CORSO DI FISICA dispensa n.4 ELETTROSTATICA/CORRENTE ELETTRICA

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1 CORSO DI FISICA dispensa n.4 ELETTROSTATICA/CORRENTE ELETTRICA Elettrostatica L elettrostatica é lo studio dei fenomeni elettrici in presenza di cariche a riposo. Fin dall antichitá sono note alcune proprietá della materia come l attrazione per strofinio che ora sappiamo dipendere dalla struttura atomica. Alcuni materiali come il vetro e la berchelite se strofinati si caricano positivamente o negativamente e riescono ad attrarre altri materiali come la carta. Le cariche positive o negative in eccesso si posizionano sulla superficie del materiale conduttore. 2.1 Forza di Coulomb Due o piú cariche esercitano tra loro una forza che puó essere attrativa o repul- siva che é inversamente proporzionale al quadrato della distanza e direttamente proporzionale al prodotto delle cariche. 1 q 1 q 2 F = 4πε/ r 2 r dove r é la distanza tra le due cariche q 1 q 2 e / é la costante dielettrica. Questa costante nel vuoto ha il valore di ε 0 = 8, 854x10 12C 2 /N m 2. La precedente formula é la forza di Coulomb ed é attrattiva se le cariche hanno segno opposto e repulsiva se il segno é lo stesso. Si noti bene che nella formula modulo 1) della congiungente le due cariche. r rappresenta il versore (ovvero il vettore di

2 La forza che agisce su una carica ad opera di altre cariche (fig.2.1) é uguale alla somma vettoriale delle forze che le cariche eserciterebbero su di essa da sole (Principio di sovrapposizione). Figura 2.1: Principio di sovrapposizione. 2.2 Campo elettrico Il campo Elettrico definito come E = F/q é un campo vettoriale, ad ogni punto viene associato un vettore. La carica q detta anche carica di prova rappresenta l unitá di carica. Per una carica puntiforme Q il campo elettrico sará E 1 Q = 4πε0 r 2 r

3 La carica Q é detta anche sorgente del campo. r rappresenta il versore dell'ipotetica congiungente della carica sonda con la carica che genera il campo e nella rappresentazione del campo indica le "linee di forza" che descrivono l'andamento direzionale del campo stesso. Il campo elettrico si misura nel sistema S.I. in [N/C ]. Se il campo é generato da una carica positiva le linee di forza sono uscenti, se la carica é negativa le linee di forza sono entranti (fig.2.2). Figura 2.2: Linee di un campo generato da una particella puntiforme carica positivamente. Teorema di Gauss Si definisce flusso di campo elettrico la quantitá Φ( E ) = E S Figura 2.3: Linee di un campo generato da una particella puntiforme carica negativamente.

4 S é il vettore superficie, un vettore che ha per modulo la superficie alla quale si riferisce (fig.2.4) e per direzione e verso la direzione ortogonale alla superficie. Figura 2.4: Vettore superficie. Calcoliamo il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme su una superficie sferica. Dividiamo la superficie sferica in tante piccole superfici S i in modo da considerarle piane e calcoliamo il flusso per ogni superficie che risulterá Φ(E i ) = E i S i perché i due vettori sono paralleli. Il flusso totale sará la somma di tutti i flussi su tutte le superfici.

5 Potenziale elettrico L energia potenziale é il lavoro che serve ad una forza per spostare una carica da un punto A a un punto B. U = U B U A = L BA l energia potenziale é definita cosí a meno di una costante k. Il potenziale elettrico é invece definito come U (r) V (r) = q e si misura in [J/C = V ]. Le cariche negative si muovono spontaneamente da un potenziale minore a uno maggiore, viceversa le cariche positive si muovono da un potenziale maggiore a uno minore. Esistono poi delle superfici equipotenziale e cioé in ogni punto hanno differenza di potenziale nulla. In queste superfici i vettori campo elettrico e potenziale sono ortogonali. La relazione che lega la differenza di potenziale al campo elettrico é V = - E s dove s é una distanza. Quindi E=- V / s il campo elettrico è la derivata del potenziale elettrico cambiata di segno, analogamente come la forza peso (-mg) è la derivata cambiata di segno dell'energia potenziale (mgh). In modo simile a come fatto per la forza peso si puó dimistrare che la forza di Coulomb é conservativa e anche il campo elettrico.

