E il più grande tra tutti i numeri interi positivi che dividono i numeri dati.

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1 M.C.D. E il più grde tr tutti i ueri iteri positivi che dividoo i ueri dti. 4 = 144 = 4 M.C.D.= = 1 60 = 5 Si predoo cioè tutti i fttori coui co l espoete iore. Il M.C.D. tr due o più ooi è u ooio co coefficiete ugule l M.C.D. dei coefficieti e co prte letterle fort dl prodotto delle lettere COMUNI i ooi prese co espoete iore. 4 Tr 4, 144 c e 60 c 4 il M.C.D. è 1.c.. E il più piccolo tr tutti i ueri iteri positivi che è ultiplo di tutti i ueri dti. 4 = 144 = 4. c.. = 4 5 = = 5 Cioè si predoo i fttori prii coui e o coui co l espoete ggiore. Il.c. tr due o più ooi è u ooio co coefficiete ugule l.c.. dei coefficieti e co prte letterle fort dl prodotto delle lettere coui e o coui prese co espoete ggiore. 4 Tr 4, 144 c e 60 c 4 il.c.. è c POTENZE Si dice potez turle -esi di u uero rele positivo il prodotto di fttori tutti uguli quel uero. Proprietà: + = 5 = : = : 5 = 5 6 ( ) = ( ) 5 5 = ( ) = 10 5 = ( ) : : = 10 : = 5. 1

2 NUMERI DECIMALI Per trsforre u uero decile i frzioe si oper i questo odo: l frzioe h coe uertore il uero sez gli zeri iizili ed il deoitore h u 1 co tti zeri qute soo le cifre dopo l virgol. Per trsforre u uero periodico i frzioe si oper i questo odo : l frzioe h l uertore tutto il uero eo l tiperiodo ed l deoitore tti ove qute soo le cifre del periodo e tti zeri qute soo le cifre dell tiperiodo. Esepi: 14 0, 014 = , = , 16 = 90 MONOMI: E u qulsisi espressioe lgeric fort dl prodotto di ueri e lettere. L prte ueric è dett che coefficiete uerico, le lettere costituiscoo l prte letterle del ooio. GRADO DI UN MONOMIO E l so degli espoeti di tutte le lettere. z h grdo ++1=5. Il grdo reltivo ll letter è, quello reltivo ll z è 1. MONOMI SIMILI Soo ooi co l stess prte letterle. y è siile 4 y. SOMMA DI MONOMI L so di ooi si effettu scrivedoli uo ccto ll ltro co il proprio sego: - y 6y ho so : - y+6y. Se i ooi soo siili si soo sodo i loro coefficieti uerici. -7y+-y=5-8y.

3 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE: Il prodotto di due o più ooi è u ooio che h per prte ueric il prodotto delle prti ueriche e per prte letterle tutte le lettere che figuro ei sigoli fttori, ciscu pres co l espoete pri ll so delle poteze dei sigoli fttori. y (-y) = -18 y. Il quoziete di due ooi è u ooio che h per prte ueric il quoziete delle prti ueriche e per prte letterle tutte le lettere che figuro ei sigoli fttori, ciscu pres co l espoete pri ll differez delle poteze dei sigoli fttori : 6 = = ALCUNE SCOMPOSIZIONI DI POLINOMI IN FATTORI - = ( + )( - ) - = ( - )( + + ) + = ( + )( + ) ( + ) = + + ( - ) = + - ( + ) = ( - ) = - + ( + + c) = + + c + + c + c Il polioio : ++c può essere scoposto se si riescoo trovre due ueri 1 ed tli che P( 1 )=P( )=0 ( che soo le rdici del polioio). Il polioio è così scopoiile: ++c = (- 1 )(- ). Il polioio: +s+p è scopoiile se riesco trovre due ueri che soti dio s e oltiplicti p. I tl cso l scoposizioe risult: (+ 1 )(+ ), dove 1 ed soo i due ueri trovti. ESEMPIO: - + = ( - )( - 1) iftti - = -1 -, = (-1)(-).

