OP = OP(t) =x(t)^i+y(t)^j. : v =_s^t r ^n
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- Adriana Cuomo
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1 MOTI PIANI Per moto piano si intende un moto la cui traiettoria e contenuta in un piano detto piano del moto. Se si sceglie un sistema di riferimento con due assi sul piano del moto, le equazioni del moto si riducono a due, essendo, la traiettoria giacente nel piano (O; x; y) (g.). x = x(t) y = y(t): () Le () si possono scriere nella forma ettoriale: OP = OP(t) =x(t)^i+y(t)^j A partire da queste equazioni si possono dedurre la elocita e l'accelerazione. Rispetto al riferimento ^i e ^j le componenti di sono [ _x; _y]: = dop =_x^i+_y^j; quelle dell'accelerazione [x; y] a = d =x^i+y^j: Le componenti intrinseche della elocita e dell'accelerazione sono deducibili dalle:. 8< : =_s^t a=s^t+ _s2 r ^n e algono rispettiamente: [ _s; 0] e s; _s2 r Velocita ed accelerazione radiale e trasersa In un piano pero, assieme ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, possiamo considerare un sistema di coordinate polari aente per polo il punto O e per asse polare il semiasse positio delle x. Un punto P sulla s traiettoria puo essere indiiduato: - dal raggio ettore - dall'anomalia Le equazioni del moto saranno in questo caso: ( = (t) (2) = (t) Con questo tipo di sistema di riferimento non coniene piu proiettare la elocita e l'accelerazione su x ed y, osu^ted ^n, ma sul nuoo sistema di riferimento che e strettamente legato alle coordinate polari. I nuoi ersori, congruenti con ^i e ^j sono: - uno diretto come il raggio ettore, ^U - l'altro ortogonale, ^W Nel seguito ci saranno utili le deriate ^_ U e ^_W: Dalle espressioni di ^U e ^W ( ^U = ^i cos + ^j sin (3) deriando si ottiene: (4) 8>< >: ^W = ^i sin + ^j cos ; ^_U = ^i sin _ + ^j cos _ = _ ( ^i sin + ^j cos ) = _ ^W ^W ^U ^_W = ^i cos _ ^j sin _ = _ (^i cos + ^j sin ) = _ ^U:
2 Determiniamo adesso le componenti secondo ^U e ^W della elocita e dell'accelerazione. In coordinate polari il ettore posizione sara espresso: e la elocita: = dop OP = ^U; = d ( ^U) = {z} = _^U+ _^U = _ {z} ^U + _ per la seconda delle (4). Pertanto, la componente della elocita secondo ^U - elocita radiale - sara: ^W; = _; mentre quella secondo ^W - elocita trasersa - sara: = _ : Nel moto circolare la elocita radiale e zero, in quanto, essendo il raggio costante, la deriata di e zero. Per quanto riguarda l'accelerazione: a = d = d (_^U+ _ ^W)= =^U+_^_U+_ ^W+ _ ^W+ ^_W= _ a a =^U+ ^W+ ^W+ ^W =^U( _ 2 ) + ^W ( +2_ ): _ Per l'accelerazione la scomposizione da luogo alla: accelerazione radiale, a = _ 2 ^U= accelerazione trasersa, a = +2_. _ In generale l'accelerazione radiale a non coincide con quella centripeta 2 ^n. Questo aiene quando r il moto si solge su una circonferenza e il centro della circonferenza coincide con l'origine del riferimento polare. Velocita areolare o areale In base alle leggi di Keplero, si sa che la terra si muoe lungo una ellisse e che il sole occupa uno dei fuochi dell'ellisse. Essendo l'ellisse una cura piana, la traiettoria della terra risulta una cura piana e quindi il moto di essa e un moto piano. Analogamente, il moto della luna rispetto alla terra risulta un'ellisse di cui la terra occupa uno dei fuochi, quindi, la luna descrie un moto piano. Questo richiamo delle leggi di Keplero, ci fa ricordare che nei moti piani e possibile introdurre, accanto alle usuali grandezze cinematiche, anche il concetto di elocita areolare. In un moto piano, ssata l'origine delle ascisse curilinee, il ettore posizione OP ara, all'istante t, spazzato l'area A(t) del triangolo mistilineo formato: - dal ettore posizione all'istante iniziale, OP(0) - dal ettore posizione all'istante t, OP(t) - dalla traiettoria. Si denisce elocita areolare o areale la deriata dell'area spazzata A(t) rispetto al tempo: _ A = d A(t): 2
3 In coordinate polari, se = () e l'equazione della traiettoria, l'area ale (5) A() =Z quindi, la elocita areolare risulta: d; _A(t) = da(t) = da() d d(t) ; oero per la (5) _ A = 2 2 _ : areale: Accelerazione areolare o areale La deriata rispetto al tempo della elocita areolare prende il nome di accelerazione areolare o A = d A _ = = = = = 2 ( +2_ ) _ = accelerazione trasersa = 2 a : L'accelerazione trasersa dierisce dall' accelerazione areolare per il fattore 2. Se l'accelerazione trasersa e zero, l'accelerazione areolare risulterebbe pure zero. a =0, A= 0 cioe _ A = costante Si deduce, quindi, che nei moti piani in cui l'accelerazione trasersa e zero, il moto e con elocita areolare costante. Nel caso del sole e della terra, se trascuriamo tutte le altre forze, la forza che il sole esercita sulla terra e di origine graitazionale e diretta come in gura. Per la legge fondamentale della dinamica (ma = F) l'accelerazione nel sistema terra-sole e sempre radiale, l'accelerazione trasersa e zero, quindi, la elocita areolare e costante (seconda legge di Keplero). 3
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