Stabilità dei sistemi in retroazione. Diagrammi polari e teorema di Nyquist

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1 Stabilità dei sistemi in retroazione Diagrammi polari e teorema di Nyquist

2 STABILITA DEI SISTEMI IN RETROAZIONE Vogliamo studiare la stabilità del sistema in retroazione a partire della conoscenza di L(s Sono possibili diversi metodi: Calcolo dei poli a ciclo chiuso Criterio di Routh Criterio di Nyquist Luogo delle radici.

3 Teorema di Nyquist Definizione: Si definisce diagramma di Nyquist della funzione a catena aperta L(s l immagine attraverso L(s del cammino di Nyquist Definizione: Si definisce cammino di Nyquist associato alla funzione L(s il percorso chiuso sul piano complesso costituito da: L asse immaginario ad esclusione dei poli puramente immaginari di L(s Un semicerchio di raggio infinito che racchiude l intero semipiano destro Il cammino di Nyquist si assume percorso in senso orario

4 Sul tratto del cammino di Nyquist costituito dal semiasse immaginario positivo il diagramma di Nyquist coincide con la rappresentazione sul piano complesso della funzione di risposta armonica Il semiasse immaginario negativo è rappresentato dalla curva simmetrica rispetto all asse reale Il cerchio di raggio infinito, se L(s è strettamente propria, corrisponde all origine del piano complesso G 9 ( s lim Re xp( ϑ s R ϑ 9 I semicerchi di raggio infinitesimo percorsi in senso antiorario corrispondono a semicerchi di raggio infinito percorsi in senso orario G s ( s limr ( ± R exp( ϑ 9 ϑ 9 Verso di percorrenza: crescenti

5 Sia L(s la funzione di trasferimento della catena diretta di un sistema di controllo in retroazione unitaria, sia P il numero di poli di L(s a parte reale positiva sia N il numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist di L(s intorno al punto - ( i giri sono positivi se in senso antiorario, negativi se in senso orario, non definiti se il diagramma tocca il punto Condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile è che N sia ben definito e che risulti NP In generale si ha: Z P - N dove Z è il numero di poli instabili a ciclo chiuso

6 L( s µ ( st N Z N P Z se µ<- N- Z se µ>- N Z se µ- N non è definito µ se µ<- N P Z se µ>- N P Z se µ- N non è definito

7 ( ( 3 > µ µ s s L 8 µ x A > > < Z N µ µ µ < < > Z N µ µ µ il sistema a ciclo chiuso diventa instabile all aumentare di k SISTEMA A STABILITA REGOLARE

8 ESTENSIONI DEL CRITERIO DI NYQUIST Condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema in figura sia asintoticamente stabile è che il numero di giri percorsi in senso antiorario intorno al punto -/µ sia ben definito e che risulti uguale al numero di poli a parte reale positiva di L(s

9 Sistemi a stabilità condizionata P k> x A - per -/k<- /k> k< N- Z per -/k>- k> N Z il sistema diventa stabile all aumentare di k

10 esempio ( s s G ( G ] ( Re[ G ] ( Im[ G ( G ϕ arctg arctg Re Im ( Im Re π ϕ

11 G( s G( s Re[ esempio Im[ G( ] G( ] G( ϕ( ( π arctg Re Im ϕ - π π

12 esempio ( ( s s K s G τ ( ( ( ( τ τ τ τ K K K G ϕ π π 3 Im Re τ π ϕ arctg

13 il diagramma di Nyquist compie due giri in senso orario intorno al punto (-, (N-, poiché P si ha Z cioè il sistema a ciclo chiuso questo ha due poli a parte reale positiva qualunque k.

