Università degli Studi di Cassino Facoltà di Ingegneria

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1 Università degli Studi di Cassino Facoltà di Ingegneria corso di Tecnica delle Costruzioni I Esempio di Progetto agli SLU di un solaio laterocementizio gettato in opera a cura di: prof. Maura Imbimbo, ing. Ernesto Grande Dipartimento di Meccanica, Strutture, Ambiente e Territorio via G. Di Biasio 43, Cassino (FR) rif.: Bozza n.1 aggiornamento ottobre

2 Progetto agli SLU di un solaio latero cementizio gettato in opera 1. Dimensionamento di massima altezza solaio Al fine di garantire al solaio un livello di rigidezza adeguato nei confronti delle condizioni normali di esercizio viene preliminarmente imposta una dimensione minima dell altezza del solaio pari a L max /25, essendo L max la dimensione massima delle campate del solaio che si sta esaminando. Nel caso in esame la dimensione massima delle campate è pari a: L max = 4.60 m. Viene dunque assunta una dimensione preliminare dell altezza del solaio pari a 20 cm (di cui 16 cm è l altezza dei travetti e i restanti 4 cm rappresentano l altezza della soletta; Figura 1). 2. Analisi dei carichi unitari Stabilita la geometria preliminare del solaio si passa alla determinazione dei carichi costituiti da: peso proprio (G 1k ), sovraccarichi fissi (G 2k ), sovraccarichi variabili (Q k ). In particolare mentre le prime due voci vengono valutare in funzione della geometria (spessore) e dei pesi di volume dei materiali che le costituiscono, i sovraccarichi variabili sono dedotti dalla normativa in funzione della destinazione d uso della struttura nella quale è inserito il solaio (vedi Tabella 1). Per tutti i carichi si fa riferimento nel seguito alla fascia di 1mq di solaio (vedi Figura 1). Per il caso in esame i carichi relativi al solaio (16+4 cm) sono costituiti dalle seguenti voci: Peso proprio solaio (G 1k ): o Soletta: 1.00x1.00x0.04x25 = 1.00 kn/mq o Travetti: 2x(0.10x1.00x0.16x25) = 0.80 kn/mq o Pignatte: 2x(0.40x1.00x0.16x8.0) = 1.02 kn/mq o Peso proprio: 2.82 kn/mq Sovraccarichi fissi (G 2k ): o Intonaco: 1.00x1.00x0.02x = 0.30 kn/mq o Massetto: 1.00x1.00x0.025x20 = 0.50 kn/mq o Pavimento: 1.00x1.00x0.02x20 = 0.40 kn/mq o Incidenza tramezzi: 1.00 kn/mq o Sovraccarichi fissi: 2.20 kn/mq Sovraccarichi variabili solaio (Q k ): cat. A ambienti ad uso residenziale (Tabella 1.) o Sovraccarichi variabili: 2.00 kn/mq 2

3 Per il caso in esame i carichi relativi allo sbalzo (12+4 cm) sono costituiti dalle seguenti voci: Peso proprio solaio (G 1k ): o Soletta: 1.00x1.00x0.04x25 = 1.00 kn/mq o Travetti: 2x(0.10x1.00x0.12x25) = 0.60 kn/mq o Pignatte: 2x(0.40x1.00x0.12x8.0) = 0.77 kn/mq o Peso proprio: 2.37 kn/mq Sovraccarichi fissi (G 2k ): o Intonaco: 1.00x1.00x0.02x = 0.30 kn/mq o Massetto: 1.00x1.00x0.03x20 = 0.60 kn/mq o Pavimento: 1.00x1.00x0.02x20 = 0.40 kn/mq o Impermeabilizzazione: 0.20 kn/mq o Sovraccarichi fissi: 1.50 kn/mq Sovraccarichi variabili solaio (Q k ): cat. C2 balconi (Tabella 1.) o Sovraccarichi variabili: 4.00 kn/mq 3. Valori di progetto e combinazioni dei carichi Il passaggio dai valori caratteristici a quelli di progetto richiede l utilizzo dei coefficienti parziali di sicurezza per le azioni (Tabella 2). La scelta di tali parametri è alla base delle combinazioni dei carichi volte a definite le condizioni più sfavorevoli in termini di sollecitazioni. Per il solaio oggetto di studio sono state considerate le combinazioni di carico 1, 2, 3 riportate in Figura 2 nonché le due combinazioni ulteriori (combinazione 4, 5) riportate nella stessa figura. 4. Calcolo sollecitazioni di progetto e diagrammi Le sollecitazioni massime di momento flettente e di taglio (in campata e sugli appoggi) sono state dedotte considerando le combinazioni di carico e gli schemi di calcolo riportati in Figura 2 e sono riassunte in Tabella Calcolo dei quantitativi di armatura metallica Il calcolo preliminare dei quantitativi di armatura metallica nelle sezioni maggiormente sollecitate è stato eseguito considerando la seguente espressione approssimata e considerando un tipo di acciaio B450C (fyk=450 N/mm 2 f yd =450/1.=391 N/mm 2 ): 3

