Valutazione delle opzioni col modello di Black e Scholes

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1 Valutazone delle opzon col modello d Black e Scholes Rosa Mara Mnnn 1 Introduzone L applcazone del moto Brownano all economa é stata nnescata prncpalmente da due cause. Attorno agl ann 70, passato l perodo de grand fnanzament alla rcerca per la corsa al nucleare, e n seguto per l esplorazone spazale, l governo degl Stat Unt rduce fortemente l enttà de fond. Molt fsc che avevano trovato mpegh nelle unverstà statuntens, s trovano così alla rcerca d lavoro. Cò sprona molt d ess ad applcare le propre conoscenze a nuov camp della scenza. Contemporaneamente, l embargo del petrolo arabo del 1973 causa un aumento vertgnoso de prezz della benzna e de tass d nteresse. La paura d nflazone spnge prezz dell oro oltre gl 800 dollar l onca. Improvvsamente, mercat fnanzar nzano a dventare estremamente pù volatl. I bond, ttol tradzonalmente scur, nzano a dventare ncert. Non funzonano pù le vecche regole. Comprendere la dnamca de tass d nteresse e de prezz delle azon dventa allora vtale per le sttuzon fnanzare. Fscher Black e Myron Scholes hanno l dea d applcare l moto brownano alla fluttuazone de prezz de ttol azonar. Tale dea non é nuovssma, e trova un precedente negl stud d un altro scenzato, Bacheler, che svluppò un rudmentale modello matematco, basato sul moto brownano, propro per descrvere gl andament osservat ne mercat fnanzar, ottenendo però rsultat contraddttor e poco ascolto da parte della comuntà scentfca del tempo. Black e Scholes, e, ndpendentemente, Robert Merton nel 1973, creano un modello d dnamca de prezz delle azon molto soldo, e da rsultat puttosto consstent. Per questo motvo, l modello d Black- (Merton-)Scholes ottenne dffusone mmedata negl ambent della fnanza e, n breve tempo, s moltplcano gl stud che lo verfcano e lo amplano. Questo modello ha avuto una forte nfluenza sul modo n cu gl operator valutano le opzon. Inza così a prendere pede una pratca nterdscplnare che lega economa e fsca, e che verrà battezzata econofsca alla fne degl ann 90 dal fsco H. Eugene Stanley. Nel 1997, l mportanza del modello è stata rconoscuta con l assegnazone del premo Nobel per l economa a Scholes e a Merton, pochè Fscher Black è morto nel In questa dspensa vedremo come s rcava la formula d Black e Scholes per la valutazone d call e put europee scrtte su ttol azonar che non pagano dvdend. Dpartmento d Matematca, Unverstà d Bar Aldo Moro 1

2 2 2 Ipotes del modello d Black-Scholes Introdurre l modello d Black-Scholes senza far rcorso alla complesstà del calcolo stocastco é operazone velletara ed un qualunque tentatvo d semplfcarne la sostanza matematca non resce ad elmnare del tutto lat oscur del modello. In quanto segue, qund, s salterà drettamente alla formula orma classca ed al modo nel quale la s applca, senza svluppare le tematche pù complesse che toccano l ntegrazone stocastca e la celebre formula d Itô. È ntanto nteressante osservare che l mpanto teorco che sta alla base del modello d Black-Scholes é dello stesso tpo d quello analzzato nel descrvere la procedura d prezzaggo d opzon tramte alber bnomal. Anche affrontando l problema tramte process stocastc contnu é necessaro nfatt passare attraverso la costruzone d un portafoglo d replca e l utlzzo del prncpo della assenza d arbtraggo. Quello che dfferenza sostanzalmente l approcco contnuo da quello dscreto (a parte le conseguent dffcoltà formal che s ncontrano nel caso contnuo) é l tpo d processo che sta alla base dell evoluzone del prezzo dell attvtà sottostante. Nel caso contnuo l processo utlzzato è l moto brownano. 1. Il mercato é perfetto, ovvero: é perfettamente compettvo, coè gl operator non sono n grado d nfluenzare l prezzo de ttol con le loro operazon; é prvo d attrt, coè non c sono cost d transazone, tasse ed è possble vendere allo scoperto senza nessuna penaltà; s può acqustare e/o vendere n quanttà abtrare ed nfntamente dvsbl ad un tasso d nteresse r costante, che concde con l tasso d rendmento de ttol a captalzzazone ntegrale (zero coupon bond); c è assenza d arbtragg non rschos. S not che le prme due potes sono tecnche d mnmo mpatto su rsultat che otterremo, l potes d non arbtraggo è nvece crucale. 2. l prezzo del ttolo sottostostante è un moto brownano geometrco con meda e varanza not e costant nel tempo; 3. l prezzo d eserczo K dell opzone é noto e costante nel tempo e l ttolo sottostante non dstrbusce dvdend. 3 La formula d Black-Scholes S consder ora una opzone call con prezzo d eserczo K e scadenza al tempo T. Sa r l tasso d nteresse costante calcolato n manera contnua. Sulla base delle potes sopra consderate è possble stablre l prezzo d non arbtraggo dell opzone. Sa S = (S t ) t [0,T ] l processo stocastco che descrve la dnamca del prezzo del ttolo azonaro