14 Esempio sistema a stabilità condizionata 3 ( ( s s s G ( ( ( ( ( G 3 Im Re > < per quadrante 3 per quadrante ( G / / / ( π π π ϕ arctg arctg

15 Re - - Im φ -3π/ -π -π/ > K > K N se si ha e quindi sistema stabile; Z < K < se K si ha N e quindi sistema instabile; Z > K < 3 se K si ha N e quindi sistema instabile. Z

16 esempio G( s ( s ( s k ( s 3 Re Im ( ( 6k( ( 4( k( ( 4( 9 9 ϕ arctg arctg / arctg / 3 Intersezioni: con l asse immaginario per con l asse reale per sqrt( sqrt( Re k/6 -k/6 Im -k/ fase -π/ -π -3π/

17 -k/6 -k/6<- N P Z -k/6>- N- P Z -k/

18 STABILITA IN CONDIZIONI PERTURBATE approssimazioni durante la determinazione del modello linearizzazione variazioni o incerta conoscenza dei parametri del sistema approssimazioni effettuate sul modello (riduzione dell ordine parametri che indicano quanto la stabilità del sistema è robusta MARGINI DI STABILITA IPOTESI: L(s non ha poli a parte reale positiva il diagramma di Nyquist di L(s interseca una sola volta l asse reale negativo in queste condizioni la stabilità del sistema a ciclo chiuso è garantita dal fatto che sia N, cioè che l intersezione del diagramma di Nyquist con l asse delle ascisse avvenga a destra del punto -

19 margine di guadagno stabilità m L m G G > ( π ( db db G L L L m ( ( log log ( log π π π

20 margine di fase m m ϕ ϕ 8 o > arg( L( stabilità t

21 Casi particolari Margine di guadagno infinito Margine di fase infinito

22 Casi particolari

23 Sistemi con ritardo finito Il ritardo finito non altera il modulo ma introduce ad ogni pulsazione un ritardo (sfasamento negativo pari a τ radianti φm Se il sistema L(s ha margine di fase alla pulsazione c (espresso in gradi, il margine di fase del sistema con ritardo sarà: φm φ mc τ(8/π

24 Dalle considerazioni precedenti è anche possibile affermare che il margine di fase è anche un indicatore del massimo ritardo finito che un sistema può tollerare prima di diventare instabile, che è dato da: τ < ϕ m c (π /8

25 Validità degli indicatori di robustezza Buoni indicatori di robustezza sono in genere un margine di guadagno di 4-6 e un margine di fase di 4-6 gradi, che vanno valutati congiuntamente e caso per caso per evidenziare situazioni anomale Per alcuni classi di sistemi questi indicatori sono attendibili con un certo grado di sicurezza

26 Criterio di Bode Si assume che: La funzione di anello aperto è priva di poli a parte reale positiva ed strettamente propria Il diagramma di Nyquist presenta una unica pulsazione di attraversamento allora il sistema a ciclo chiuso risulta internamente stabile se e solo se: - il guadagno di Bode è positivo - il margine di fase è positivo

27 Se oltre alle ipotesi precedenti la funzione di trasferimento di anello non possiede ritardi temporali né zeri con parte reale positiva (cioè il sistema ad anello aperto è a fase minima il sistema si dice comune In queste ipotesi modulo e fase di L( sono strettamente correlati: - ad ogni polo corrisponde un contributo di -db/decade per il modulo e -9 per la fase - ad ogni zero corrisponde un contributo di db/decade per il modulo e 9 per la fase Questo permette di formulare una congettura attendibile sul valore della fase ad una determinata ppulsazione in base all andamento del modulo

28 Se l attraversamento a db del diagramma di Bode del modulo avviene con pendenza -*k db/decade, con kscarto poli zeri incontrati prima della pulsazione di attraversamento, il valore corrispondente della fase sarà circa di k*9 La situazione ottimale dal punto di vista del margine di fase sarà quella di imporre k, che corrisponde ad un margine di fase di 9, e di far si che il diagramma dei moduli mantenga pendenza - db/decade in una ampia banda centrata intorno alla pulsazione di attraversamento Questo garantisce automaticamente anche un buon margine di guadagno perché la pulsazione π sarà certamente maggiore di quella di attraversamento ed il modulo ha pendenza negativa e sarà quindi certamente << ( db Ne segue che per sistemi comuni, imporre un buon margine di fase garantisce automaticamente anche un buon margine di guadagno