4 A f M = 0.9 d f yd dove: d: altezza utile della sezione (pari a 18 cm per il solaio e 14 cm per lo sbalzo) M: il valore del momento flettente considerato f yd : il valore di progetto della tensione di snervamento dell acciaio Valutato il quantitativo teorico di armatura metallica esso viene successivamente convertito in numero e diametro di tondini metallici fissando uno o più tipi di diametri commerciali [φ8 (A f =50 mm 2 ), φ10 (A f =79 mm 2 ), φ12 (A f =1 mm 2 ), φ14 (A f =4mm 2 ), φ16 (A f =201mm 2 ), senza andare oltre tali diametri per evitare problemi di posizionamento nei travetti del solaio]. La stessa relazione viene successivamente utilizzata al fine di determinate il momento ultimo della sezione (lato acciaio) relativamente all armatura prescelta e di ottimizzare la disposizione dei tondini all interno dei travetti del solaio: Mu = Af 0.9 d fyd dove M u rappresenta il momento ultimo dell armatura A f disposta. I valori riportati in Tabella 4 fanno riferimento sia alla fascia di 1m di solaio, ovvero due travetti, sia alla fascia di mezzo metro, ovvero un solo travetto. Come si può osservare dalla tabella è stato deciso di adottare due tipi di diametro, ovvero il φ10 e il φ12. La disposizione di tali armature è riportata in Figura 3, Figura 4, relativamente ad una prima soluzione e in Figura 5 relativamente alla soluzione adottata). Sul diagramma di inviluppo del momento flettente è riportato il digramma del momento ultimo lato acciaio. 6. Ancoraggio delle barre di armatura metallica L efficacia dell armatura metallica disposta nei travetti del solaio è altresì subordinata all adozione di adeguate lunghezze di ancoraggio delle stesse. A tal fine si può fare riferimento alle indicazioni contenute nella normativa per il calcolo della tensione tangenziale di aderenza acciaio cls: f bd fbk = γ c 4

5 dove: γ c =1.5 è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo, pari a 1,5; f bk è la resistenza tangenziale caratteristica di aderenza data da: f bk = 2.25 η f ctk dove: in cui η = 1.0 per barre di diametro φ 32 mm η = (2 φ)/100 per barre di diametro superiore. Nel caso di armature molto addensate o ancoraggi in zona di calcestruzzo teso, la resistenza di aderenza va ridotta dividendola almeno per 1.5. Essendo f ctk il valore della resistenza caratteristica a trazione del cls: f = f ctk 2/3 ck Segue dunque che: f bd f = ck 1.5 2/3 Il calcolo della lunghezza minima di ancoraggio si può dedurre tramite una verifica a sfilamento di una barra immersa in un corpo di calcestruzzo soggetta ad una forza pari alla forza di snervamento della barra stessa: L ad f yd φ = 4 f bd essendo L ad la lunghezza di ancoraggio, φ il diametro della barra, f yd la tensione di snervamento di progetto dell acciaio di cui costituita la barra, f bd il valore di progetto della tensione tangenziale di aderenza acciaio cls. Alcuni esempi: B450C (f yd =391 MPa) C20/25 (f bd =2.32 MPa) L ad = 42 φ 5

6 φ8 336 mm φ mm φ mm φ mm B450C (f yd =391 MPa) C25/30 (f bd =3.04 MPa) L ad = 32 φ φ8 256 mm φ mm φ mm φ mm 7. Verifica lato cls Questa verifica serve essenzialmente per vedere se è necessario incrementare la zona di cls in prossimità delle sezioni di appoggio dove il momento flettente tende le fibre superiori e assume i valori massimi. La presenza delle pignatte riduce infatti la base efficace di cls che passa da 100 cm (fascia piena in assenza di pignatte) a 20 cm in presenza delle pignatte disposte su entrambi i lati del travetto. Tale riduzione comporta una drastica riduzione del momento resistente del cls, M rc, che, valutato sempre con riferimento ad una sezione rettangolare semplicemente inflessa, a semplice armatura, ipotizzando una deformazione del cls pari al 3.5, una deformazione dell acciaio pari al 10 ed effettuando un equilibrio alla rotazione intorno all armatura tesa, assume la seguente espressione: M 2 d B = r rc 2 dove: B: base efficace della sezione che si sta considerando (pari a 1000 mm in assenza di pignatte, 200 mm in presenza di pignatte, 600 mm se si elimina alternativamente una pignatta, fascia semipiena). d: altezza utile del solaio (o dello sbalzo) r: coefficiente pari a r = f cd (ad esempio r= nel caso di un cls C20/25 ed esprimendo f cd in MPa). 6

