Lezione 19. Stabilità robusta. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 1

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1 Lezione 19. Stabilità robusta F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 1

2 Schema 1. Stabilità & incertezza 2. Indicatori di stabilità robusta 3. Margine di guadagno 4. Margine di fase 5. Criterio di Bode 6. Sistemi a fase minima F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 2

3 1. Stabilità di sistemi retroazionati incerti modello nominale modello vero w + - L(s) y w + - ~ L ( s ) y in generale L ~ ( s) L( s) stabilità robusta = garanzia di stabilità anche in presenza di incertezza F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 3

4 Tipici modelli dell incertezza incertezza additiva limitata in modulo L ~ ( s) = L( s) + δl( s) δl( jω) Im Re L( jω) incertezza sul guadagno della funzione d anello ~ L ( s) = kl( s) 0 < k k F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 4

5 2. Indicatori di stabilità robusta Sono parametri che misurano: l ampiezza delle perturbazioni per cui è garantita la stabilità la distanza del modello nominale dall instabilità F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 5

6 Ipotesi modello nominale asintoticamente stabile in anello chiuso L(s) non ha poli con Re > 0 Im 1 Re L( jω) Per il Criterio di Nyquist asintotica stabilità N = 0 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 6

7 Un indicatore di robustezza Margine di stabilità vettoriale d distanza di Γ dal punto 1 d = min1+ L( ω jω) Im 1 d 1+ L( jω) Re L( jω) Γ F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 7

8 3. Margine di guadagno 1 A x A π Im k m = 1 x A ω arg L( jω π ) = 180 Re L( jω) Sia ω π la pulsazione per cui Allora = L jω ) x A ( π Γ k 1 m = = L( jω L( j ) ) π ω π db F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 8

9 Interpretazione w modello nominale + - L(s) y w + - modello vero k L(s) y k m > 1 (quindi x A <1) E asintoticamente stabile per tutti i valori di k tali che 0 < k < k m (infatti bisogna guardare i giri intorno a 1 e 1 > 1 = x ) A k k k m km è un indicatore di robustezza rispetto a incertezze sul guadagno d anello F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 19 9

10 Esempio w + - L y (s) L ( s ) = 10 ( 1+ s) 3 Si calcoli ω π Calcolare analiticamente il margine di guadagno arg L ( jω ) = 180 π ( ω ) = 3arctg π 180 ω π = ( 60 ) 3 tg = rad/s Si valuti il margine di guadagno 3 ( 1+ 3) k 1 1+ jωπ 4 k = = = = 1 m < m L( jω ) Sistema instabile π 3 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

11 Tracciando il diagramma di Nyquist si può avere conferma del risultato ottenuto. 8 Nyquist Diagram 6 4 Imaginary Axis Real Axis F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

12 Esempio w + - L y (s) L ( s ) = 10 ( 1+ s)( 1+ 5s)( 1+ 15s) Calcolare analiticamente il margine di guadagno arg L ( jω ) = 180 π arctg Si calcoli ω π ( ) ( ) ( ) ωπ arctg 5ωπ arctg 15ωπ = 180? Non è sempre possibile calcolare analiticamente il margine di guadagno F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

13 4. Margine di fase 1 Im Sia ω c la pulsazione per cui ω c L ( jω ) = 1 c si dice pulsazione critica ϕ m C ω c ϕ c Re L( jω) Sia ϕ = c arg L( jω ) c Γ ϕ c si dice fase critica Si definisce margine di fase ϕ = 180 m ϕ c F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

14 Interpretazione w modello nominale + - L(s) y w + - modello vero e τs L(s) y ϕ m > 0 asintoticamente stabile π ωcτ < ϕm 180 ϕm π ovvero τ < ω 180 c ϕm è un indicatore di robustezza rispetto a incertezze sul ritardo d anello F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

15 Esempio w + - L(s) y L ( s) = 10 ( 1+ s)( 1+ 2s) Calcolare analiticamente il margine di fase Si calcoli ω c L( jω c ) = jωc 1+ j2ωc = ωc 1+ 4ωc = ωc + 5ωc + 1 = 100 ω c rad/s Si valuti il margine di fase ( ω ) arctg( 2ω ) = 141. ϕ = arg L( jω ) = arctg 1 c ϕ = m c c Sistema asintoticamente stabile c F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

16 Esempio w + - L(s) y L ( s) = 10 3 ( 1+ s) ( 1+ 5s) Calcolare analiticamente il margine di fase Si calcoli ω c 10 ( ) = 1 ( ) L jω c = ωc 1+ 25ωc = 10 1 jω 1+ j5ω + c c ( 2 ) 3 ( 2 ω ω + 1) = 100? c c Non è sempre possibile calcolare analiticamente il margine di fase F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

