1) Utilizzando gli sviluppi in serie delle funzioni, calcolare. sin(x 2 ) (1 cos x) 2 (1 cos(x 2 )) sinh x. lim

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1 UNIVERSITÀ MEDITERRANEA DI REGGIO CALABRIA Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI MATEMATICA II e CALCOLO DELLE PROBABILITÀ-E 1 Ottobre ) Utilizzando gli sviluppi in serie delle funzioni, calcolare sin(x 2 ) (1 cos x) 2 (1 cos(x 2 )) sinh x. 2) Utilizzando gli sviluppi in serie delle funzioni, calcolare 5 sin(2x) 2 sin(5x). 6x arctan (2x) 3) Utilizzando gli sviluppi in serie delle funzioni, calcolare (e x 1 x) 2 sin(x 2 ) sinh x (x 2 ln(1 + x 2 )). 4) Utilizzando gli sviluppi in serie delle funzioni, calcolare 3 sin(5x) 5 sin(3x). 7x arctan (3x) 5) Utilizzando gli sviluppi in serie delle funzioni, calcolare (e x 1 x) 2 (1 cos x) 2 (x 2 ln(1 + x 2 ) (1 cos(x 2 )). 6) Data la forma differenziale ω α = (α 2 + 1)x ln(x 2 + y 2 + α) dx + (α + 1)y ln(x 2 + y 2 + α) dy (a) si determini, al variare di α lr, l insieme di definizione di ω α ; (b) si determini per quali α lr ω α è chiusa; 1

2 (c) si determini per quali α lr ω α è esatta; (d) calcolare ω 0 dove γ 1 è il segmento che unisce il punto A = γ 1 (0, 1) col punto B = (1, 0) percorso da A verso B. (e) calcolare ω 1 dove γ 2 è l ellisse di semiassi a = 2 e b = 3 γ 2 percorsa in senso antiorario. 7) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale y 7y + 19y 13y = e 3x sin(2x). 8) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale y 5y 9y + 13y = e 2x cos(3x). 9) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale y 7y + 24y 18y = e 3x sin(3x). 10) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale y 7y + 19y 13y = e 3x cos(2x). 11) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale y 5y 9y + 13y = e 2x sin(3x). 12) Dato il segnale periodico di periodo T = 3 definito da t 0 t < 1 f(t) = t t < t < 3 2

3 13) Dato il segnale periodico di periodo T = 3 definito da (t 1) 2 0 t < 1 f(t) = 0 1 t < 2 (t 2) 2 2 t < 3 14) Dato il segnale periodico di periodo T = 3 definito da t t < 1 f(t) = (t 1) 2 1 t < t < 3 15) Dato il segnale periodico di periodo T = 3 definito da 1 0 t < 1 f(t) = t t < 2 (t 2) 2 2 t < 3 16) Dato il segnale periodico di periodo T = 3 definito da t 2 + 2t 0 t < 1 f(t) = 1 1 t < 2 t 2 + 4t 3 2 t < 3 17) Andrea e Marco hanno a disposizione un dado e due monete. Il dado è truccato in modo che la probabilità che esca un numero pari è doppia rispetto a quella che esca un numero dispari, mentre le monete sono truccate in modo che la probabilità che esca testa tripla rispetto a quella che esca croce. Decidono di fare un gioco consistente nel lancio dei tre oggetti. Stabiliscono le seguenti regole: (1) se esce testa sulla moneta Andrea da a Marco un euro; 3

4 (2) se esce croce sulla moneta Marco da ad Andrea 3 euro; (3) se esce un numero dispari sulla faccia del dado Andrea da a Marco 2 euro (4) se esce il numero 6 sulla faccia del dado Marco da ad Andrea 4 euro. Determinare lo spazio di probabilità che modellizza questo gioco e successivamente dire per quale dei due giocatori tale gioco risulta vantaggioso. Infine modificare la quantità di euro nella quarta regola in modo da rendere equo il gioco per entrambi i giocatori. 18) Andrea e Marco hanno a disposizione un dado e una moneta. Il dado è truccato in modo che la probabilità che esca un numero primo è doppia rispetto a quella che esca un numero non primo, mentre la moneta è truccata in modo che la probabilità che esca testa doppia rispetto a quella che esca croce. Decidono di fare un gioco consistente nel lancio dei due oggetti per due volte. Stabiliscono le seguenti regole: (1) ogni qual volta esce croce sulla moneta Andrea da a Marco 2 euro; (2) ogni qual volta esce testa sulla moneta Marco da ad Andrea 3 euro; (3) se esce un numero pari sulla faccia del dado Andrea da a Marco 2 euro (4) se esce il numero 3 sulla faccia del dado Marco da ad Andrea 4 euro. Determinare lo spazio di probabilità che modellizza questo gioco e successivamente dire per quale dei due giocatori tale gioco risulta vantaggioso. Infine modificare la quantità di euro nella quarta regola in modo da rendere equo il gioco per entrambi i giocatori. 19) Le altezze di 3000 persone hanno una distribuzione normale di valor medio µ = 170 cm e deviazione standard σ = 7 cm. Quante persone hanno altezza: (a) compresa fra 160 e 180 cm? (b) superiore a 190 cm? (c) inferiore a 156 cm? 4

5 20) I pesi di 2000 persone hanno una distribuzione normale di valor medio µ = 67 kg e deviazione standard σ = 5, 6 kg. Quante persone hanno peso: (a) superiore a 70 kg? (b) superiore a 80 kg? (c) inferiore a 60 kg? 21) Una macchina produce dei pezzi il cui peso è distribuito normalmente con valore medio µ = 18 grammi e deviazione standard σ = 1 grammo. Sapendo che devono essere scartati i pezzi di peso superiore a 20,5 grammi o inferiore a 16,4 grammi, quanti pezzi ogni 2000 prodotti verranno scartati? 22) Una ditta confeziona scatole di caffè di contenuto medio µ = 1 kg, con deviazione standard σ = 6 grammi. Se la legge impedisce di mettere in commercio col peso dichiarato di 1 kg confezioni che contengono meno di 985 grammi, quante confezioni, ogni mille, non potranno essere messe in commercio? 23) Le altezze di 2000 persone hanno una distribuzione normale di valor medio µ = 173 cm e deviazione standard σ = 7 cm. Quante persone hanno altezza: (a) compresa fra 160 e 180 cm? (b) superiore a 190 cm? (c) inferiore a 156 cm? 5