7 Il primo passo consiste nel valutare M rc nelle sezioni in cui iniziano le pignatte, ovvero dove B=200 mm. Il valore del momento così valutato si riporta successivamente sul digramma di inviluppo del momento flettente e si confronta con i valori di progetto (Figura 6). Se il momento di progetto è maggiore di Mrc si procede eliminando una o due pignatte da ogni fila (Figura 7). Considerando i dati relativi al solaio in esame, segue: solaio: Mrc(B=1000)=71 knm Mrc(B=600)=42 knm =14 knm sbalzo: Mrc(B=1000)=43 knm Mrc(B=600)=26 knm =9 knm Sulla base di tali valori si osserva che solo in corrispondenza dell appoggio centrale è necessario prevedere una fascia semipiena sia a destra sia a sinistra dell appoggio B (le pignatte tratteggiate sono dunque quelle che andranno eliminate). 8. Verifica a taglio I valori massimo del taglio in corrispondenza degli appoggi sono dedotti dal diagramma di inviluppo del taglio e riportati in Tabella 5. La verifica viene eseguita considerando il caso di elementi privi di armatura a taglio e considerando le sezioni in cui sono o meno presenti le pignatte in quanto si ha una variazione sulla base efficace della sezione resistente: 1 V = ( ) 1/3 Rcd 0.18 k 100 ρ f b d v b d l ck w min w γc 200 k = 1+ 2 d v = k f min A b d sl ρ= l w 3/2 1/2 ck

8 solaio: d=180mm, k=2 bw=200mm 2φ10 ρ l = Vrcd=17.8 kn 2φ12 ρ l = Vrcd=20.1 kn 2φ10+2 φ12 ρ l =0.011 Vrcd=24.2 kn 4φ10 ρ l = Vrcd=.5 kn d=180mm, k=2 bw=600mm 2φ10 ρ l =0.00 Vrcd=47.8 kn 2φ12 ρ l = Vrcd=47.8 kn 2φ10+2 φ12 ρ l = Vrcd=50.5 kn 4φ10 ρ l = Vrcd=47.8 kn d=180mm, k=2 bw=1000mm 2φ10 ρ l = Vrcd=79.7 kn 2φ12 ρ l = Vrcd=79.7 kn 2φ10+2 φ12 ρ l =0.00 Vrcd=79.7 kn 4φ10 ρ l = Vrcd=79.7 kn sbalzo: d=140mm, k=2 bw=200mm 2φ10 ρ l = Vrcd= kn d=140mm, k=2 bw=600mm 2φ10 ρ l = Vrcd=45.1 kn d=140mm, k=2 bw=1000mm 2φ10 ρ l = Vrcd=75.2 kn Dal diagramma riportato in Figura 8 è possibile osservare che solo in corrispondenza dell appoggio B (a sinistra) è necessario eliminare un ulteriore pignatta per incrementare la resistenza a taglio (vedi dettaglio in Figura 9). 9. Resistenza ultima effettiva delle sezioni A valle del dimensionamento e verifica di massima del solaio deve essere eseguito il calcolo della resistenza effettiva delle sezioni, ovvero considerando eventualmente anche la presenza delle armature in compressione e la forma a T, non sempre approssimabile tramite una sezione rettangolare equivalente. Il valore del momento ultimo calcolato in tali condizioni sarà dunque riportato sul diagramma di inviluppo del momento flettente (Figura 10). 8

9 pavimento massetto soletta travetti laterizi intonaco Figura 1. Sezione solaio per la fascia di 1 m 9

10 Tabella 1. Valori dei carichi d esercizio per le diverse categorie di edifici Tabella 2. Coefficienti parziali per le azioni o per l effetto delle azioni nelle verifiche SLU 10