17 Caso particolare 1 1 k m Im 1 A ω π Re ϕ m ω c C Γ L( jω) k m ϕ m >> 1 >> 0 ma il sistema è assai poco robusto F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

18 Caso particolare 2 Im k m = 1 Re L( jω) Γ arg L( jω ) < 180, ω F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

19 Caso particolare 3 Im ϕ m = 1 Γ L( jω) Re L( jω ) < 1, ω F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

20 Riassumendo 1 k m Im ϕ m 1 C A ω c ω π Re Γ margine di guadagno k = L jω ) m ( π db, arg L ( jω ) = 180 π margine di fase ϕ m = 180 arg L( jωc), ( jω ) = db L c 0 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

21 Valutazione dai diagrammi di Bode db gradi modulo fase ϕ m ω c ω π k m 0 db 180 margine di guadagno ω π 5 rad/s k m 30 db = ω c ϕ m = margine di fase rad/s F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

22 Esempio w + - L y (s) L ( s ) = 10 ( 1+ s)( 1+ 5s)( 1+ 15s) Usando i diagrammi di Bode, valutare approssimativamente il margine di guadagno del sistema retroazionato. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

23 Magnitude (db) Bode Diagram ω π rad/s k m System: L Frequency (rad/sec): db Magnitude (db): Phase (deg) Frequency (rad/sec) System: L Frequency (rad/sec): Phase (deg): -180 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

24 Tracciando il diagramma di Nyquist si può avere conferma del risultato ottenuto. Imaginary Axis System: L Real: Imag: 1.23e-005 Frequency (Hz): Nyquist Diagram ω π k m Hz 0.54 rad/s Real Axis F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

25 Ripetere il calcolo usando i diagrammi di Bode asintotici. 50 Diagramma di Bode - Modulo 0 db pulsazione Diagramma di Bode - Fase gradi pulsazione? E difficile ricavare il valore di ω π dal diagramma asintotico F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

26 Esempio w + - L y (s) L ( s ) = 10 ( 1+ s)( 1+ 5s)( 1+ 15s) Usando i diagrammi di Bode, valutare approssimativamente il margine di fase del sistema retroazionato. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

27 Magnitude (db) Bode Diagram System: L Frequency (rad/sec): Magnitude (db): -7.94e-005 ω c ϕ 25 m rad/s Phase (deg) System: L Frequency (rad/sec): Phase (deg): Frequency (rad/sec) F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

28 Ripetere il calcolo usando i diagrammi di Bode asintotici. Diagramma di Bode - Modulo 0.35rad/s 50 0 ω c db -50 gradi pulsazione Diagramma di Bode - Fase pulsazione? E però possibile calcolare analiticamente la fase critica φ c ϕ = arctg ω arctg 5ω arctg 15ω = c = arctg ϕ ( c ) ( c ) ( c ) ( 0.35) arctg( 1.75) arctg( 5.25) = = F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez m

29 5. Criterio di Bode Condizioni di applicabilità w + - L(s) y P = 0 il diagramma di Bode del modulo associato a L(s) attraversa una sola volta l asse a 0 db ϕ m µ margine di fase guadagno d anello asintotica stabilità µ > 0 ϕ m > 0 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

30 Dimostrazione nelle ipotesi fatte µ > 0 ϕ m > 0 N = 0 = P asintotica stabilità F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

31 Perché µ > 0? Im Per escludere casi di questo tipo µ < 0 Γ 1 Re ϕ m > 0 C F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

32 6. Criterio di Bode (approssimato) per sistemi a fase minima L(s) a fase minima poli e zeri hanno Re 0 il guadagno µ è positivo la condizione µ > 0 è soddisfatta i diagrammi asintotici di Bode di modulo e fase hanno forti legami (dove il modulo ha pendenza k la fase vale circa k 90 ) F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

33 0 db L( jω) 1 ω c se l attraversamento dell asse a 0 db avviene con pendenza 1 ω (e se il tratto con tale pendenza è sufficientemente lungo) arg L( jω) 0 ϕ c 90 ω ϕ c ϕ m F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

34 Esempio w + - y L (s) L( s) = 10 ( 1+ 5s)( 1+ s)( s) Giudicare la stabilità mediante il criterio di Bode (se applicabile). P = 0 il diagramma di Bode del modulo associato a L(s) attraversa una sola volta l asse a 0 db Il criterio di Bode è applicabile. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

35 20 ω c 0-20 db rad/s F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

36 Dal grafico ω C 1.4 rad/s ( 5ωC ) atan( ωc ) atan( 0. ωc ) = ( 5 1.4) atan( 1.4) atan( ) = ( 7) atan( 1.4) atan( 0. ) = ϕc = atan 2 = atan 4 = atan 28 = = 152 ϕ = = 28 m asintotica stabilità µ =10 > 0 = 28 > 0 ϕ m Valori esatti : ω C =1.2 rad/s ϕ = m F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez