La legge di Ampere-Maxwell e la corrente di spostamento: le equazioni di Maxwell

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1 La legge di Ampere-Maxwell e la corrente di spostamento: le equazioni di Maxwell 0.1 La legge di Ampere è inadeguata Le equazioni dell elettromagnetismo nel vuoto si presentano a metà del diciannovesimo secolo nella forma 1 : E = ρ/ε 0 Legge di Gauss (o Coulomb) (1835) (1a) E = B Legge di Faraday Neumann (1831) (1b) B = 0 Assenza di monopoli magnetici (1c) B = µ 0 J Legge di Ampere (1826) (1d) Il fatto di metterci nel vuoto non cambia la sostanza del discorso che intendiamo fare. La generalizzazione al caso in cui c è la materia verrà illustrato più avanti. Quando i campi variano nel tempo tali equazioni sono solo parzialmente corrette. In particolare la legge di Faraday-Neumann (8b) (1835 circa) è corretta ma non così si può dire per la legge di Ampere (1d). Guardando alle equazioni di sopra è si osservano due importanti asimmetrie tra campo elettrico e campo magnetico. Lasciamo per ora da parte il fatto che c è la materia, le considerazioni che stiamo per fare si adattano bene anche al caso in cui ho solo E e B. Dalle due prime equazioni riguardanti la divergenza dei campi si evince che mentre esiste una carica elettrica che produce il campo elettrico la stessa cosa non si puødire per il campo magnetico. Allo stato attuale non c è nessuna evidenza di cariche magnetiche singole (monopolo magnetico). Per simmetria, se vi fossero delle cariche magnetiche saremmo portati a introdurre una corrente magnetica nella seconda equazione (1.b). L equazione (1b) di Faraday-Neumann ci dice che una variazione temporale del campo magnetico produce un campo elettrico. Un analoga equazione a parti invertite non c è. A parte queste argomentazioni di simmetria che non possono essere comunque decisive, le equazioni (1) sono comunque incomplete e contengono una contraddizione che andiamo di seguito ad illustrare. 1 La forma delle equazioni di Maxwell così come la conosciamo ora in termini dei due vettori E e B nel vuoto e E, B, D e H nella materia si deve a Oliver Heaviside ( ), che tradusse le scomode 20 equazioni scalari di Maxwell in un formalismo vettoriale più compatto e più comprensibile.

2 Caso locale Si può innanzitutto osservare che la legge di Ampere, così come scritta in alto, ci porta all equazione di continuità (basta prendere la divergenza): J = 0 (2) Questa è l equazione di continuità solo nel caso in cui le cariche e le correnti sono costanti. Nel caso in cui queste variano nel tempo, sappiamo che la corretta equazione di continuità è: J + ρ = 0 (3) Dunque la legge di Ampere sarebbe in contrasto con l equazione di continuità. Caso integrale: Consideriamo ora la formulazione integrale della legge di Ampere: B ds = µ 0 i (4) detto anche teorema della circuitazione. In base a tale teorema, la circuitazione del campo B su una linea chiusa è pari alla corrente concatenata con il circuito su cui integriamo (moltiplicata per µ 0 ). Consideriamo ora un circuito in cui sia presente un condensatore e facciamo la circuitazione di B su un percorso chiuso intorno al filo vicino ad una delle armature del condensatore (Figura 1). Non ho vincoli su quale superficie prendere per fare il flusso della densità di corrente purchè questa abbia come contorno il percorso di integrazione. D altra parte se la superficie interseca il file ho come risultato la corrente i mentre se passa tra le armature del condensatore ho come risultato zero. Anche in questo caso siamo evidentemente in presenza di cariche che variano nel tempo, accumulandosi sulle armature del condensatore (dq/dt 0). i C Figure 1 Circuitazione di B intorno al filo di un circuito. A seconda di quale superficie prendo il risultato cambia. In particolare se questa interseca il filo elettrico ho come risultato la corrente i mentre se questa passa tra le due armature del condensatore ho zero. 2