3 3 sottostante. Per potes, S è un moto brownano geometrco defnto n uno spazo d probabltà (Ω, F, P), coè S t = S 0 e Wt, t [0, T ], (1) dove S 0 > 0 è noto e W = (W t ) t [0,T ] è un moto brownano con drft µ e varanza σ 2, defnto nello stesso spazo d probabltà. S rcord W t N(µt, σ 2 t) può essere scrtta come W t = µt + σ t Z, t [0, T ] (2) dove Z N(0, 1). Sa (F t ) t [0,T ] la fltrazone standard per W (e qund per S). Abbamo vsto che l valore atteso condzonato del processo S al tempo u + t (u, t [0, T ]), nota la stora del processo fno al tempo u, é dato da E P [S u+t F u ] = S u e µ t+σ2 t/2. Inoltre, abbamo vsto che, applcando l Teorema d Grsanov, è possble trasformare la msura d probabltà P n una msura equvalente Q n un mondo neutrale verso l rscho n modo tale che l processo W sa trasformato n un moto brownano W = ( W t ) t [0,T ] con drft r σ2 2 e varanza σ2 tale che E Q [S u+t F u ] = S u e rt. Osserva. L potes che la dnamca de prezz dell attvtà sottostante sa matematcamente modellzzata tramte un moto brownano geometrco è fondamentale, n quanto mpedsce che l prezzo dvent negatvo. D questo problema se ne accorse Bacheler quando, nella sua tes d dottorato, fece l potes sbaglata che l processo S fosse un moto brownano, ottenendo n alcun cas prezz negatv coè prv d sgnfcato. Inoltre, l fatto che ad essere dstrbuto normalmente sa l logartmo del rapporto, nvece che la dfferenza fra prezz successv, può essere vsto come un modo d descrvere la dnamca del prezzo non n termn d varazon assolute (da cu derverebbe la sottrazone), ma puttosto n termn d varazon relatve. Volendo semplfcare, s può affermare che sono le percentual d varazone, nvece delle varazon d prezzo, ad essere dstrbute normalmente. Avendo trasformato l processo scontato del prezzo n una Q-martngala, con msura d probabltà Q neutrale rspetto al rscho, l prezzo d equlbro d un opzone europea é semplcemente l valore atteso del suo payoff scontato, ossa: f t = E Q [e r(t t) f T ] = e r(t t) E Q [f T ], 0 t < T, (3) dove rcordamo che f T = (S T K) + = max(0, S T K), nel caso d una opzone call. Indcando con S T l prezzo alla scadenza del sottostante, applcando la (1) e la (2) s ha S T = S t e W T t = S t e (r σ2 /2) (T t)+σ T t Z, 0 t < T. (4)

