Esercitazioni. Es 1. Dato il seguente dataset

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercitazioni. Es 1. Dato il seguente dataset"

Matteo Castellano
7 anni fa
Visualizzazioni

1 Esercitazioni Es 1 Dato il seguente dataset N SESSO ETA' PESO ALTEZZA DIPLOMA COMPONENTI OCCHIALI FUMO , Ist.Tecnico , Liceo , Ist.Tecnico , Liceo , Ist.Tecnico Ist.Tecnico , Altro ,6 89 Liceo , Liceo ,3 63 Liceo , Ist.Tecnico , Ist.Tecnico , Altro , Ist.Tecnico ,2 60 Ist.Tecnico , Liceo Liceo ,9 58 Liceo ,7 76 Liceo Liceo Altro A Con riferimento al carattere Altezza, calcolare la media aritm. e la media troncata a20% B Calcolare i principali indici di variabilità con riferimento al carattere altezza. C Verificare la presenza di valori anomali per il carattere altezza. Svolgimento La media aritmetica è pari alla somma deli valori diviso per il numero delle unità statistiche, per cui M=171,5. Per calcolare la media troncata dobbiamo trovare quanti elementi vanno tolti, ovvero il 20% di 21 cioè 4 (tramite arrotondamento). Riscriviamo la distribuzione dei dati ORDINATA ed eliminiamo pertanto i primi 2 elementi e gli ultimi due elementi (colorati in giallo): ALTEZZA

2 La media troncata è pari a 171,4. I principali indici di variabilità sono il campo di variazione, la differenza interquartile e la varianza. Il primo è pari alla differenza tra il valore massimo e il valore minimo: =40 cm. Per calcolare la differenza interquartile è necessario calcolare i due quartili Q1 e Q3. Avvalendoci della formula semplificata il primo quartile sarà nella posizione 21*0,25=5,25 ovvero 6 e sarà quindi pari a 165. Il terzo quartile sarà nella posizione 21*0,75=15,75 ovvero 16 ed è quindi pari a 180. La differenza interquartile Q3-Q1 è pertanto pari a 15 cm. La varianza si ottiene facendo la somma degli scarti al quadrato dalla media aritmetica: Xi (Xi-M) (Xi-M)^ ,5 72, ,5 72, ,5 2, ,5 462, ,5 56, ,5 272, ,5 12,25-1,5 2, ,5 72,25-1,5 2, ,5 110, ,5 20, ,5 42, ,5 342,25-1,5 2, ,5 42, ,5 272,25-1,5 2,25

3 -1,5 2, ,5 42, ,5 272, ,25 E dividendo tale somma per il numero delle unità statistiche, dunque VAR=2177,25/21=103,68. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza ed è pari a 10,18. Per verificare la presenza di valori anomali possiamo calcolare i due baffi del boxplot, avendo già Q1 e Q3. Baffo sup=q3+1,5*(q3-q1)=202,5. Essendo tale valore superiore al valore più grande della distribuzione (ovvero 193) si fa coincidere con quest ultimo e si può concludere che non ci sono valori anomali per ecceso. Baffo inf. =Q1-1,5*(Q3-Q1)=142,5 e quindi conclusioni analoghe per i valori anomali per difetto. Es. 2 Dato il seguente estratto dal libretto di uno studente universitario, calcolare la media dei suoi voti xi (Votazione) pi (CFU) Svolgimento

4 La presenza dei CFU introduce un sistema di ponderazione, in altre parole non tutti gli esami hanno lo stesso ma alcuni valgono di più e altri meno a seconda del corrispondente numero di CFU. Occorre pertanto procedere al calcolo di una media ponderata, che si calcola operando il prodotto di ciascun voto per il corrispondente CFU e sommando il tutto: xi (Votazione) pi (CFU) xi*pi totale La media ponderata si ottiene dividendo la somma ottenuta per il titale dei CFU, quindi sarà: Mp=3519/130=27,07. E interessante osservare che se si calcolasse la media aritmetica semplice si otterrebbe un valore più basso. Che significa? Es. 2 Il reddito annuo (in migliaia di euro) di 8 persone è il seguente: individui A B C D E F G H reddito Calcolare il rapporto di concentrazione di Gini commentando il risultato. Tracciare la curva di Lorenz. Svolgimento: ind xi