3 0.2 La legge di Ampere-Maxwell Il problema viene brillantemente risolto da Maxwell (1861). Bisogna introdurre qualche termine che contenga la densità di carica (infatti è questa che manca per ottenere l equazione di continuità). Maxwell corregge l equazione di Ampere aggiungendo alla corrente il termine ε 0 µ 0 / e la nuova equazione diventa: B = µ 0 J + ε 0 µ 0 (5) Facendo la divergenza a destra e a sinistra dell equazione otteniamo esattamente l equazione di continuità voluta (utilizzando l equazione di Gauss E = ρ). Al nuovo termine si da il nome di corrente di spostamento ed in particolare J s = ε 0 è la densità di corrente di spostamento. Anche l equazione integrale viene modificata di conseguenza e diventa B ds = µ 0 i + µ 0 ε 0 S nds = µ Φ(E) 0i + µ 0 ε 0 = µ 0 (i + i s ) (7) Nel caso semplice di un condensatore piano si dimostra facilmente che il flusso del vettore a secondo membro della (5) è identicamente nullo o, in altre parole, che la corrente che passa sul filo (flusso fatto attraverso un superficie che interseca il filo) è esattamente uguale alla corrente di spostamento (flusso fatto all interno del condensatore della densità di corrente di spostamento). Le nueove equazioni di Maxwell (1863) sono allora: (6) E = ρ/ε 0 Legge di Gauss (o Coulomb) (1835) (8a) E = B Legge di Faraday Neumann (1831) (8b) B = 0 Assenza di monopoli magnetici (8c) B = µ 0 J + µ 0 ε 0 Legge di Ampere Maxwell (1863) (8d) Le consequenze delle nuove equazioni sono enormi. Una variazione nel tempo del campo magnetico produce un campo elettrico (variabile nel tempo anch esso). Ma d altra parte un campo elettrico variabile nel tempo produce un campo magnetico. Si produce in questo modo un fenomeno autoconsistente che si può facilmente vedere porta all esistenza di onde elettromagnetiche. Tali onde possono propagarsi anche nel vuoto e la loro velocità vale v = 1 ε0 µ 0 (9) Lo stesso Maxwell con i parametri allora calcolò tale velocità e ottenne il valore v km/s. La vicinanza di tale valore con la velocità della luce c portò Maxwell alla conclusione che con grande probabilità anche la luce doveva essere un onda elettro-magnetica. 3

4 0.2.1 Evidenza sperimentale dell effetto Proviamo a vedere come e quanto può essere messo in evidenza l effetto della corrente di spostamento in un caso pratico. A tal fine consideriamo il caso di un condensatore piano caricato in modo tale da fornire un campo elettrico al suo interno pari a E(t) = E 0 sinωt. Tale campo produrrà all interno del condensatore un campo magnetico dato dall equazione (5) in cui non c è corrente di conduzione (J = 0). Σ E B r Figure 2 Circuitazione di B intorno al filo di un circuito. A seconda di quale superficie prendo il risultato cambia. In particolare se questa interseca il filo elettrico ho come risultato la corrente i mentre se questa passa tra le due armature del condensatore ho zero. Il campo magnetico prodotto da tale corrente di spostamento è lungo delle circonferenze concentriche, perpendicolari al campo elettrico, sul piano del condensatore. Per calcolarlo conviene applicare la legge di Ampere-Maxwell in forma integrale che nel nostro caso produce: B ds = µ 0 ε 0 S nds = µ Φ(E) 0i + µ 0 ε 0 2πrB = µ 0 ε 0 πr 2 ωe 0 cosωt B(r,t) = µ 0ε 0 E 0 rω cosωt (11) 2 Tale campo magnetico produrrà una certa f.e.m. nel nostro toroide, per calcolare la quale basterà applicare la legge di Faraday-Neumann e cioè calcolare la derivata rispetto al tempo del flusso di tale campo con le N spire del toroide. f.e.m. = Φ(B) (10) = 1 2 µ 0ε 0 E 0 NΣrω 2 sinωt = E 0rNΣω 2 sinωt 2c 2 (12) Prendendo come valori r = 10 cm, Σ = 3 cm 2, E 0 = 1000 V/m, N = 600 e ω = 10 7 rad/s otteniamo una f.e.m di 10 mv, molto più piccolo del campo introdotto nel condensatore e per vedere qualcosa bisogna andare a frequenze molto alte (ω > 10 7 Hz). La ragione di ciò è nel fattore c 2 a denominatore Esempio accademico della sfera radioattiva Un interessante esercizio sulla corrente di spostamento è il seguente. Si supponga di avere una sfera radioattiva che emette elettroni β in modo isotropo. Calcoliamo il campo magnetico prodotto dalla sfera. 4