6 2.6 Conduttori Un materiale é conduttore se permette il passaggio di cariche e le cariche in eccesso si dispongono lungo la superficie con una densitá pari a σ = Q/S. All interno del conduttore il campo elettrico é nullo e il potenziale é costante. La densitá superficiale di carica é costante se la forma del conduttore é regolare, nel caso di irregolaritá la densitá superficiale di carica é maggiore nei punti con curvatura piú grande (effetto delle punte). Di un conduttore possiamo definire la capacitá definita come C = Q V dove Q é la carica e V é la differenza di potenziale. La capacitá si misura nel sistema S.I. in Faraday [F ] = [C/V ]. Condensatori Un condensatore piano é costituito da due lamine conduttrici parallele, chiamate armature e poste a piccola distanza l una dall altra. Se su un armatura é posta una carica Q allora l altra acquisterá una carica Q. tore In maniera analoga al conduttore possiamo definire la capacitá di un condensa- C = Q V dove V é la differenza di potenziale tra le armature. Possiamo dire che ogni armatura del condensatore produce un campo elettrico come una distribuzione di cariche su un piano infinito E = σ/2/. All inetrno del condensatore le linee di forza del campo hanno la stessa direzione quindi si sommano e il campo risulterá E = σ//, all esterno le linee del campo hanno direzioni opposte e siccome l intensitá del campo é la stessa si annulla.

7 Possiamo esprimere la capacitá di un condensatore anche come C = ε S d dove d é la distanza e S la superficie delle armature. Il condensatore é un dispositivo capace di immagazzinare energia. Nei circuiti compaiono spesso due o piú condensatori. Questi possono essere collegati in serie, uno dietro l altro, o in parallelo, in modo che abbiano la stessa differenza di potenziale (fig.2.7). Figura 2.7: Condensatori in serie. Figura 2.8: Condensatotori in parallelo. Condensatori in parallelo Abbiamo detto che nel caso i condensatori siano in parallelo allora la loro differenza di potenziale V é la stessa. Dalla definizione di capacitá possiamo ricavare la

8 carica presente nel primo e nel secondo condesatore. Q 1 = C 1 V, Q 2 = C 2 V sommando membro a membro otteniamo Q 1 + Q 2 = (C 1 + C 2 ) V C 1 + C 2 é la capacitá risultante dal parellelo dei due condensatori. Condensatori in serie Uno o piú condensatori in serie portano sulle armature le stesse cariche, mentre il potenziale risultante sará la somma dei potenziali dei condensatori. Supponiamo per semplicitá di avere solo due condensatori in serie, avremo che dalla definizioni di capacitá segue che C1 C2 S V = V 1 + V 2 V = Q + Q C 1 C 2 è l inverso della capaciá risultante da due condensatori in parallelo. Corrente elettrica La corrente elettrica é una migrazione di particelle cariche dovuta a forze elettriche. Ció che genera il movimento di cariche é il campo elettrico e quindi l esistenza di una differenza di potenziale. L intensitá di corrente é definita come la quantitá di carica che attraversa il filo nell unitá di tempo t Q i = t e si misura in Ampére [A] = [ C ]. Un Ampére sono elettroni che attraversano in secondo una sezione di filo. Se i = cost allora la corrente si dice continua.