5 totale 160 Calcoliamo poi la distribuzione dei redditi cumulati e rapportiamo ciascun valore alla somma complessiva dei redditi: ind xi Ai Qi=Ai/tot , , , , , , , totale 160 In questo modo abbiamo ottenuto la prima serie dei valori che utilizziamo per calcolare l indice di Gini, ovvero i Qi. Successivamente ci calcoliamo la frequenza associata a ciascun individuo sul totale degli individui (pari, evidentemente, sempre a 1/n dove n è il numero degli individui, in questo caso 8), e, come prima ne calcoliamo la distribuzione delle cumulate: ind xi Ai Qi=Ai/tot fi Fi ,0625 0,125 0, ,1375 0,125 0, , ,125 0, , ,125 0, , ,125 0, , ,125 0, , ,125 0, ,125 1 totale 160 3,5 In questo modo abbiamo calcolato la seconda serie di valori che utilizziamo per calcolare l indice di Gini, ovvero le Fi. Introduciamo un ultima colonna a destra contenente la differenza tra Fi e Qi per ciascun individuo: ind xi Ai Qi=Ai/tot fi Fi Fi-Qi ,0625 0,125 0,125 0, ,1375 0,125 0,25 0, , ,125 0,375 0, , ,125 0,5 0, , ,125 0,625 0, , ,125 0,75 0, , ,125 0,875 0,09375

6 , totale 160 3,5 0,88125 L indice di Gini sarà pari al rapporto tra la somma dei valori dell ultima colonna ad esclusione dell ultimo e la somma dei valori delle Fi, sempree ad esclusione dell ultimo. Sarà dunque R=0,88125/3,5=0,25. Tale valore, ricordando che R varia tra 0 ed 1, attesta una concentrazione piuttosto moderata. Il diagramma di Lorenz, avente alle ascisse i valori delle Fi (nel grafico Pi) e alle ordinate i valori delle Qi è il seguente: curva di Lorenz Q P Es. 3 Date le distribuzioni delle due variabili per i seguenti paesi europei var A var B francia 9,8 30 spagna 9,3 31,2 portogallo 5,7 29,9 polonia 7,5 28,8 grecia 8,1 30,3 norvegia 15,5 30,1

7 austria 7,9 29,8 italia 9,9 31,3 svizzera 12,2 31,3 ungheria 5,9 29,3 svezia 15,5 30,7 Rendere comparabili le due distribuzioni tramite normalizzazione e standardizzazione. Calcolare l'indice composito. Svolgimento a) Normalizzazione Per ciascuna delle due distribuzioni (e dunque per colonna) occorre individuare il valore più piccolo (in giallo) e quello più grande (in verde) e poi sostituire ciascun valore Xi con il valore ottenuto dal rapporto (Xi-min)/(max-min): var A var B francia 9,8 0,42 francia 30 0,48 spagna 9,3 0,37 spagna 31,2 0,96 portogallo 5,7 0,00 portogallo 29,9 0,44 polonia 7,5 0,18 polonia 28,8 0 grecia 8,1 0,24 grecia 30,3 0,6 norvegia 15,5 1,00 norvegia 30,1 0,52 austria 7,9 0,22 austria 29,8 0,4 italia 9,9 0,43 italia 31,3 1 svizzera 12,2 0,66 svizzera 31,3 1 ungheria 5,9 0,02 ungheria 29,3 0,2 svezia 15,5 1,00 svezia 30,7 0,76 Ad esempio 0,42 è pari a (9,8-5,7)/(15,5-5,7). Una volta ottenuti i nuovi valori per entrambe le distribuzioni, il valore dell indice sintetico è la media dei due valori (dunque per riga): var A var B IS francia 9,8 0,42 francia 30 0,48 francia 0,45 spagna 9,3 0,37 spagna 31,2 0,96 spagna 0,66 portogallo 5,7 0,00 portogallo 29,9 0,44 portogallo 0,22 polonia 7,5 0,18 polonia 28,8 0 polonia 0,09 grecia 8,1 0,24 grecia 30,3 0,6 grecia 0,42 norvegia 15,5 1,00 norvegia 30,1 0,52 norvegia 0,76 austria 7,9 0,22 austria 29,8 0,4 austria 0,31 italia 9,9 0,43 italia 31,3 1 italia 0,71 svizzera 12,2 0,66 svizzera 31,3 1 svizzera 0,83 ungheria 5,9 0,02 ungheria 29,3 0,2 ungheria 0,11 svezia 15,5 1,00 svezia 30,7 0,76 svezia 0,88