4 4 Sa A = {S T > K} F e I A la v.a. ndcatrce dell evento A (o funzone caratterstca d A) così defnta: { 1, se ω A; I A (ω) = 0, se ω / A. S not che dove S T > K e (r σ2 /2) (T t)+σ T t Z > K/S t Z > ln(k/s t) (r σ 2 /2) (T t) σ T t Z > σ T t d 1, (5) d 1 = (r + σ2 /2) (T t) + ln(s t /K) σ. T t Ne consegue che la (3) può scrvers: Utlzzando la (5), calcolamo f t = e r(t t) E Q [max(0, S T K)] = e r(t t) E Q [I A (S T K)] = e r(t t) E Q [I A S T ] e r(t t) K E Q [I A ]. (6) E Q [I A ] = Q(S T > K) = Q(Z > σ T t d 1 ) dove Φ è la cdf della dstrbuzone normale standard. Utlzzando la (4) e la (5), calcolamo s é posto c = σ T t d 1 = 1 Φ(σ T t d 1 ) = Φ(d 1 σ T t), (7) E Q [I A S T ] = 1 + S t e (r σ2 /2) (T t)+σ T t x e x2 /2 dx = E Q [S T A] Q(A) 2π c = 1 + S t exp{(r σ 2 /2) (T t)} exp{ (x 2 2σ T t x)/2} dx 2π c = 1 + S t e r (T t) exp{ (x σ T t) 2 /2} dx 2π S consder la trasformazone d varabl y = x σ T t, qund E Q [I A S T ] = S t e r (T t) 1 + e y2 /2 dy 2π c d 1 = S t e r (T t) Q(Z > d 1 ) = e r (T t) S t Φ(d 1 ). (8)

5 5 Sosttuendo n (6) la (7) e la (8), s ottene f t = e r (T t) e r (T t) S t Φ(d 1 ) e r (T t) K Φ(d 1 σ T t) = S t Φ(d 1 ) e r (T t) K Φ(d 1 σ T t). dove Dalla precedente relazone s rcava la formula d Black-Scholes C t = C(S t, T, K, σ, r) = S t Φ(d 1 ) e r (T t) K Φ(d 1 σ T t), 0 t < T (9) d 1 = (r + σ2 /2) (T t) + ln(s t /K) σ. T t Tale formula fornsce l prezzo d non arbtraggo d una call europea n ogn stante dalla data della stpula (t = 0) fno alla scadenza T. Pochè parametr K, σ, r sono delle costant fssate, s può semplcemente assumere C t = C(S t, T ), 0 t < T. Osserva. Il prmo termne S t Φ(d 1 ) rappresenta l valore atteso del sottostante alla scadenza T, condzonato alla crcostanza che l opzone sa eserctata alla scadenza, mentre la quanttà K Φ(d 1 σ T t) = K Q(S T > K) é l valore atteso del pagamento fatto dall holder della call al wrter eserctando l opzone alla scadenza. In partcolare, per t = 0 s ottene l prezzo da pagare alla stpula del contratto: C 0 = S 0 Φ(d 1 ) e r T K Φ(d 1 σ T ) (10) S not che se t = T, allora { +, se ln(s T /K) > 0, coè se S T > K, d 1 =, se ln(s T /K) < 0, coè se S T K, e qund Φ(d 1 ) = { 1, se S T > K, 0, se S T K. D conseguenza, la (9) contnua a valere anche per t = T, rcavandos { S T K, se S T > K, C T = = (S T K) +, 0, se S T K. come gà noto. Osserva. L equazone (9) vale anche per opzon call amercane, avendo mostrato come, n assenza d dvdend, una call amercana non verrà ma eserctata prma della scadenza e dunque vale quanto una call europea.

