Multi-band models for charge transport in semiconductor devices

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1 Multi-band models for charge transport in semiconductor devices Luigi Barletti Università di Firenze ipartimento di Matematica Ulisse ini Multi-band models p.1/24

2 pprossimazione di massa efficace La maggior parte dei modelli di trasporto quantistico in semiconduttori utilizza la cosiddetta approssimazione di massa efficace. Multi-band models p.2/24

3 pprossimazione di massa efficace La maggior parte dei modelli di trasporto quantistico in semiconduttori utilizza la cosiddetta approssimazione di massa efficace. Questa consiste nel sostituire l Hamiltoniana periodica Multi-band models p.2/24

4 pprossimazione di massa efficace La maggior parte dei modelli di trasporto quantistico in semiconduttori utilizza la cosiddetta approssimazione di massa efficace. Questa consiste nel sostituire l Hamiltoniana periodica con la seguente: Multi-band models p.2/24

5 pprossimazione di massa efficace Il tensore di massa efficace nasce da un approssimazione parabolica della banda di conduzione: Energy E c (p)! " p 0 Momentum Multi-band models p.3/24

6 # pprossimazione di massa efficace Il tensore di massa efficace nasce da un approssimazione parabolica della banda di conduzione: Energy E c (p)! " p 0 Momentum In questa approssimazione l elettrone/lacuna vede soltanto la banda di conduzione/valenza. Multi-band models p.3/24

7 ispositivi interbanda L approssimazione di massa efficace è incapace di descrivere il tunneling interbanda, effetto che è alla base del funzionamento di dispositivi di ultima generazione. iodo interbanda realizzato da P. Berger s (Ohio State University, US) Multi-band models p.4/24

8 Modelli multi-banda obbiamo perciò andare oltre l approssimazione di massa efficace e considerare modelli in cui gli elettroni vedono la disponibilità di almeno due bande di energia. Multi-band models p.5/24

9 * ) * ) - + ( * ) * ) + Modelli multi-banda obbiamo perciò andare oltre l approssimazione di massa efficace e considerare modelli in cui gli elettroni vedono la disponibilità di almeno due bande di energia. 1 - Modello di Kane a 2 bande:.0/,+ %$'&.0/,+ E. Kane, J. Phys. Chem. Solids, 1959 Multi-band models p.5/24

10 * ) * ) * ) * ) + Modelli multi-banda obbiamo perciò andare oltre l approssimazione di massa efficace e considerare modelli in cui gli elettroni vedono la disponibilità di almeno due bande di energia. 2 - Modello M-M di ordine 1 a 2 bande:.0/ ,+ M-M.0/ 28*,+ 576 O. Morandi & M. Modugno, 2004 (to appear). Multi-band models p.5/24

11 Modelli multi-banda Modelli di questo tipo forniscono un approssimazione della vera relazione di dispersione: Energy E c (p) E v (p) p 0 Momentum Multi-band models p.6/24

12 Modelli multi-banda Ecco ad esempio la relazione di dispersione per il Gas calcolata con l Hamiltoniana di Kane: Energy (ev) E c 10 0 E v Momentum (10 24 Kg m/s) Multi-band models p.6/24

13 Vogliamo ora introdurre un formalismo cinetico (di Wigner) per i modelli a due bande Multi-band models p.7/24

14 @ : ; K K E L B J B IH Q B Q Y XH Trasformazione di Wigner È una trasformazione unitaria di <>= ; < in sé K )RQ P MON CB < GF che permette una formulazione quasi-cinetica della mecanica quantistica: CB CB UWV J SGT E. Wigner, Phys. Rev., 1932 Multi-band models p.8/24

15 K K E L B < Funzioni di Wigner a 2 bande Introduciamo una matrice di Wigner: con K )RQ P MON B JLZ CB LZ GF IH Multi-band models p.9/24

16 K K E L B < Funzioni di Wigner a 2 bande Introduciamo una matrice di Wigner: con K )RQ P MON B JLZ CB LZ GF IH fissati, la matrice di Wigner è hermitiana: CB Per CB CB [ Multi-band models p.9/24

17 ` _ b ` _ ` ` _ a \ < \ \ _ ` _ ` ` b ` _ a ; = Funzioni di Wigner a 2 bande Ricordiamo che le matrici di Pauli \^] sono una base ortogonale dello spazio vettoriale delle matrici hermitiane su : c LZ \Z \L SGT Multi-band models p.10/24

18 d l Funzioni di Wigner a 2 bande Perciò possiamo decomporre la matrice di Wigner secondo questa base e scrivere h k egk h j egj h i egi h f egf dove le quattro funzioni m CB m sono reali. Multi-band models p.10/24

19 o n n n n n o < n o n n o n p < Funzioni di Wigner a 2 bande Posto Q CB CB risulta che per uno stato puro, o o o ] per uno stato misto, o o ] Multi-band models p.11/24

20 Q o n o n o n o n o n < o n o n n < o n p o Funzioni di Wigner a 2 bande Posto CB CB risulta che ] per uno stato puro, ] per uno stato misto, analogamente a quanto accade con i parametri di Stokes usati per descrivere un fascio di luce polarizzata! Multi-band models p.11/24

21 Q B Q XH r E Q B Q q XH Interpretazione Se usiamo questo formalismo per descrivere una particella con spin, le funzioni hanno un significato fisico chiaro. Poiché, infatti, risulta m CB L \L J SGT si ha, per q E, B L valore atteso dell indice di spin nella direzione Multi-band models p.12/24

22 s t u E t - Hamiltoniana k p Consideriamo il caso dell Hamiltoniana p k/ a due bande:. / t. / (dove si è posto e ). Multi-band models p.13/24

