Concorso di ammissione al primo anno, a.a. 2006/07 Prova scritta di fisica

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1 Concorso di ammissione al primo anno, a.a. 2006/07 Prova scritta di fisica Corsi di laurea in Fisica, Informatica e Matematica. 1) Si osserva che una stella collassata (pulsar) ruota attorno al suo asse 10 volte al secondo. Supponendo che la pulsar sia sferica si calcoli il valore minimo della sua densità media. Se il Sole (periodo T=24 giorni) collassasse senza perdere massa in una pulsar di densità nucleare (10 17 Kg/m 3 ), quale sarebbe il suo periodo? Quale sarebbe la sua densità minima con questo periodo? Si considerino solo gli effetti delle forze gravitazionali. Costanti numeriche Costante di Newton G N = Nm 2 kg 2. Raggio del Sole R S = m. Massa del Sole M S = kg. Periodo di rotazione del Sole T S = 24 giorni. Soluzione: Per l equilibrio alla superficie Rω 2 GM/R 2 da cui ρ = M 3ω2 4 πr3 4πG = Kg/m 3. 3 Con densità nucleare ρ N = Kg/m 3 il sole avrebbe raggio R = 17 Km. Conservando il momento angolare avrebbe periodo T = sec. La densità limite per questa rotazione sarebbe di nuovo Kg/m 3 e il sole collassato non perderebbe massa.

2 2) Una clessidra di altezza totale 2h e massa a vuoto M con dentro una massa m di sabbia viene messa su una bilancia. Inizialmente la sabbia è a riposo nella parte superiore e al tempo t = 0 comincia a cadere. Si calcoli cosa segna la bilancia dal tempo t = 0 al momento in cui l ultimo granello di sabbia è sceso alla base della clessidra e se ne disegni un grafico. Si supponga che ogni granello di sabbia faccia un salto di altezza h e si fermi istantaneamente alla base della clessidra e che la massa di sabbia che cade per unità di tempo sia costante e pari a λ = dm/dt. Soluzione: Il tempo che ci mette il primo granello a colpire la base della bilancia é t 1 = 2h/g. Per 0 < t < t 1 una massa di sabbia λt è in volo e la forza sulla bilancia è P 1 = (M + m λt)g. In seguito per t 1 < t < t 2 = m/λ i granelli cadono regolarmente dal serbatoio sulla base e la massa in volo è costante pari a λt 1 = λ 2h/g. D altro canto la sabbia che si ferma sul fondo esercita una forza verso il basso pari a F = dp dt = v dm dt = λ 2gh. Quindi la bilancia segna P 2 = (M + m)g λt 1 g + F = (M + m)g. Dal tempo t 2 l ultimo granello impiega ancora un tempo t 1 per raggiungere la base. Quindi per t 2 < t < t 2 + t 1 la caduta provoca sempre una forza F mentre la massa in volo è solo λ(t 1 + t 2 t), da cui P 3 = (M + m)g λ(t 1 + t 2 t)g + λ 2gh = (M + m)g + λ(t t 2 )g. Peso Bilancia t1 = 2h/g t2 =m/ λ t 1 +t2 (M+m)g+λ 2gh (M+m)g (M+m)g-λ 2gh t

3 3) Nella descrizione quantistica dell atomo di idrogeno, per orbite circolari dell elettrone sufficientemente grandi, il momento angolare dell elettrone rispetto al protone assume valori discreti di modulo L n = h 2π n, dove h è la costante di Planck ed n un intero abbastanza grande. Applicando questa condizione a normali considerazioni di meccanica classica, calcolare al variare di n le corrispondenti energie E n e le frequenze di rotazione ν n dell elettrone, nota la sua carica e e la sua massa m. Saltando da un livello di energia E n a quello adiacente E n 1, l atomo emette un quanto di luce di frequenza ν n = (E n E n 1 )/h. In che relazione stanno ν n e ν n? Soluzione: Usando T = 2πr/v e L = mvr e uguagliando la forza centrifuga alla forza di Coulomb, si ottiene E n = me4 e ν 8ǫ 2 0 n2 h 2 n = me4 1 con ν 4ǫ 2 0 n3 h 3 n ν n per grandi n, perche n 1 2 (n 1) 2 2 n. 3

