L insieme dei numeri Naturali (N)

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1 L insieme dei numeri Naturali (N)

2 Definizione di Numero Naturale Definizione Una corrispondenza fra due insiemi X e Y che sia del tipo asole-bottoni, cioè: tale che ad ogni elemento di X corrisponde uno ed un solo elemento di Y, e viceversa, si dice "corrispondenza biunivoca" (o "corrispondenza uno-a-uno"). Definizione Si dice "numero cardinale" quel qualcosa, quell'entità astratta, quel "quid", che hanno in comune tutti gli insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con un insieme dato. Per indicare che l'insieme A definisce il numero cardinale a, scriveremo card(a) = a (leggi: "il numero cardinale dell'insieme A è a", o anche: "la cardinalità dell'insieme A è a"). Se due insiemi A, B possono essere posti in corrispondenza biunivoca, diremo che individuano lo stesso numero cardinale o che sono due rappresentanti del medesimo numero cardinale. Definizione Si dice "numero naturale" il numero cardinale di un insieme finito (NOTA 1) NOTA 1. - Occorre dunque una definizione di insieme "finito" che non faccia riferimento al concetto di "numero" o all'operazione del "contare", altrimenti cadremmo in un circolo vizioso. Già Galileo osservò che, sorprendentemente, l'insieme degli interi >0 può essere posto in corrispondenza biunivoca con l' insieme degli interi pari, che è un suo sottoinsieme proprio. Questa proprietà apparentemente paradossale può essere impiegata per caratterizzare gli insiemi infiniti rispetto a quelli finiti. Definizione (insiemi finiti e infiniti): Un insieme si dice infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio; finito in caso contrario.

3 Ci si potrebbe aspettare che, dati due insiemi entrambi infiniti, questi si possano sempre mettere in corrispondenza biunivoca: cioè, che tutti gli insiemi infiniti esprimano un unico numero cardinale. Cantor scoprì che questa congettura è falsa, perché esistono invece diversi "gradi" di infinito: dati due insiemi A, B entrambi infiniti, può accadere che, ad esempio, A possa essere posto in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio di B, ma non con B. In tal caso, i numeri cardinali di A e di B non coincidono; diremo che card(a) < card(b).

4 Le operazioni in N Indicheremo con N l'insieme dei numeri naturali. Dalle definizioni poste, il concetto di "numero naturale" è ricondotto a quello, semplicissimo, di "corrispondenza biunivoca". Definizione (confronto di due numeri naturali) Dati due numeri naturali m, n, si dice che m è minore di n, e si scrive m<n, se esistono due insiemi A e B tali che: card(a) = m, card (B) = n, e A B (ricordiamo che il simbolo indica "inclusione stretta"). Si può dimostrare che se m<n, allora non può essere, contemporaneamente, m=n e neppure n<m. Definizione Si dice "somma" di due numeri naturali m, n, e si indica con m+n, il numero naturale dell'insieme A U B, essendo A, B due insiemi disgiunti di cardinalità m, n rispettivamente. Si può dimostrare che la definizione data è corretta, cioè che il valore di m+n non dipende dai particolari insiemi scelti per rappresentare m ed n (NOTA 2). NOTA 2. Per la correttezza della definizione occorrerebbe anche dimostrare che l'unione di due insiemi finiti è sempre un insieme finito. Omettiamo questa dimostrazione. Definizione Si dice "prodotto" di due numeri naturali m, n, e si indica con naturale dell'insieme A X B (NOTA 3), essendo A, B due insiemi di cardinalità m, n rispettivamente. m n, il numero NOTA 3. A X B = prodotto cartesiano di A per B =

5 Sottrazione e divisione vengono definite come operazioni inverse della somma e del prodotto rispettivamente; tuttavia, queste operazioni non sempre ammettono risultato nell'insieme N: Definizione Viene definito "differenza" fra due numeri naturali a, b, e si indica con a - b, quel numero naturale x (se esiste), tale che x + b = a Definizione Viene definito "quoziente" fra due numeri naturali a, b (con b diverso da 0), e si indica con a : b, quel numero naturale x (se esiste), tale che x b = a Definizione Si può dimostrare che, dati due numeri naturali a, b (con b diverso da 0), esistono sempre (e sono unici) i due numeri naturali q, r tali che a = q b + r ed r<b. Tali due numeri naturali q, r vengono detti rispettivamente "quoziente" e "resto" della "divisione intera" (o "divisione aritmetica") di a per b.