5 Il numero di neutroni liberi di decadere diminuisce come N(t) = N 0 exp t/τ (13) e quindi la sfera acquista una carica Q(t) = e[n 0 N(t)] > 0. Iniziamo assumendo v costante e r/v, cioè un decadimento così lento da essere approssimabile ad un processo costante. Gli elettroni generano una corrente J r (r) = ( e)( Ṅ)/4πr 2 (14) che non dipende da v. Tale corrente è complessivamente negativa in quanto c è un certo n umero di elettroni che esche dalla sfera. Il campo magnetico è zero in quanto la corrente di spostamento cancella J r : J s (r) = ε 0 Ė r = eṅ 4πr 2 (15) Per capire se questa cancellazione è un accidente del caso semplificato che abbiamo considerato, o se è invece dovuta a qualche motivo più profondo, consideriamo casi progressivamente meno semplici. Se il decadimento è veloce, τ r/v, in generale J r (r,t) = eṅ(t r/v) 4πr 2 (16) il numero di elettroni che attraversano una superficie a distanza r al tempo t dipende da quanti ne erano stati emessi al tempo t r/v. La cancellazione fra J e J s rimane perfetta in quanto E r (r) è determinato dalla carica totale dentro una sfera di raggio r (teorema di Gauss), che contiene la sfera radioattiva ed una nuvola di elettroni, eguale a e[n 0 N(t r/v)]. Si ha ancora J + J s = 0. Il calcolo diventa ancora più complicato se si tiene in conto che v non è costante, in quanto la forza di Coulomb rallenta i positroni. Il calcolo è complicato, e non verrà svolto tuttavia si può dimostrare che J e J s si cancellano ancora, in quanto entrambe proporzionali a Ṅ calcolato a qualche istante ritardato. Il ritardo non è più r/v ma è dato da qualche formula complicata che non è necessario calcolare. Sebbene venga qualche i(r) = 4πr 2 J r (r) complicata si ha sempre B = 0. È quindi naturale domandarsi quale sia il motivo generale. Una corrente a simmetria sferica non pu o generare un campo magnetico, che dovrebbe avere solo una componente B r (r), ma questa dà rotore zero. Dunque, dalla IV equazione di Maxwell si ottiene che J + J s = Generalizzazione delle nuove equazioni al caso in cui c è la materia Nel caso in cui c è la materia, le equazioni di Maxwell si complicano leggermente. In particolare è utile introdurre due nuovi vettori che descrivono la polarizzazione e la magnetizzazione nella materia (sono rispettivamente la densità di polarizzazione e la densità di magnetizzazione) nel modo: P = np M = nm (17) dove n è la densità di atomi o molecole (responsabili del fenomeno) per unità di volume e p e m sono rispettivamente il momento di dipolo elettrico e il momento di dipolo magnetico dell atomo o molecola. 5

6 È a quasto punto comodo introdurre altri due campi vettroriali, attraverso le due equazioni di stato: D = ε 0 E + P H = B µ 0 M (18) D è il vettore induzione dielettrica mentre H è il campo magnetico nella materia (spesso B è detto induzione magnetica e H campo magnetico). L utilità dei campi D e H sta nel fatto che sono costruiti in modo tale (attraverso la loro relazione con P e M rispettivamente) che essi vedono solo le cariche libere e le correnti di conduzione (quelle macroscopiche che mettiamo noi). Le equazioni di Maxwell diventano allora: D = ρ E = B B = 0 H = J + D Da queste equazioni come già osservato discende l equazione di continuità (3). Se a queste equazioni aggiungiamo l equazione che descrive la forza di Lorentz (19a) (19b) (19c) (19d) F = q(e + v B) (20) abbiamo tutte le equazioni che descrivono l elettromganetismo. Situazioni specifiche possono essere descritte da altre equazioni particolari che hanno però una validità limitata ad alcune situazioni. Una di queste è ad esempio la legge di Ohm che lega la densità di corrente e il campo elettrico in un condurttore attraverso la legge: E = σj (21) Un caso importante è quello in cui i vettori P e E e M e H sono a due a due paralleli tra loro. Tali mezzi si chiamano mezzi lineari. Per essi possiamo scrivere le relazioni: D = εe = ε 0 ke B = µh = µ 0 k m H (22) In questo caso possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell (19) come quelle nel vuoto (8) purché si sostituisca ε e µ a ε 0 e µ 0. 6