6 6 Osserva. Per opzon europee, nel caso n cu l sottostante non fornsca dvdend e senza opportuntà d arbtragg, vale la cosddetta relazone d partà put-call. Consderamo due portafogl: Portafoglo A: una call pù un obblgazone (poszone lunga), Portafoglo C: una put pù un ttolo azonaro (poszone lunga). Supponamo che entrambe le opzon sano scrtte sullo stesso ttolo azonaro con prezzo (S t ) t [0,T ], hanno prezzo d eserczo K e scadenza T e sa r l tasso d nteresse prvo d rscho. S suppone noltre che alla scadenza T l obblgazone da drtto ad un pagamento par a K. Entramb portafogl valgono max(s T, K) alla scadenza delle opzon e pochè le opzon non possono essere eserctate prma della scadenza, esse devono avere uguale valore ogg, coè C 0 + K e r T = P 0 + S 0, (11) dove C 0 e P 0 ndcano l prezzo nzale rspettvamente della call e della put. Questa relazone è la relazone d partà put-call e mostra che l valore d una call europea può essere dedotto dal valore d una put europea con la stessa scadenza e lo stesso prezzo d eserczo, e vceversa. Utlzzando la relazone (11), anche per le opzon put europee é possble stablre un equazone del tutto smle alla (9). Infatt r (T t) P (S t, T, K, σ, r) = C(S t, T, K, σ, r) S t + K e = S t Φ(d 1 ) e r (T t) K Φ(d 1 σ r (T t) T t) S t + K e = e r (T t) K Φ(σ T t d 1 ) S t Φ( d 1 ), 0 t < T (12) In partcolare, per t = 0 s ottene l prezzo da pagare alla stpula del contratto: P 0 = e r T K Φ(σ T d 1 ) S 0 Φ( d 1 ) Esempo 3.1. Calcolare, medante la formula d Black-Scholes, l valore nzale d una call europea che scade tra 3 mes (T = 3/12 = 0, 25) su un ttolo azonaro con quotazone nzale S 0 = 100 untà monetare nell potes che: 1. l prezzo d eserczo sa K = 125; 2. l tasso stantaneo d nteresse su base annua sa r = 0, 12; 3. la volatltà su base annua sa σ = 0, 62.

7 7 Calcolamo S ha: d 1 = (r + σ2 /2) T + ln(s 0 /K) σ T d 2 = d 1 σ T = 0, 778, C 0 = S 0 Φ(d 1 ) e r T K Φ(d 1 σ T ). = (0, 12 + (0, 62)2 /2) 0, 25 + ln(100/125) 0, 62/2 = 0, 468 da cu e pertanto Φ(d 1 ) = Φ( 0, 468) 0, 320 Φ(d 2 ) = Φ( 0, 778) 0, 218, C 0 = 100 (0, 320) 125 e 0,12 0,25 (0, 218) 5, Approssmazone dscreta del modello contnuo Abbamo vsto come sa agevole prezzare un opzone se s accetta l potes che l prezzo dell attvtà sottostante segua un processo partcolarmente semplce: quello bnomale. Effettvamente un approcco del genere ha l vantaggo d consentre la scelta d ntervall temporal pccol a pacere (ad esempo l gorno o l ora) calbrando fattor u (up) e d (down) n manera che rappresentno le varazon pù plausbl per l untà temporale prescelta. Come è gà stato menzonato, la nascta d quest modell la s deve ad una nzatva d Cox, Ross e Rubnsten nel 1979 l cu obettvo prmaro era d fornre una semplfcata rappresentazone del modello n tempo contnuo formulato da Black e Scholes. Un nteressante rsultato contenuto nell artcolo orgnaro d CRR é anche la dmostrazone che rendendo sempre pù pccola l ampezza degl ntervall temporal, facendo così tendere a nfnto l numero de pass, al lmte s ottene propro l modello d Black e Scholes. S osserv che la formula bnomale multperodale per la valutazone del prezzo nzale d un opzone call ( ) C 0 = e r T n p (1 p) n max(0, u d n S 0 K), (13) =0 s può scrvere n manera dversa. Infatt, se l prezzo del bene sottostante l opzone assume alla scadenza T un valore mnore o uguale al prezzo d eserczo K, l opzone call non vene eserctata e, pertanto, tra le possbl traettore che descrvono l andamento del prezzo alla scadenza s possono tralascare quelle con u d n S 0 K. Indcato con a l pù pccolo degl nter = 0,..., n tale che u d n S 0 > K, la formula (13) s può rscrvere come ( ) C 0 = e r T n p (1 p) n (u d n S 0 K) =a ( = e r T S 0 =a n ) p (1 p) n u d n e r T K ( =a n ) p (1 p) n.