4 4) Un oggetto cilindrico di massa M e sezione A si muove con velocità w parallela al suo asse, in un gas di particelle di polvere di massa m molto minore di M, e numero per unità di volume n. Considerando la velocità v del moto delle particelle molto minore di w, si determini la forza di attrito sul cilindro causata dagli urti contro le particelle di polvere. Come cambia il risultato se gli urti tra la polvere e il cilindro sono perfettamente anelastici (la polvere si attacca al cilindro) o se sono invece perfettamente elastici? Si stimi la dipendenza da w della forza di attrito se invece la velocità v delle particelle di polvere è molto maggiore di w. Soluzione: a) caso v w. Nel sistema in cui il cilindo è fermo, le particelle di gas lo colpiscono sulla faccia anteriore (di sezione A) con una velocità v circa uguale a -w. Il numero di urti nel tempo t è pari alla densità volumetrica per il volume entro il quale sono comprese le particelle che urteranno la parete entro t, ovvero nav x t = nmaw t i) urti anelastici. Ogni urto trasferisce una quantità di moto p = mv x = mw. La quantità di moto totale trasferita nel tempo t sarà dunque nmaw 2 t, e la forza risentita sarà F = nmaw 2. ii) urti elastici. Ogni urto trasferisce una quantità di moto p = 2mv x = 2mw. La quantità di moto totale trasferita nel tempo t sarà dunque 2nmAw 2 t, e la forza risentita sarà F = 2nmAw 2. La forza di attrito risulta nei due casi proporzionale al quadrato della velocità dell oggetto. b) caso w v. Nel sistema del cilindro le particelle colpiscono la faccia anteriore, quella posteriore e la superficie laterale. L effetto sulla superficie laterale è nullo per simmetria. Per stimare quello sulla faccia anteriore consideriamo solo le particelle di velocità v che si muovono in direzione perpendicolare alla faccia. Per la faccia anteriore si ha v x = (w + v) e F a = 2nmA(w + v) 2 mentre per quella posteriore v x = v w e F p = 2nmA(w v) 2. La forza totale agente sul cilindro è la somma delle due: F = 8nmAvw, proporzionale alla velocità dell oggetto (attrito viscoso). Un calcolo più preciso comporta, fissato il valore della velocità v w, un integrale sull angolo solido per tener conto dei possibili angoli di incidenza. Il risultato cambia solo di un fattore 1 2, ma mantiene la proporzonalità a Wv. Seguirebbe un integrale sulla distribuzione di v ma, a patto che v sia sempre molto maggiore di w per i valori rilevanti nella distribuzione, questo non cambia la proporzionalità a w della forza di attrito risultante.

5 5) Si consideri uno specchio che riflette il 98% dell energia luminosa incidente, ne trasmette l 1% e ne assorbe l 1%. Le due facce dello specchio sono identiche e si comportano nello stesso modo. Un raggio di luce viene fatto passare attraverso due di questi specchi identici e paralleli tra loro, posti alla distanza di un metro l uno dall altro. Ambedue gli specchi sono perpendicolari alla direzione del raggio di luce. La potenza luminosa del raggio incidente sul primo specchio è di 1 Watt. a) Si calcoli la potenza del raggio di luce trasmesso dal secondo specchio. b) Si calcoli l energia luminosa totale contenuta nello spazio compreso tra i due specchi. c) Se, ad un certo istante, il raggio incidente sul primo specchio viene spento, si calcoli dopo quanto tempo l energia luminosa di cui al punto b) si sarà ridotta della metà. Soluzione: Sia α (=0.01) il coefficiente di trasmissione e β (=0.98) il coefficiente di riflessione. A = αb B = αw + βc da cui A = W α 1 β 2 = Watt C = βb Se t = d/c è il tempo che la luce impiega a percorrere lo spazio tra i due specchi allora α E = (B + C) t = W t 1 β = Joule. Ad ogni riflessione la potenza del fascio si riduce al 98%. Dopo n riflessioni la potenza si è ridotta a 0.98 n. Quindi n si ricava da 0.98 n = 0.5 da cui n = ln(0.5) ln(0.98). Il tempo di dimezzamento è quindi t = n t = ln(0.5) 1m ln(0.98) m/s = sec.

6 6) Due sfere di raggio R e uniformemente cariche con densità di carica opposta hanno una distanza tra i centri d < 2R. Si mostri che il campo elettrico all interno della regione di sovrapposizione delle due sfere è uniforme e proporzionale a d. Soluzione: Il campo elettrico all interno di una sfera uniformemente carica si ottiene con la legge di Gauss E = ρ r. Per due sfere con densità di carica uguale in valore assoluto ma di segno opposto, nella zona di sovrapposizione abbiamo E = E 1 + E 2 = ρ 1 r 1 + ρ 2 r 2 = ρ 1 ( r 1 r 2 ). Ma ( r 1 r 2 ) è proprio il vettore che rappresenta la distanza tra i centri delle due sfere.

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