6 Una definizione di N per via assiomatica Per uno studio delle proprietà dell'insieme N, condotto coi metodi avanzati della logica matematica moderna, alla definizione data sopra è preferibile sostituire una caratterizzazione di N (con le operazioni di somma e prodotto), tramite il seguente sistema di assiomi ("assiomi di Peano", dal nome del grande matematico italiano che visse dal 1858 al 1932): 1) 0 è un numero naturale. 2) Ad ogni numero naturale x corrisponde uno e un solo numero naturale x', detto "il successore" di x, in modo che: se i successori di due numeri naturali sono uguali, anche i numeri naturali di partenza sono uguali; 0 non è il successore di alcun numero naturale. 3) SE una proprietà P(x), il cui insieme ambiente sia N: vale per il numero 0, e, nel caso valga per un numero naturale x, vale certamente anche per il successore x', ALLORA quella proprietà vale per ogni numero naturale (Principio di induzione matematica). 4) x+0 = x per ogni numero naturale x 5) x+(y' ) = (x+y) per ogni coppia di numeri naturali x, y 6) x 0 = 0 per ogni numero naturale x 7) x (y') = (x y)+x per ogni coppia di numeri naturali x, y Applichiamo il Principio di induzione matematica. Esso può servire a dimostrare la validità, su tutto N, di molte interessanti proprietà. Per dimostrare, applicando tale Principio, che una data proprietà P(x) vale per ogni x appartenente ad N, si procede nel modo seguente: a)si verifica che la proprietà P(x) vale con x=0; b)si suppone, come ipotesi di lavoro, che la proprietà valga con x=k, e si dimostra che, sotto questa ipotesi, la proprietà deve necessariamente valere anche con x=k+1. a) e b) garantiscono, per il Principio di induzione matematica, che la proprietà P(x) vale su tutto N.

7 Tre esercizi. Dimostrare, mediante il Principio di Induzione matematica (o la sua ovvia variante consistente nel partire da 1 anziché partire da 0, che: TEOREMI. Sia con l'impostazione delle "corrispondenze biunivoche", sia con l'impostazione di Peano, è poi possibile dimostrare quei teoremi che esprimono le proprietà delle operazioni coi numeri naturali. Ad esempio: per ogni coppia di numeri naturali a, b, a+b=b+a per ogni terna di numeri naturali a, b, c, (a+b)+c = a+(b+c) per ogni coppia di numeri naturali a, b, a b = b a per ogni terna di numeri naturali a, b, c, a (b+c) = a b + a c ecc. ecc. ecc. (le proprietà delle quattro operazioni sono tante!) Come è ben comprensibile, i procedimenti dimostrativi saranno profondamente diversi a seconda che si adotti l'una o l'altra impostazione.

8 L Algebra di N N {0, 1, 2, 3,..., n,...} è un insieme dotato di due operazioni interne, "+" e " " N è chiuso rispetto a queste due operazioni, cioè il risultato di ogni operazione su due numeri naturali è ancora un numero naturale. Le proprietà di queste operazioni nell operare sugli elementi di N vengono definite in maniera assiomatica come segue: Entrambe le operazioni sono commutative e associative N1) (a + b) + c = a + (b + c) (proprietà associativa dell'addizione). N2) a + b = b + a (proprietà commutativa dell'addizione). N3) (a b) c = a (b c) (proprietà associativa della moltiplicazione). N4) a b = b a (proprietà commutativa della moltiplicazione). Esiste ed è unico l'elemento neutro, 0 per la somma, 1 per il prodotto N5) a + 0 = 0 + a = a. N6) a 1 = 1 a = a. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: N7) a (b + c) = (a b) + (a c) Non vale la proprietà distributiva della addizione rispetto alla moltiplicazione, non è vero in generale che a + (b c) = (a + b) (a + c). Anche gli elementi neutri non si comportano in modo simmetrico rispetto alle due operazioni: il prodotto di ogni numero per 0 dà 0, ma non è vero che la somma di ogni numero con 1 dia 1. Non è sempre così: le operazioni di unione e intersezione tra insiemi godono ciascuna della proprietà distributiva rispetto all'altra: cioè se A, B, C sono insiemi allora A U (B C) = (A U B) (A U C), e A (B U C) = (A B) U (A C).