8 8 Osservato che e posto p (1 p) n u d n = (p u) [(1 p) d] n, b = p u e 1 b = (1 p) d, la formula bnomale s può scrvere come segue ( ) C 0 = e r T n S 0 b (1 b) n e r T K =a ( =a n ) p (1 p) n dove = e r T S 0 B(n, a, b) e r T K B(n, a, p), (14) B(n, a, b) = ( =a n ) b (1 b) n rappresenta la probabltà che l prezzo del bene sottostante l opzone su n pass present almeno a movment al ralzo e qund che l prezzo fnale del bene sottostante sa superore al prezzo d eserczo K, essendo uguale a b = p u la probabltà che s verfch un ralzo. È evdente l analoga fra la formula bnomale (14) e la formula d BlackScholes. Nasce pertanto l problema d stablre sotto qual condzon l modello bnomale multperodale converga per n, dove n rappresenta l numero d pass, al modello d Black-Scholes. A tal proposto, abbamo vsto che se l tasso d nteresse r per le attvtà non rschose é noto, l modello bnomale é completamente ndvduato da parametr u, d e p, dove p é la probabltà neutrale al rscho. In partcolare, se l prezzo dell opzone deve varare una volta ogn T = T/n untà d tempo, l prezzo può crescere per un fattore u = e σ T oppure decrescere per un fattore con probabltà p = er T d u d, d = u 1 = e σ T con probabltà 1 p. Approssmando la funzone e x con prm tre termn della sua sere d Taylor centrata n 0 (l che fornsce un approssmazone tanto pù corretta quanto pù é grande n) s ottene: da cu s ottene e ±σ T = 1 ± σ T + σ2 2 T, p 1 2 ( 1 + (r ) σ2 /2) T. σ Con quest parametr, s dmostra che l processo stocastco che defnsce l prezzo del ttolo sottostante tende, per n, a un moto brownano geometrco con parametro d derva (r σ 2 /2) e volatltà σ. Ne consegue, qund, che l modello bnomale a n perod, con le potes sopra esposte, converge, per n, al modello d Black-Scholes.

9 9 5 La stratega Delta Hedgng e le greche Abbamo vsto che nel modello d Black & Scholes l valore d un opzone dpende da dvers fattor tra cu l prezzo del sottostante, l tempo, la volatltà σ e l tasso d nteresse prvo d rscho r. Dal punto d vsta pratco è utle poter valutare la senstvtà del portafoglo rspetto alla varazone d quest fattor. Generalmente, gl ndcator d senstvtà sono fornt dalle dervate parzal del valore del portafoglo rpsetto a corrspondent fattor d rscho (prezzo del sottostante, volatltà, ecc.). Ad ogn dervata s assoca una lettera greca e per questa questa ragone tal msure d senstvtà sono usualmente chamate le greche. Consderamo la creazone d un portafoglo coperto V, formato da una poszone lunga su un ttolo azonaro e da una poszone corta su un certa quanttà 1 d opzon call sullo stesso ttolo (pensamo ad una banca che vende quote d opzon scrtte su un ttolo rschoso e s pone l problema d determnare una stratega d copertura nvestendo sul ttolo sottostante). Al tempo t < T l valore del portafoglo : V (t, s) = s 1 C(s, T ) dove S t = s. Per l prncpo d non arbtraggo, l suo rendmento deve esssere uguale a quello d un attvtà prva d rscho. Se la copertura vene effettuata con contnutà, l portafoglo é mmunzzato dalle fluttuazon aleatore del prezzo (S t ) t [0,T ] del sottostante, coè s V (t, s) = 1 1 C(s, T ) = 0. s ed l suo rendmento è certo (procedura d delta hedgng). Ne consegue che = s C(s, T ) (rapporto d copertura), coè é l tasso d varazone nel valore dell opzone call rspetto alla varazone del prezzo del sottostante. S prova che = Φ(d 1 ). (15) Infatt, dalla (6) consegue t) C(s, T ) = e r(t s s E Q[I A (S T K)] [ ] = e r(t t) E Q s I A(S T K) ( )] = e r(t t) E Q [I A s (S T K). Dalla (4) s ha che s (S T K) = s S T = S T s