4 RADICALI Si chi rdicle l espressioe: = dove è il rdicdo ed l idice del rdicle. =. Voledo scrivere il rdicle sotto for espoezile Bst duque elevre il rdicdo d u idice frziorio dove l uertore copre l espoete del rdicdo e, l deoitore, l idice del rdicle. Rest iteso che vlgoo tutte le regole pri viste sulle poteze. OPERAZIONI CON I RADICALI: = = ( ) = =. TRASPORTO DENTRO E FUORI DAL SEGNO DI RADICE: = =. RAZIONALIZZAZIONE: E l isiee delle operzioi che perettoo di otteere u espressioe sez rdicli l deoitore. Per otteere ciò è sufficiete oltiplicre per u frzioe che cotiee sopr e sotto il fttore rziolizzte.(il risultto o ci perché il vlore di tle frzioe è 1). Ecco u tell co lcui fttori rziolizzti: Espressioe Fttore rziolizzte + y y y + y 4

5 TRIANGOLO DI TARTAGLIA - POTENZA DI UN BINOMIO 1 (+) (+) (+) 1 1 (+) (+) (+) 5 Questi ueri rppreseto i coefficieti, eo del sego, d ttriuire i sigoli terii del corrispodete sviluppo, fico segto. Ogi polioio sviluppto può sepre ordirsi secodo le poteze decresceti di e cresceti di. Coe coefficieti uso quelli del trigolo di Trtgli ( + ) = DIVISIONE DI DUE POLINOMI DEFINIZIONE: U polioio si dice divisiile per u ltro polioio, se esiste u terzo polioio (Quoto), che, oltiplicto per il secodo (Divisore), dà per prodotto il prio (Dividedo). A() = B() Q() Dove: A() = dividedo, B() = divisore, Q() = quoto. Se i due polioi o soo divisiili tr di loro, Q() prede il oe di Quoziete: A()=B() Q() + R() Dove R() è detto Resto. Ecco u esepio di coe procedere (E coe u coue divisioe tr ueri): ( ): ( -+): = = = = Quidi: Q() = , R() =

6 U ltr regol per dividere u polioio per u BINOMIO del tipo ( + ) è l regol di RUFFINI. Si scrivoo i coefficieti del polioio i ordie decrescete delle poteze di ettedo degli zeri qudo c u terie e si procede coe el seguete esepio: ( ): ( - ) D cui: Q() = +6+7 R() = 16. EQUAZIONI Dicesi equzioe u ugugliz tr due eri coteeti u icogit che deve essere deterit perché l ugugliz risulti ver. ESEMPIO: = 6 Dovrà essere =, iftti: = 6 U equzioe si dice equivlete d u ltr se h le stesse soluzioi (cioè gli stessi vlori dell che l redoo ver). Dicesi grdo di u equzioe l espoete ssio co cui copre l icogit. Teore fodetle dell lger: U equzioe h u uero di soluzioi ugule l suo grdo. Pricipi di equivlez delle equzioi: Sodo o sottredo d o i eri di u equzioe uo stesso uero o u stess espressioe si ottiee u equzioe equivlete quell dt. D ciò deriv che per portre u terie d u ero d u ltro, st cirlo di sego. Moltiplicdo o dividedo o i eri di u equzioe per uo stesso uero diverso d zero o per u stess espressioe che o si ull, si ottiee u equzioe equivlete ll dt. ESEMPIO: (+1)-4= +-4= +- = 4 = 4 =. 4 6

7 Se si h che fre co equzioi frziorie (cioè se copre l l deoitore), si procede fcedo il iio coue deoitore e scrtdo gli evetuli vlori delle che lo ullo. (Iftti è ipossiile dividere u uero per zero!). ESEMPIO: = (10 1) ( 1) 1 = 7( 1) 1 Posso eliire il deoitore oltiplicdo destr e siistr per ( -1). Devo però scrtre le soluzioi che lo ullereero: ( -1)=(-1)(+1) quidi : 1, 1 Procedio co il clcolo: = = -7+1 = -6 = -6/ = -. U equzioe si dice ipossiile se o h soluzioi, cioè se si preset ell for 0 = co, uero o ullo. U equzioe si dice ideterit se h ifiite soluzioi, cioè se si preset ell for 0 =0. EQUAZIONI PURE: EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Soo del tipo: +=0. Si risolvoo i questo odo: = -/ = ± Si ho quidi due rdice uguli ed opposte se / è positivo, se è egtivo l equzioe è ipossiile. EQUAZIONI SPURIE: Soo del tipo: +=0. Si risolvoo rccogliedo l ed usdo l legge dell ulleto del prodotto: se il prodotto di due o più fttori è ullo, uo dei due fttori deve essere ullo. = 0 Risolvo: ( + )=0 + = 0 / = -/ 7