8 Ad esempio 0,45 è pari a (0,42+0,48)/2. b) Standardizzazione Come nel caso precedente, per ciascuna delle due distribuzioni occorre calcolare media e deviazione standard: var A (xi-m)^2 var B (xi-m)^2 francia 9,8 0,002 francia 30 0,060 spagna 9,3 0,207 spagna 31,2 0,911 portogallo 5,7 16,439 portogallo 29,9 0,119 polonia 7,5 5,083 polonia 28,8 2,089 grecia 8,1 2,738 grecia 30,3 0,003 norvegia 15,5 33,010 norvegia 30,1 0,021 austria 7,9 3,439 austria 29,8 0,198 italia 9,9 0,021 italia 31,3 1,112 svizzera 12,2 5,980 svizzera 31,3 1,112 ungheria 5,9 14,858 ungheria 29,3 0,894 svezia 15,5 33,010 svezia 30,7 0,207 M 9,75 114,787 M 30,25 6,727 VAR 10,435 VAR 0,612 STD 3,230 STD 0,782 Per ciascuna delle due distribuzioni (e dunque per colonna) occorre poi sostituire ciascun valore Xi con il valore ottenuto dal rapporto (Xi-M)/STD: var A var B francia 9,8 0,01 francia 30-0,31387 spagna 9,3-0,14 spagna 31,2 1,2206 portogallo 5,7-1,26 portogallo 29,9-0,44174 polonia 7,5-0,70 polonia 28,8-1,84834 grecia 8,1-0,51 grecia 30,3 0, norvegia 15,5 1,78 norvegia 30,1-0,186 austria 7,9-0,57 austria 29,8-0,56961 italia 9,9 0,05 italia 31,3 1, svizzera 12,2 0,76 svizzera 31,3 1, ungheria 5,9-1,19 ungheria 29,3-1,20898 svezia 15,5 1,78 svezia 30,7 0, Una volta ottenuti i nuovi valori per entrambe le distribuzioni, il valore dell indice sintetico è la media dei due valori (dunque per riga): var A var B IS francia 9,8 0,01 francia 30-0,31387 francia -0,15

9 spagna 9,3-0,14 spagna 31,2 1,2206 spagna 0,54 portogallo 5,7-1,26 portogallo 29,9-0,44174 portogallo -0,85 polonia 7,5-0,70 polonia 28,8-1,84834 polonia -1,27 grecia 8,1-0,51 grecia 30,3 0, grecia -0,22 norvegia 15,5 1,78 norvegia 30,1-0,186 norvegia 0,80 austria 7,9-0,57 austria 29,8-0,56961 austria -0,57 italia 9,9 0,05 italia 31,3 1, italia 0,70 svizzera 12,2 0,76 svizzera 31,3 1, svizzera 1,05 ungheria 5,9-1,19 ungheria 29,3-1,20898 ungheria -1,20 svezia 15,5 1,78 svezia 30,7 0, svezia 1,18

Documenti analoghi

Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice in un dato anno:

Esercizio 1 Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice in un dato anno: Casa Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagen ni 59865 19955 13303 15521 11086 39910 1. Individuare