9 È possibile introdurre un ordinamento totale: N8) Dati a b, esiste uno ed un solo numero naturale c 0 tale che a = b + c (a > b), oppure b = a + c (a < b). In N valgono le leggi di cancellazione rispetto alla somma e al prodotto: N9) a + b = a + c se e solo se b = c. N10) se a 0 allora: a b = a c se e solo se b = c. (E importante ricordare che, per quanto comode, le leggi di cancellazione non necessitano di essere introdotte come assiomi. Esse possono essere dimostrate agevolmente facendo uso degli assiomi precedenti. Una semplice dimostrazione è riportata in appendice).

10 Appendice

11 1 Derivazione delle leggi di cancellazione Cominciamo col dimostrare la legge di cancellazione per la somma, cioè che a + b = a + c se e solo se b = c consideriamo l uguaglianza a + b = a + c Esistono solo tre possibilità riguardo ad a e b: 1. b = c 2. b > c 3. b < c Dimostrando l uguaglianza nel primo caso ed escludendo gli ultimi due casi dimostriamo che l unico caso (se e solo se) in cui a + b = a + c è che b = c. Nel primo caso, operando la sostituzione b = c, si vede che diventa cioè se b = c l uguaglianza è banalmente vera, ma ci resta da dimostrare che questo è l unico caso possibile. a + b = a + c a + c = a + c Se b > c, posso scrivere b = c + k e sostituirlo nell uguaglianza considerata, a + c + k = a + c La proprietà associativa mi permette di scrivere (a + c) + k = a + c che ponendo (a + c) = n diventa n + k = n che per l unicità dell elemento neutro per la somma mi garantisce che k = 0 ma allora l uguaglianza in grassetto diventa b = c + 0 Per l esistenza dell elemento neutro per la somma concludiamo che b = c Che esclude il secondo caso. Se b < c la dimostrazione si conduce in maniera assolutamente analoga, portando alla medesima conclusione, cioè che b deve necessariamente essere uguale a c.

12 Armati di questo risultato dimostriamo ora la legge di cancellazione per il prodotto, cioè che a b = a c se e solo se b = c con a 0 (altrimenti l uguaglianza sarebbe banalmente vera per qualunque scelta di b e c). Consideriamo l uguaglianza a b = a c Esistono solo tre possibilità riguardo ad a e b: 1. b = c 2. b > c 3. b < c Anche questa volta, dimostrando l uguaglianza nel primo caso ed escludendo gli ultimi due casi dimostriamo che l unico caso (se e solo se) in cui a b = a c è che b = c. Nel primo caso, operando la sostituzione b = c, si vede che diventa cioè se b = c l uguaglianza è vera, ma ci resta da dimostrare che questo è l unico caso possibile. a b = a c a c = a c Se b > c, posso scrivere b = c + k e sostituirlo nell uguaglianza considerata, a (c + k) = a + c La proprietà distributiva mi permette di scrivere (a c) + (a k) = a + c che ponendo (a + c) = n diventa n + (a k) = n L unicità dell elemento neutro per la somma mi garantisce che a k = 0 La legge di cancellazione della somma (che ricordiamo essere una doppia implicazione) mi permette di scrivere (a k) + a = 0 + a che per l esistenza dell elemento neutro per il prodotto diventa (a k) + (a 1) = 0 + a Applichiamo la proprietà distributiva, a (k + 1) = 0 + a e utilizziamo l esistenza dell elemento neutro per la somma a (k + 1) = a L unicità dell elemento neutro per il prodotto garantisce che k + 1 = 1 L unicità dell elemento neutro per la somma permette di dire che k = 0

13 ma allora l uguaglianza in grassetto diventa b = c + 0 Per l esistenza dell elemento neutro per la somma concludiamo che b = c Che esclude il caso che b > c. Se b < c la dimostrazione si conduce in maniera assolutamente analoga, portando alla medesima conclusione, cioè che b deve necessariamente essere uguale a c.

14 2 Perché qualunque numero naturale moltiplicato per zero diventa zero Tesi Per ogni a N, a 0 = 0. Dimostrazione a + 0 = a per l esistenza dell elemento neutro della somma a + 0 = a 1 per l esistenza dell elemento neutro del prodotto a + 0 = a (1 + 0) per l esistenza dell elemento neutro della somma a + 0 = (a 1) + (a 0) per la proprietà distributiva a + 0 = a + (a 0) per l esistenza dell elemento neutro del prodotto e quindi, per la legge di cancellazione della somma 0 = a 0.