( ) ( ) DOVE SI NASCONDE L ERRORE? L. non può essere a = b. a > b

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1 3 4 5 ( a b ) ( b + c )( a b ) DOVE SI NASCONDE L ERRORE? L ) a b + c c > quindi a > b ab ab ab ac + ac ab b b bc bc ( a b c ) b ( a b c ) 6 ) a b LiberEtà Udine, 8 ottobre 7 Giuseppina Trifiletti Se a > b (o a < b), b non può essere a b ) a b c ( a b) ( b + c)( a b) Se c è un numero positivo allora a>b, es: 75+, Se c è un numero negativo allora a<b, es: 79+(-) ab ab + ac b bc ab ac ab b bc a b c b a b c b ( ) ( ) ( a b c ) Dato che non si può fare il passaggio dalla riga 5) alla riga 6) perché si divide per Un numero diverso da diviso per zero non dà nessun numero Esempio Invece 8: nessun numero, : qualunque numero In ambedue i casi non otteniamo uno ed un solo risultato, come deve invece accadere per avere come risultato un numero Per concludere 8 e non sono numeri reali (vedi nota) E la divisione per non si può fare NOTA: i numeri reali R sono tutti i numeri decimali, quelli che usiamo di solito - decimali limitati (come 3 e 4,5 e 7 e,3 e infiniti altri), decimali illimitati periodici (come /3, e infiniti altri), e decimali illimitati e non periodici, che approssimiamo (come,4 e π3,4 e infiniti altri)

2 Non si può dividere per zero L errore quindi sta nella divisione per, che si fa dal passaggio 5) al passaggio 6). Dato che a b+c si ha che a-b-c. ESEMPIO: a7 e b5 e c, 75+, 7-5- In 6) si ottiene 7*5* che è un uguaglianza vera, ma se divido per ottengo 7 5 che è falsa. Che succede se moltiplico per? Brevemente 57 è un uguaglianza falsa Se moltiplico a destra e a sinistra per un qualunque numero ottengo ancora un uguaglianza falsa. Es: 5x37x3 5 Se moltiplico a destra e a sinistra per ottengo 5x7x E cioè un uguaglianza vera PESANDO E RIPESANDO DATI DEL PROBLEMA I) B + G C Se una bottiglia B e un bicchiere G. fanno equilibrio a una caraffa C, e anche la stessa bottiglia B fa equilibrio a un bicchiere G più un piatto P, e caraffe C bilanciano tre piatti P, si domanda II) B G + P III) C 3P QUANTI BICCHIERI G FARANNO EQUILIBRIO A UNA BOTTIGLIA B? richiesta B?G

3 SOLUZIONE ) I dato ) II dato 5) Applico il II principio: raddoppio da ambedue le parti 6) III dato B+G 3) Applico a ) il I principio: aggiungo un bicchiere da ambedue le parti. C B G+P 4) Proprietà transitiva, tra ) e 3), dell 4G+P 7) proprietà transitiva dell tra 5) e 6) C C 3P 8) Applico il I principio: tolgo due P (piattini) da tutte e due le parti 4G + P 3P 9) II dato ) per sostituzione P 4G B+G G+P G+P dato che C ) B+G C e ) B+G G+P Sostituisco a un P quattro G RISPOSTA: B 5G Se si sostituisce ogni simbolo con i seguenti numeri B (bottiglia) G (bicchiere) P (piattino) C (caraffa) 5g g 4g 6g Le uguaglianze delle diapositive precedenti sono tutte verificate COME CREARE CON I PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI 3

4 LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA bicchierep ieno bicchierepieno bicchierev uoto bicchierevuoto bicchierepieno bicchierevuoto Metà bicchierepieno Metà bicchierevuoto significa "Un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà" È completamente diverso da /bicchierepieno/bicchierevuoto Ha un altro significato. Il detto "un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà", NON SI PUO' FORMALIZZARE IN QUEL MODO. Infatti /bicchierepieno un mezzo moltiplicato per un bicchierepieno la metà di un bicchiere pieno E NON UN BICCHIERE PIENO A METÀ /bicchierevuoto un mezzo per un bicchierevuoto la metà di un bicchiere vuoto E NON UN BICCHIERE VUOTO A METÀ /bicchierepieno/bicchierevuoto, cioè vuol dire che se divido un bicchiere pieno in due parti ottengo metà di un bicchiere vuoto. E viceversa. Cosa che non è assolutamente vera. FALSO L'INIZIO E FALSA LA FINE Se invece volevo formalizzare IL DETTO di cui sopra dovevo scrivere Il bicchiere pieno a metà contiene tanto vino quanto il bicchiere vuoto a metà, quindi l uguaglianza era piuttosto banale x quantità di vino contenuta nel bicchiere pieno x x FORMALIZZAZIONE BANALE x Un bicchiere con metà della quantità di vino che può contenere ha tanto vino quanto un bicchiere pieno di vino a cui viene tolto metà del vino che contiene 4

5 x bicchierepienoametà y bicchierevuotoametà x FORMALIZZAZIONE MIGLIORE y E se moltiplico per, utilizzando il II principio di equivalenza, ottengo x ottengo due bicchieri pieni a metà che sono proprio uguali a due bicchieri vuoti a metà y LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA i n p o c h i s s i m e p a r o l e "UN BICCHIERE PIENO A METÀ È UGUALE A UN BICCHIERE VUOTO A METÀ" ha tutto un altro significato di "LA METÀ DI UN BICCHIERE PIENO È UGUALE ALLA METÀ DI UN BICCHIERE VUOTO dato che l ultima frase si presta a una formalizzazione di tipo matematico che porta decisamente fuori strada. IDEE TRATTE DA dal libro di testo, di qualche anno fa, della INTERNATIONAL SCHOOL di Udine MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison Wesley, Carrollton, Texas - Menlo Park, California dal libro ENIGMI CRITICI E BIZZARI di Michael DiSpezio, Il Castello Personali rielaborazioni 5