola pulazione critica e non ha poli intabili La pulazione critica è attorno ai 7 rad/; in corripondenza, la fae critica è praticamente -9, quindi il margine di fae è praticamente =9 >: pertanto, eendo il guadagno poitivo, il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile Si upponga che y ( = ca( e d ( = Quale andamento nel tempo potrebbe avere y(? Si celga fra le tre figure di eguito propote, giutificando la ripota Step Repone 8 Step Repone Step Repone Amplitude Am plit ud e 8 Amplitude Time (ec) Time (ec) Figura A Figura B Figura C Time (ec)

3 Ripota: C Y() G() Motivazioni: i ha che F () = =, perciò Y () G() G( jω) per G( jω) F( jω) per G( jω) e quindi i può approimare con un itema a ingolo polo (quindi il diagramma B i può già cartare), di pulazione pari alla pulazione critica di G ( ), cioè 7 rad/; la corripondente cotante di tempo arà /7 = 4, ed il itema andrà a regime in un tempo pari a 4-5 volte la cotante di tempo, oia in 57-7 : queto è compatibile con la figura C, e non con la A 3 Si dica quanto vale a regime e ( nel cao in cui y ( = in(t ) e d ( = ca( Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile, quindi i poono applicare ia il teorema della ripota in frequenza (a), ia quello del valore finale (b) (a) y ( = in(t ) e dt () = : E () Fe () = = Y () G() Primo metodo (approimato): per G( jω) F ( ) G( j ) e j ω G( jω) per G( jω) ω Fe ( jω) per G( jω) per G( jω) π e in( t G( j)) = in(t ) = in(t 349) y G( j) 8 Secondo metodo (eatto, analitico): Fe () = 7 e F ( j ) in( t F ( j e e )) in( 57 ) 933in( 74) y 75 t π = = = 8 t (b) y () t = e d ( = ca( : E () = = Fe() D () G () e d = lim ( Fe( )) D( ) = lim ( Fe( )) = lim Fe( ) Primo metodo (calcolo approimato): vito che G( j) = 4dB=, i ha che Fe ( j) =, perciò e d = G( j) Secondo metodo (calcolo eatto): Fe () = 7 e d = lim ( Fe( )) D( ) = lim 99 = = 7 y ( = in( e d ( = ca( : per il principio di ovrappoizione degli effetti (valido per i itemi lineari), i ha che l errore totale è la omma dei due errori: 3

4 e = e e = 933in(t 74) 99 y d 3 Sia data la eguente funzione di traferimento: ( 4) G ( ) = ( 4)( 6) 3 Tracciarne il diagramma di Nyquit Diagramma di Nyquit della funzione di traferimento ( 4) G ( ) = : ( 4)( 6) Nyquit Diagram Imaginary Axi Real Axi Note: - zeri coincidenti in 4, poli emplici in -4 e -6, cotante di traferimento ρ = > (modulo= e fae nulla); - G( j ) = = 6667 (modulo 6667 e fae nulla); 3 - G( j ) =, G( j ) = ; - per ω qualunque, i ha Im jω x α x β o γ Re e quindi il modulo aumenta monotonamente all aumentare di ω (perché uno zero ed il polo in -4 i elidono dal punto di vita del modulo, mentre la diparità tra il modulo del vettore legato al polo in -6 ed il modulo dell altro zero diminuice; i peni anche al diagramma di Bode del modulo di G(jω)); per quanto riguarda la fae, ea è G( jω) = γ α β = (8 β) α β = 36 α 3β = α 3β, 4

5 quindi è empre e decrecente (i procede in vero orario, come i vede dal diagramma polare nella figura), perché α e β ono empre e crecenti con ω ; - il diagramma in verde è il diagramma polare (verdeblu=diagramma di Nyqui 3 Dire e il itema y ( _ G() y( è tabile in anello chiuo Applichiamo il criterio di Nyquit La funzione d anello è G (), il cui diagramma di Nyquit è ruotato di 8 ripetto a quello di G(): in pratica, è il immetrico, ripetto all origine del piano compleo, di quello di G ( ) e ne mantiene il vero orario: Nyquit Diagram Imaginary Axi Real Axi Pertanto, il numero di giri attorno al punto - è -; vito che non ci ono poli intabili in allora che e quindi il itema in anello chiuo non è aintoticamente tabile G(), i ha Alternativamente ed equivalentemente, i può coniderare la funzione d anello G() con retroazione poitiva, e di coneguenza valutare i giri attorno al punto Dal diagramma di Nyquit di G(), i vede che ei ono ancora -, mentre il numero di poli di G() a parte reale poitiva è : quindi, vito che, i deduce che il itema in anello chiuo non è aintoticamente tabile 4 Si conideri il eguente itema retroazionato: d( y ( - e( R() G() y( 5

6 6 dove G () = Utilizzando la carta emilogaritmica, tracciare i diagrammi di Bode approimati del modulo e della fae di G() 6 G( ) = = Si ricorda che nei diagrammi eguenti in acia c è la pulazione ω Diagramma del modulo di G: Diagramma di Bode - Modulo - -4 db Diagramma della fae di G: l i -8 Diagramma di Bode - Fae gradi Progettare un controllore l i ( τ )( τ ) R( ) = µ in modo tale che: ( T )( T ) - dati d ( = ramp( e y ( =, y( ia minore di 4, per t ; 6

7 - la pulazione critica ω c ia comprea fra 7 e ; - il itema in anello chiuo ia aintoticamente tabile Il controllore dovrà avere al più poli e zeri, econdo la truttura impota dal teto dell eercizio; inoltre, vito che non altrimenti pecificato, upponiamo che eo ia di tipo (cioè g = ) Conideriamo il primo requiito, che è di tipo tatico; applicando il teorema del valore finale (è poibile, perché il terzo requiito da oddifare è l aintotica tabilità in anello chiuo), i ottiene µ >, in quanto y d = lim D( ) = lim D( ) = L () GR () () = lim = 6 ( τ)( τ) µ ( T)( T) 5 = lim = < 4 µ µ Secondo requiito: ad eempio, cegliendo µ = (in accordo con il primo requiito) ed inerendo nel controllore due zeri reali negativi con ω = 5 rad /, i cancellano i corripondenti poli di G ( ) e i rad db ottengono ω c =, che è proprio fra 7 e, ed una pendenza di da ω = rad fino ad decade ω = 6 rad, laddove la pendenza del diagramma del modulo di L(), per ora, diventa per effetto dello zero di G( ) Ma R( ) deve eere realizzabile (numero poli numero zeri), e quindi erve inerire poli, reali negativi per poter poi applicare il criterio di Bode per la tabilità (i veda il terzo requiito), ad eempio entrambi in ω = 6 rad / oppure più ditanti, almeno una decade dopo la ω c, oppure ditinti ma empre lontani dalla ω c Terzo requiito: con le celte precedenti e con i poli di R( ) in 5 L( ) = 6 = 6 5 che ha queti diagrammi di Bode:, ω = rad, i ha 3 Diagramma di Bode - Modulo Diagramma di Bode - Fae db - - gradi l i l i

8 Pertanto, rad ωc = ϕc = 9 ϕm = 8 ϕc = 9 > µ L = > per il criterio di Bode, il itema in anello L() aintoticamente tabile chiuo è aintoticamente tabile 5 Dato un itema a tempo dicreto con funzione di traferimento G(z), dire come i poono ricavare i campioni della ua ripota allo calino Si faccia riferimento alla teoria 8