8 EQUAZIONI COMPLETE: Soo del tipo: ++c=0. Per risolverl si us l forul: ± = 4c Il DISCRIMINANTE dell equzioe è Se: >0 ho due rdici reli e distite. =0 ho due soluzioi reli e coicideti, <0 o ho soluzioi reli. = 4c. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO EQUAZIONI BINOMIE: Soo del tipo: +=0 co itero positivo, e diversi d zero. Si risolvoo scopoedo il ioio e poi pplicdo l legge di ulleto del prodotto. ESEMPIO: =0 (4 +1)(4-1)=0 (4 +1)(-1)(+1)=0 D cui: (4 +1)=0 = ± 1 1 = ± i 4 (l equzioe o h soluzioi ell isiee dei ueri reli), (-1)=0 1 =, (+1)=0 1 =. Oppure = = se è dispri = = ± se è pri e > 0 l equzioe è ipossiile, cioè o h soluzioe ell isiee dei ueri reli, se è pri e < 0 8

9 EQUAZIONI BIQUADRATICHE: Soo del tipo: 4 + +c=0. Per risolverl st porre: y =. Si ottiee così u equzioe di secodo grdo i y le cui soluzioi soo y 1 e y. Risolvedo le equzioi = y1 e = y si ottegoo le soluzioi dell equzioe di prtez. EQUAZIONI IRRAZIONALI: Soo equzioi elle quli l icogit copre sotto il sego di rdice. Tli rdici dovro essere eliite per esepio elevdo o i eri dell equzioe ll stess potez. TEOREMA: Elevdo ll stess potez o i eri di u equzioe lgeric, si ottiee u uov equzioe che può NON essere equivlete quell dt. Per tle otivo le soluzioi così otteute dovro essere verificte, sostituedo i vlori trovti ell equzioe di prtez. ESEMPIO: = + 4 = 1 Elevo etri i eri l cuo: + 4 = = 0 Applicdo l forul per le equzioi di secodo grdo ottego: 1 = -1 = /. Sostituedo tli vlori l posto di ell equzioe di prtez trovo che etre soo verificte. ALTRI CASI: Se l equzioe cotiee solo due rdicli, coviee isolrli uo d u ero ed uo ll ltro, elevdo poi etri i eri d u espoete pri ll.c. degli idici delle rdici. Se l equzioe cotiee più di due rdicli srà ecessrio elevre i eri llo stesso espoete più volte, secod dei csi. SISTEMI DI EQUAZIONI Cosiderio u equzioe co più di u icogit, per esepio:-y=6. E ovvio che esiste più di u coppi di vlori (,y) che l soddisfo. I geere ci soo INFINITE soluzioi. Se or itroducio u ltr equzioe elle icogite ed y, esiste u sol coppi (,y) di vlori che soddisfo etre le equzioi. Quidi u siste ci d i vlori di ed y che soddisfo coteporeete etre le equzioi. 9

10 U siste ridotto for orle si preset i quest for: + = c 1+ 1= c1 Risolverlo sigific trovre l coppi (,y) che rede vere etre le equzioi. METODI DI RISOLUZIONE: SOSTITUZIONE: Se risolvo u equzioe di u dto siste i, per esepio, e se sostituisco il vlore trovto ell secod, ottego u siste equivlete quello dto, co u equzioe i y. Risolvo tle equzioe e trovo y. Sostituisco il vlore di y ell pri e ricvo. = 9 + y 8y = y = 8y = y 9 + y 9 + ( ) = = = 6y = 18 y = y = 9 + y = 9 + y = 9 + y 8y = y 8y = 7 = 1 y = METODO DI CONFRONTO: Cosiste el ricvre d etre le equzioi l stess icogit. Si eguglio poi le due espressioi trovte e si trov il vlore dell icogit rist. Tle vlore si sostituisce i u delle precedeti equzioi trovte e si ricv il vlore dell ltr icogit. METODO DI RIDUZIONE (o SOTTRAZIONE e ADDIZIONE): PRINCIPIO DI RIDUZIONE: Se d u delle equzioi di u siste, si sostituisce l equzioe otteut ddiziodo (o sottredo) ero ero le equzioi del siste dto, si ottiee u siste equivlete l prio. Ovviete, dto che si h che fre co equzioi, posso che oltiplicre o dividere u stess equzioe, ero ero, per lo stesso vlore purché diverso d zero. Per risolvere il siste si può quidi oltiplicre per u coefficiete opportuo e poi sore o sottrrre le equzioi, ffiché scopi u icogit, potedo così ricvre il vlore dell ltr. Al solito, si sostituisce questo vlore i u delle precedeti ricvdo l ltr icogit. 10

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