23 s t u E t - w v q \ < t \ Hamiltoniana k p Consideriamo il caso dell Hamiltoniana p k/ a due bande:. / t. / (dove si è posto e ). Usando le matrici di Pauli si può scrivere:.0/ \] Multi-band models p.13/24

24 s x y \ < t \ Hamiltoniana k p Se, in trasformata di Fourier si ha.0/ \^] Multi-band models p.14/24

25 s x y t t z Multi-band models p.14/24 p Hamiltoniana k, in trasformata di Fourier si ha Se \ < t \.0/ \^] da cui si ricava la relazione di dispersione. /.0/

26 Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed z si Multi-band models p.15/24

27 { { # z Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed z si le proiezioni sulle due bande, e ; Multi-band models p.15/24

28 { { # z { z { # Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed z si le proiezioni sulle due bande, e ; l operatore indice di banda ; Multi-band models p.15/24

29 { { # z { z { # Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed z si le proiezioni sulle due bande, e ; l operatore indice di banda ; e si possono esprimere i loro valori attesi e densità in termini delle funzioni di Wigner. m Multi-band models p.15/24

30 { z { Indice di banda In particolare, l operatore indice di banda ha la seguente espressione: } \ / }~ e } \ \ < \ \ dove } } t. / x }~ } Multi-band models p.16/24

31 { z { \ < \ \ Indice di banda In particolare, l operatore indice di banda ha la seguente espressione: } \ / }~ dove } \ e } t. / x } } }~ I suoi autovalori sono: E E se l elettrone è in banda di conduzione, se l elettrone è in banda di valenza. Multi-band models p.16/24

32 < E Q B Q XH B Œ * Indice di banda In termini delle funzioni di Wigner, posto }, / } ~ } B valore atteso dell indice di banda unque, per proiezione di e } B fissati, la densità di banda è data dalla sulla direzione : } ~! Š ƒ ˆ ƒ Œ I Œ 3 Multi-band models p.17/24

33 w w w w inamica è data dal seguente sistema ^m La dinamica delle funzioni di equazioni:. / ] 4 / v.0/ t < / t. / v v ŽOŽ ŽOŽ ŽOŽ ŽOŽ ŽOŽOŽ ŽO ] /. / < / v w L v B q w L v B q dove Multi-band models p.18/24

34 x x E B š x inamica Seguiamo l evoluzione libera ( ) di un pacchetto d onde gaussiano che inizialmente si trova in uno stato misto in cui il valore atteso dell indice di banda è : x B ] GF ) p (con x CB < x œ CB x œ CB Multi-band models p.19/24

35 x inamica Multi-band models p.19/24

36 inamica Multi-band models p.19/24

37 ž inamica Multi-band models p.19/24

38 x E inamica Multi-band models p.19/24

39 E inamica Multi-band models p.19/24

40 B Q B Q B B Q z B Q z B inamica La spiegazione di questo comportamento risiede nel fatto che la posizione media dell elettrone in banda di conduzione soddisfa CB Ÿ CB e quella in banda di valenza CB Ÿ z CB Pertanto la velocità del pacchetto, per fissato, è proporzionale alla derivata delle bande di energia. Multi-band models p.19/24

41 inamica Multi-band models p.19/24

42 r Multi-band models p.20/24 Equazioni dei momenti, definiamo le medie locali E x Q Per CB ^m CB ~m Q B m CB m Q CB ^m CB m

43 Equazioni dei momenti - ordine 0 ~ / ] / ~] <.0/ ~ / ~ / / Ž ŽOŽŽ Ž ŽOŽOŽ ŽOŽ ~ ~] ~. / < / ~ < Multi-band models p.21/24

44 x Equazioni dei momenti - ordine 0 ~ / ] / ~] <.0/ ~ / ~ / / Ž ŽOŽŽ Ž ŽOŽOŽ ŽOŽ ~ ~] ~. / < / ~ < Equazione di continuità per la densità totale: ~ ] / ~] Multi-band models p.21/24

45 -. - < ) Equazioni dei momenti - ordine 1. / ~] ] / ].0/ < ~ / ] / / Ž ŽOŽ ŽOŽ ŽOŽOŽ ŽOŽ ~.0/ ~ < < / dove L ~L, ~L Zœ Zœ L (termine Bohmiano) ««~L * ª ~L = temperatura L Multi-band models p.22/24

46 < r Equazioni di tipo Madelung Teorema. Se sono le funzioni di Wigner di uno stato puro, allora la temperatura si annulla: ] E x x m Multi-band models p.23/24

47 < r Equazioni di tipo Madelung Teorema. Se sono le funzioni di Wigner di uno stato puro, allora la temperatura si annulla: ] E x x m Perciò le equazioni dei momenti di ordine 0 e 1 sono un sistema chiuso e rappresentano equazioni di un fluido di Madelung a due bande. E. Madelung, Zeitschr. f. Phys., 1926 Multi-band models p.23/24

48 # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; Multi-band models p.24/24

49 # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m Multi-band models p.24/24

50 # # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m le equazioni di evoluzione per le particolarmente semplice; m hanno una forma Multi-band models p.24/24

51 # # # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m le equazioni di evoluzione per le particolarmente semplice; m hanno una forma si ricavano facilmente le equazioni di tipo Madelung per il sistema. Multi-band models p.24/24

52 # # # # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m le equazioni di evoluzione per le particolarmente semplice; m hanno una forma si ricavano facilmente le equazioni di tipo Madelung per il sistema. Scopo finale: dedurre equazioni Q, QET, QH. Multi-band models p.24/24