11 1.0(G1k+G2k) 1.3(G1k+G2k)+1.5Qk 1.0(G1k+G2k) combinazione 1 1.3(G1k+G2k)+1.5Qk 1.0(G1k+G2k) 1.3(G1k+G2k)+1.5Qk combinazione 2 1.0(G1k+G2k) 1.3(G1k+G2k)+1.5Qk 1.3(G1k+G2k)+1.5Qk combinazione 3 [1.3(G1k+G2k)+1.5Qk]/2 combinazione 4 [1.3(G1k+G2k)+1.5Qk]/2 [1.3(G1k+G2k)+1.5Qk]/2 combinazione 5 [1.3(G1k+G2k)+1.5Qk]/2 Figura 2. Combinazioni di carico per le verifiche SLU 11

12 condizione di carico 1 q1 (kg/m) q2 (kg/m) q3 (kg/m) L1 (m) L2 (m) L3 (m) F1 (kg) M1 (kgm) M B (kgm) campata AB R A (kg) R B,sin (kg) x AB (m) Mmax campata BC R B,destra (kg) R c (kg) x BC (m) Mmax R B (kg) condizione di carico 2 q1 (kg/m) q2 (kg/m) q3 (kg/m) L1 (m) L2 (m) L3 (m) F1 (kg) M1 (kgm) M B (kgm) campata AB R A (kg) R B (kg) x AB (m) Mmax campata BC R B (kg) R c (kg) x BC (m) Mmax R B (kg) condizione di carico 3 q1 (kg/m) q2 (kg/m) q3 (kg/m) L1 (m) L2 (m) L3 (m) F1 (kg) M1 (kgm) M B (kgm) 09.1 campata AB R A (kg) R B (kg) x AB (m) Mmax campata BC R B (kg) R c (kg) x BC (m) Mmax R B (kg) condizione 5 condizione 4 q2 (kg/m) q3 (kg/m) L2 (m) L3 (m) M AB (kgm) M BC (kgm) q2 (kg/m) q3 (kg/m) L2 (m) L3 (m) M A (kgm) M B (kgm) M AB (kgm) M B (kgm) M C (kgm) M BC (kgm) A B C Tabella 3. Sollecitazioni di calcolo 12

13 armatura teorica armatura effettiva (fascia di 1m) (fascia di 1m) (fascia di 0.5m) (fascia di 0.5m) (fascia di 0.5m) (fascia di 1m) (fascia di 1m) Mmax [knm] Af [mm 2 ] Af [mm 2 ] n. ferri Af,eff [mm 2 ] Af,eff [mm 2 ] Mu [knm] A φ AB φ B φ10+1φ BC φ C φ A sbalzo φ area [mm2] Mu [knm] solaio Mu [knm] sbalzo 1φ φ φ φ Tabella 4. Quantitativi minimi di armatura nelle zone maggiormente sollecitate sezione Vmax [kn] Asin 12 Ades 19 Bsin 26 Bdes 25 C Tabella 5. Valori massimi del taglio

14 Mu(2Ø12+2Ø10) Mu(2Ø12) Mu(4Ø10) Mu(4Ø10) 1Ø10 1Ø12 1Ø10 1Ø10 1Ø10 2Ø10 1Ø10 distinta provvisoria armatura (singolo travetto) Figura 3. distinta preliminare dell armatura metallica con linee di costruzione (soluzione solo ai fini illustrativi) 14

15 Mu(2Ø12+2Ø10) Mu(2Ø12) Mu(4Ø10) Mu(4Ø10) 1Ø10 (175cm) 110 1Ø12 (430cm) Ø10 (160cm) Ø10 (300cm) Ø10 (505cm) Ø10 (530cm) Ø10 (470cm) 400 distinta provvisoria armatura (singolo travetto) Figura 4. distinta preliminare dell armatura metallica con quotatura e modificando la lunghezza dei ferri in modo da avere lunghezze multipli di 5 cm (soluzione solo ai fini illustrativi)

16 Mu(2Ø12+2Ø10) Mu(2Ø12) Mu(4Ø10) Mu(4Ø10) 12 1Ø10 (300cm) Ø10 (175cm) Ø10 (140cm) Ø12 (430cm) 1Ø10 (160cm) 95 2Ø10 (530cm) 460 2Ø10 (470cm) distinta provvisoria armatura (singolo travetto) soluzione 2 Figura 5. distinta preliminare dell armatura metallica della soluzione con ferri dritti e cavalli con quotatura e modificando la lunghezza dei ferri in modo da avere lunghezze multipli di 5 cm (soluzione adottata) 16