9 La corrente per convenzione é il movimento delle cariche positive che si spostano da potenziali piú bassi a potenziali piú alti. Generatore di corrente Affinché ci sia movimento di cariche elettriche é necessario mantenere una certa differenza di potenziale. Il dispositivo che mantiene questa differenza di potenziale si chiama generatore di tensione. Nel generatore ci sono forze non elettriche che costringono le cariche a spostarsi in posti dove spontaneamente non andrebbero. Il simobolo del generatore é a fig.2.9. Un generatore ideale mantiene la differenza di potenziale costante V = cost. Circuiti elettrici Un circuito elettrico é costituito da un generatore e da componenti legati in modo continuo. La corrente si muove nel circuito dal polo positivo al polo negativo del generatore. I componenti del circuito possono essere collegati in serie e in parallelo. Se sono collegati in serie saranno attraversati dalla stessa corrente i, mentre se sono in parallelo avranno ai loro capi la stessa differenza di potenziale V. Prima legge di Ohm Non esiste una legge generale che mette in relazione l intensitá di corrente con la differenza di potenziale. In ogni conduttore queste due grandezze si legano in modo differente. Ma se teniamo il materiale conduttore in condizioni stabili di temperatura e pressione scopriamo che per la maggior parte dei metalli, acidi, sali e basi la curva caretteristica che lega i e V é una retta passante per l origine(fig.2.9)

10 Figura 2.9: Generatore di tensione. Questo significa che le due grandezze sono direttamente proporzionali. i = V R dove R é la resistenza elettrica, esprime la difficoltá che la corrente incontra a passare all interno del conduttore. La resistenza elettrica si misura in Ohm [Ω] = [ V ]. L equazione 2.20 prende il nome di prima legge di Ohm. Anche la seconda legge di Ohm ci da informazioni sulla resistenza l R = ρ A dove l é la lunghezza e A la sezione del filo, ρ invece é la resistivitá e si misura in [Ω m]. A Resistenze Le resistenze o resistori elettriche sono conduttori con un un determinato valore di R. Il suo simbolo é riportato in fig Come tutti i componenti di un circuito anche queste possono essere poste in serie o in parallelo. Se una o piú resistenze sono in serie allora la resistenza risultante sará uguale alla somma di tutti i resistori R = R 1 + R 2 + R

11 Figura 2.10: Resistenze in parallelo. Figura 2.11: Resistenze in serie. Se invece i resistori si trovano in parallelo allora la somma dei loro inversi sará uguale all inverso del resistore risultante = R R 1 R 2 R Leggi di Kirchhoff Le leggi di Kirchhoff esprimono le proprietá fondamentali di qualunque circuito ohmico, cioé che sia alimentato da un generatore di tensione ideale e che sia formato da soli resistori. Iniziamo con il definire un nodo e una maglia di un circuito. Con riferimento alla fig.2.12 un nodo é un punto dove convergono due o piú conduttori. Una maglia invece é un tratto chiuso di di circuito. Figura 2.12: Nodi e maglie.

12 La prima legge di Kirchhoff, chiamata anche legge dei nodi, dice che la somma delle correnti entranti in un nodo é uguale alla somma delle correnti uscenti. i 1 + i 2 + i = 0 La seconda legge di Kirchhoff, chiamata legge delle maglie, afferma che la somma delle differenze di potenziali che si trovano in una maglia é sempre uguale a zero. V 1 + V 2 + V = Potenza elettrica Il passaggio di corrente provoca riscaldamento e reazioni chimiche. Ricordiamo che la potenza é la rapiditá con la quale si trasforma l energia, in questo caso é l energia potenziale elettrica a trasformarsi. L energia potenziale di una carica che si sposta da un capo A a un capo B di un conduttore é uguale al lavoro compiuto dalla forza che le permette di spostarsi L AB = Q(V A V B ) Ricordando la definizione dell intensitá di corrente possiamo riscrivere l equazione precedente come L = i t(v A V B ) Trovata l espressione del lavoro possiamo calcolare la potenza L P = t = i(v A V B ) che ricordando la prima legge di Ohm si puó riscrivere come P = Ri 2

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