MST.1.01 Sia dato il portale in figura, con il trasverso BC indeformabile ed i montanti di rigidezza EJ.

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1 Meccanica delle strutture Componenti di spostamento Sistemi iperstatici di travi Linea elastica e metodo di Ritz. Componenti di spostamento in sistemi isostatici di travi MST.1.01 Sia dato il portale in figura, con il trasverso BC indeformabile ed i montanti di rigidezza EJ. Determinare lo spostamento orizzontale del trasverso. MST.1.02 Sia data una mensola di luce L = 3 m, momento di inerzia J = 1m 4 e modulo elastico E = 10 t/m 2. Determinare il valore della coppia da applicare all'estremo libero per causare un abbassamento di 0.1 m. MST.1.03 Calcolare la rotazione relativa tra gli estremi A e B di una trave di lunghezza L, rigidezza EJ = cost., incernierata nell'estremo A e appoggiata nell'estremo B, al centro della quale sia applicato un momento M orario. MST.1.04 Data la trave in figura determinare il valore della rigidezza flessionale EJ affinché la rotazione dell'estremo C sia inferiore a 0.01 radianti.

2 MST.1.05 Come MST.1.04, con la condizione che lo spostamento della mezzeria di AB sia 0,01 m. MST.1.06 Determinare il modulo delle forze F tale che lo spostamento orizzontale del nodo B sia pari a L/10. Assumere note le rigidezze delle aste. MST.1.07 Determinare la rotazione in A ed in C della trave in figura. Il tratto AB è indeformabile. MST.1.08 Determinare la rotazione all'estremità di una trave semplicemente appoggiata sollecitata da una forza F in mezzeria. Assumere costante la rigidezza flessionale EJ. MST.1.09 Data la trave in figura, di rigidezza flessionale costante EJ, determinare l'abbassamento dell'estremo

3 libero C. MST.1.10 Determinare la rotazione relativa tra le sezioni estreme e l'abbassamento in mezzeria nella trave in figura, con EJ = 100 tm 2. MST.1.11 Determinare la rotazione all'estremità libera della mensola di rigidezza variabile in figura (tratto AB: EJ 1 ; tratto BC: EJ 2 = EJ 1 /4) soggetta ad un carico ripartito costante p. MST.1.12 Come MST.1.11, determinare l'abbassamento di B. MST.1.13 Calcolare le componenti di spostamento del punto B della struttura in figura. Si assuma costante la rigidezza delle aste.

4 MST.1.14 Determinare la rotazione del punto B della struttura in figura. Trascurare la deformabilità a taglio ed assumere EJ = 50, EA = 5, L = 2. MST.1.15 Determinare la rotazione in A prodotta dalla coppia M applicata in B. Assumere EJ = costante. MST.1.16 Determinare lo spostamento verticale V A del punto A.

5 MST.1.17 Determinare lo spostamento verticale V A del punto A MST.1.18 Determinare la rotazione ϕ Β nell'estremo B della trave appoggiata in figura. Assumere inderformabile il tratto CB. Assumere EJ = 100, GA t = nel tratto AC. Sistemi iperstatici di travi MST.2.01 Data le travi iperstatiche di sezione costante in figura,

6 determinare: - le reazioni vincolari; - i diagrammi delle sollecitazioni; - l'energia di deformazione. MST.2.02 La trave in figura ha rigidezza flessionale costante EJ. Assegnato un cedimento angolare antiorario γ = 0.1 rad dell'incastro in B, determinare la reazione vincolare in A. MST.2.03 Tracciare i diagrammi delle sollecitazioni per il portale con trasverso rigido in figura. Assumere la rigidezza flessionale dei montanti pari a EJ. Calcolare lo spostamento orizzontale del trasverso. MST.2.04 Tracciare i diagrammi delle sollecitazioni per il portale dell'esercizio MST.2.03 assumendo anche il

7 trasverso di rigidezza EJ. MST.2.05 Determinare il diagramma del momento flettente nella trave iperstatica in figura. Assumere EJ = costante. Calcolare la rotazione sulla cerniera. MST.2.06 Determinare le reazioni vincolari del portale in figura, causate da un cedimento angolare δ dell'incastro in A. Considerare il trasverso indeformabile ed i montanti deformabili solo per flessione, con rigidezza flessionale EJ. Disegnare i diagrammi delle sollecitazioni. Calcolare lo spostamento del punto D. MST.2.07 Determinare i diagrammi delle sollecitazioni nel sistema iperstatico in figura. Assumere EJ = costante, EA =, GA t =