17 Mrc(B=1000) Mrc(B=1000) Mrc(B=1000) Mrc(B=600) Mrc(B=600) Mrc(B=600) Figura 6. calcolo fasce piene e semipiene 17

18 Figura 7. dettaglio della zona in corrispondenza dell appoggio centrale 18

19 Vrcd(bw=1000) Vrcd(bw=1000) Vrcd(bw=600) Vrcd(bw=600) Vrcd(bw=600) Vrcd(bw=600) Vrcd(bw=1000) Vrcd(bw=1000) Vrcd(bw=1000) 12 1Ø10 (300cm) Ø10 (175cm) Ø12 (430cm) 1Ø10 (160cm) Ø10 (140cm) Ø10 (530cm) Ø10 (470cm) 400 Figura 8. verifica a taglio 19

20 Figura 9. dettaglio della verifica a taglio 20

21 Mrc(B=1000) Mrc(B=1000) Mrc(B=1000) Mrc(B=600) Mrc(B=600) Mrc(B=600) Mu(2Ø12+2Ø10) Mu(2Ø12) Mu,cls Mu,armatura Mu,sezione Mu(4Ø10) Mu(4Ø10) Figura 10. Inserimento delle linee rappresentative del momento ultimo effettivo della sezione 21

22 1.3(G1k+G2k)+1.5Qk 1.3(G1k+G2k)+1.5Qk Vrcd(bw=1000) Vrcd(bw=1000) Combinazioni dei carichi Mrc(B=1000) Mrc(B=1000) Mrc(B=1000) Vrcd(bw=600) 1.0(G1k+G2k) 1.0(G1k+G 2k) combinazione 1 Mrc(B=600) Mrc(B=600) Mrc(B=600) Vrcd(bw=600) Mu(2Ø12+2Ø10) 1.3(G1k+G2k)+1.5Q k 1.0(G1k+G2k) 1.0(G1k+G 2k) 1.3(G1k+G2k)+1.5Q k 1.3(G1k+G 2k)+1.5Q k combinazione 2 combinazione 3 Mu(2Ø12) [1.3(G1k+G2k)+1.5Qk]/2 combinazione 4 [1.3(G1k+G2k)+1.5Q k]/2 Mu,cls [1.3(G1k+G 2k)+1.5Q k]/2 [1.3(G1k+G2k)+1.5Qk]/2 combinazione 5 Mu,armatura Mu,sezione Mu(4Ø10) Mu(4Ø10) DIAGRAMMA DI INVILUPPO DEL MOMENTO (fascia di 1m di solaio) Vrcd(bw=600) Inviluppo diagrammi sollecitazioni 12 1Ø10 (300cm) Ø10 (175cm) 110 1Ø12 (430cm) 1Ø10 (160cm) Ø10 (140cm) Vrcd(bw=1000) Vrcd(bw=600) Vrcd(bw=1000) Vrcd(bw=1000) 42 2Ø10 (470cm) 400 DIAGRAMMA DI INVILUPPO DEL TAGLIO (fascia di 1m di solaio) diagramma del momento flettente (fascia di 1m di solaio) 2Ø10 (530cm) D DISTINTA ARMATURA METALLICA SINGOLO TRAVETTO E F pavimento massetto soletta travetti pavimento impermeabilizzazione massetto soletta travetti C C laterizi intonaco laterizi intonaco diagramma del taglio (fascia di 1m di solaio) B B sezione solaio (fascia di 1m) solaio 20+4 cm sezione solaio (fascia di 1m) sbalzo a gradino 16+4 cm Università degli Studi di Cassino A D E F STRALCIO DELLA CARPENTERIA A materiali: cls classe C20/25 acciaio B450C informazioni grafiche: scala momento: 1cm=100 knm scala taglio: 1cm=100 kn Facoltà di Ingegneria rete Ø8/20cm Corso di Tecnica delle Costruzioni I A.A.2010/2011 Progetto di un solaio latero cementizio gettato in opera travetto di ripartizione (4Ø8 st. Ø8/20cm) SEZIONE A A SEZIONE B B SEZIONE C C 2Ø10 2Ø10 SEZIONE D D 1Ø12 2Ø10 SEZIONE E E 1Ø12 1Ø10 2Ø10 SEZIONE F F materiali: cls C20/25 acciaio B450C SEZIONI LONGITUDINALI (scala 1:50) SEZIONI TRASVERSALI (scala 1:25) Docente prof. M. Imbimbo Assistente ing. E. Grande Allievo