10 10 e qund, utlzzando la (8) = e r(t t) C(s, T ) = E Q [I A S T ] = Φ(d 1 ). (16) s s Ne consegue che 0 < < 1 e valgono le seuent espresson asntotche: lm = 0, s 0 + lm = 1 s + Con sml argoment s possono calcolare le dervate parzal d C(S t, T ) rspetto alle costant r, σ, T. Osservamo nnanztutto che denotata la (9) con g(d 1 ), la dervata prma rspetto a d 1 è data da: g (d 1 ) = sφ (d 1 ) e r (T t) K Φ (d 1 σ T t), S t = s. (17) Pochè = s C(s, T ) = Φ(d 1) + g (d 1 ) s d 1, dalla (15) s ha che e, d conseguenza, dalla (17) g (d 1 ) = 0 (18) s Φ (d 1 ) = e r (T t) K Φ (d 1 σ T t). (19) Dalla (9) s rcava che: a) la dervata parzale d C(S t, T ) rspetto a r é: r C(S t, T ) = g (d 1 ) r d 1 + K (T t) e r(t t) Φ(d 1 σ T t), e dalla (18) consegue che Tale dervata é detta rho; r C(S t, T ) = K (T t) e r(t t) Φ(d 1 σ T t) > 0. (20) b) la dervata parzale d C(S t, T ) rspetto a σ é: σ C(S t, T ) = g (d 1 ) σ d 1 + e r(t t) K Φ (d 1 σ T t) T t. Applcando la (18) e la (19) consegue che σ C(S t, T ) = S t Φ (d 1 ) T t > 0, (21) dove Φ (x) = 1 2π e x2 /2 é la pdf della normale standard. Tale dervata parzale é detta vega;

11 11 c) la dervata parzale d C(S t, T ) rspetto a t < T é: t C(S t, T ) = g (d 1 ) t d 1 r e r(t t) K Φ(d 1 σ T t) Applcando la (18) e la (19) consegue che e r(t t) K Φ (d 1 σ T t) σ 2 T t. t C(S t, T ) = r e r(t t) K Φ(d 1 σ T t) σs t 2 T t Φ (d 1 ) < 0. (22) In partcolare, per t = T s ha: T C(S t, T ) = +r e r(t t) K Φ(d 1 σ T t) + σ S t 2 T t Φ (d 1 ) > 0. (23) Tale dervata é detta theta. Le greche permettono d fare uno studo analtco del comportamento della funzone C(S t, T ) ottenuta tramte la formula d Black-Scholes. Da (20), (21) e (23) s può affermare che C(S t, T ) é una funzone strettamente crescente rspetto a tutt e tre parametr, mentre da (22) s deduce che C(S t, T ) é una funzone strettamente decrescente rspetto al tempo. Osserva. Il portafoglo d copertura non é prvo d rscho per tutta la durata dell opzone, ma solo stantaneamente n (t, t + t). Infatt = s C(s, T ) vara al varare d S t e t e dunque per mantenere l portafoglo prvo d rscho occorre vararne contnuamente la composzone. Nella pratca, a causa de cost d transazone, la varazone vene effettuata solo quando s sposta consderevolmente. Il fattore gamma: Γ = 2 s 2 C(s, T ) = s = 1 s σ T t Φ (d 1 ) > 0 (24) ne é un ndce. Tanto maggore é Γ (n genere Γ é pù alto quando S t K), tanto maggore é la sensbltà d e qund tanto pù spesso bsogna rcalbrare l tutto per mantenere la poszone mmunzzata. Inoltre, da quanto osservato prma per valgono le seguent espresson asntotche lm Γ = lm Γ = 0. s 0 + s + Da (16) e (24) s deduce che C(S t, T ) é una funzone strettamente crescente e convessa rspetto a S t. Osserva. Per quanto rguarda l calcolo delle greche per una put europea, s osserv che, a dfferenza d una call, la é negatva. La gamma e la vega hanno la stessa espressone per put e call: n partcolare, la vega è postva e quand anche l prezzo d una put aumenta col crescere della volatltà. La theta assume valor postv e negatv, mentre la rho d una put è sempre negatva.