8 MST.2.08 La trave continua in figura sia scarica, ma subisca un cedimento dell'appoggio in B verso il basso pari a δ = 0.1. Determinare il valore della rigidezza EJ tale che la reazione in A sia inferiore ad un valore assegnato R. MST.2.09 Sulla trave continua a due campate uguali agisce il carico ripartito p. Determinare le reazioni vincolari e i diagrammi delle sollecitazioni. MST.2.10 L'incastro in A della trave in figura, subisce un cedimento verticale verso il basso δ = 0.1. Determinare le reazioni vincolari in A e B. Calcolare la rotazione in B. Assumere EJ costante.

9 MST.2.11 Il carrello in C trasla verso destra in direzione orizzontale di δ = L/20. Determinare i diagrammi delle sollecitazioni. MST.2.12 Calcolare le reazioni vincolari e diagrammare le componenti di sollecitazione per la struttura in figura a cui è imposto un cedimento angolare γ = 0.01 rad all'incastro. Assumere EJ = costante. MST.2.13 Data la struttura in figura, determinare reazioni vincolari e diagrammi di sollecitazione. Assumere EJ = cost. EA = G A t = MST.2.14 Soluzione Determinare le reazioni vincolari e i diagrammi delle sollecitazioni della trave in figura, soggetta al carico p = 1 t/m. Assumere EJ = 2 tmq, EA = GAt =

10 MST.2.15 Determinare reazioni vincolari e diagrammi delle sollecitazioni per la struttura in figura. Assumere EJ = 1, EA = GA t =. MST.2.16 Determinare reazioni vincolari e diagrammi delle sollecitazioni per la struttura in figura. Assumere EA = MST.2.17 Determinare lo sforzo assiale N BE nel tirante BE. Assumere inderformabile la trave AB, e porre EA = 1000 la rigidezza assiale dei due tiranti.

11 Linea elastica e metodo di Ritz MST.3.01 Scrivere l'equazione della linea elastica per una mensola di luce L = 3, rigidezza flessionale EJ = 10, soggetta ad un carico F = 1 all'estremo libero. Calcolare l'energia di deformazione e l'abbassamento massimo. MST.3.02 La trave in figura ha rigidezza flessionale EJ. Assegnato un cedimento angolare antiorario γ = 0.1 rad dell'incastro in B, determinare l'ascissa del punto della trave che subisce l'abbassamento massimo. Determinare poi la reazione vincolare dell'appoggio. MST.3.03 Applicare il metodo di Ritz alla trave in figura, utilizzando come funzione approssimata per l'abbassamento l'espressione: u 2 = qx 1 2 (x 1-1) Controllare se la soluzione ottenuta è equilibrata. MST.3.04 Determinare l'equazione della linea elastica di una trave semplicemente appoggiata di lunghezza L caricata con un carico ripartito p.

12 Calcolare l'abbassamento massimo. MST.3.05 Determinare l'equazione della linea elastica per la mensola in figura. MST.3.06 Data la trave in figura, determinare l'equazione della linea elastica assumendo costante il valore della rigidezza flessionale EJ. MST.3.07 Sia data una mensola di rigidezza costante EJ, di lunghezza L sollecitata da una coppia M all'estremo libero. Utilizzando il metodo di Ritz, determinare la soluzione del problema nella famiglia di spostamenti ammissibili definiti dalle funzioni: u 2 (x 1 ) = q x 1 3

13 dove q è il parametro incognito da determinare. Controllare se la soluzione trovata è la soluzione esatta del problema. MST.3.08 Data la trave in figura, scrivere l'equazione della linea elastica e determinare la rotazione in mezzeria e i diagrammi delle componenti di sollecitazione. MST.3.09 Scrivere l'equazione della linea elastica di una mensola scarica di lunghezza L soggetta ad una rotazione ϕ = 0.5 all'estremo libero. Calcolare l'abbassamento dell'estremo libero.