L'Analisi in Componenti Principali. Luigi D Ambra Dipartimento di Matematica e Statistica Università di Napoli Federico II

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1 L'Anals n Component Prncpal Lug D Ambra Dpartmento d Matematca e Statstca Unverstà d Napol Federco II

2 ANALISI MULTIDIMENSIONALE DEI DATI (AMD) L Anals Multdmensonale de Dat (AMD) è una famgla d tecnche l cu obettvo prncpale è la vsualzzazone, la classfcazone e l nterpretazone della struttura de dat. L AMD prende le mosse da un nseme d dat e attraverso combnazon lnear d tal nformazon ndvdua la struttura latente del fenomeno da ndagare elmnando la rdondanza delle nformazon.

3 1 2 j p Sstema da ndagare Le matrc d dat X = 1 2 n n punt n R p p punt n R n Rappresentazone de punt ne due spaz

4 Anals Generale Adattamento degl n punt n R p x 3 M 1 M u H x 1 x ( M H ) = mn ( OH ) max = OH = u = x x p j = 1 j u j

5 Anals n Component Prncpal (ACP) Matrce untà statstche varabl: X = n j p Le rghe rappresentano le untà statstche (ndvdu e oggett) x j Le colonne rappresentano le varabl quanttatve;

6 Anals n Component Prncpal Gl angol tra punt-varable possono essere nterpretat n termn d correlazon tra le stesse; Le prossmtà tra untà statstche possono essere nterpretate n termn d analoge d comportamento rspetto al fenomeno osservato.

7 Anals n Component Prncpal Spazo R p Anals generale nello spazo centrato x 3 u x 3 u x 1 x 1 x 2 x 2

8 Anals n Component Prncpal: descrzone d una matrce INDIVIDUI VARIABILI Y = (n,p) ( ) ( ) Spazo p G u H p varabl valore della = varable j per l ndvduo O (nube d n ndvdu ) (G = centro d gravtà) Dstanza tra due untà statstche : glore rappresentazone delle prossmtà lle untà statstche nelle proezon su H : d 2 p ( ) ( ) 2, = yj - y j j= 1 Max ( H ) d 2 H (, )

9 Dunque : 2 ( h - h ) = 2 n ( h - h) 2 È l problema dell Anals Generale con l orgne n G Max ( H) d (, ) = Max ( H) 2 H 1 x j = Trasformare Y X ; n d 2 H (,G) ( y - y ) j j Dagonalzzare X X = [covaranza] (Anals Generale d Y) ψˆ = yj - y j u j Ascssa d n ndvdu su u: n

10 Anals n Component Prncpal: Anals delle untà statstche X = [xj] x j = y j s j - n y j Dagonalzzare valor e vettor propr : X X = [correlazone] ( λ ; u ) =1,..., p Coordnate degl ndvdu su u ( Ψˆ = X u) ψˆ = u j y j - n y j ˆ 2 ψ ψˆ = ψ ˆ = 0 ψˆ = u X' Xu = λ dspersone degl n punt sull asse la nube degl ndvdu è effettvamente centrata su cascun asse

11 Anals n Component Prncpal: Rappresentazone Smultanea Coordnate delle varable e delle untà statstche : ϕˆ = λ ψˆ = λ u v Spazo R p delle untà statstche u v 2 u 1 v 1 Spazo R n delle varabl Le due nub delle varabl concdono (a meno d un fattore d scala)

12 Propretà d ottmaltà delle component prncpal. Correlazone ottmale La matrce delle component prncpal C realzza l max C < X, Proj < C> X dove Proj denota la matrce del proettore ortogonale sullo spazo <C> generato dalle colonne d C La matrce delle component prncpal C realzza l > max C X'C Conservazone ottmale del prodotto scalare La matrce delle component prncpal C realzza l mn C XX' CC'

13 La scelta del numero d component prncpal. Un crtero emprco suggersce d utlzzare un numero d component suffcent a spegare una percentuale d varanza totale non nferore ad una certa quota prefssata (ad es. 80%). Un secondo crtero consste nello sceglere quelle component che spegano una varanza maggore d quella ntrodotta nel modello da ogn sngola varable: poché n un A.C.P. normalzzata la varanza d cascuna varable è uguale ad 1, scegleremo quelle component prncpal cu autovalor sono superore all untà. Un terzo crtero s affda alla lettura del dagramma a barre degl autovalor. Da questo s dentfca l punto al d là del quale gl autovalor sono effettvamente troppo pccol per essere nteressant, poché esste una caduta evdente della varanza spegata da cascun fattore.

14 La scelta del numero d component prncpal. Un quarto crtero nferenzale è basato sul fatto che se è vera l potes che le p component prncpal rproducono correttamente la maggor parte delle nformazon contenute nelle varabl orgnare, gl element della matrce resdua d correlazone R = R ( R+ R p R) devono essere pressoché costant. Qund, se supponamo che vettor osservazone x ' j d n element sano estratt da una popolazone multnormale N ( µ, ), allora l potes da provare è H : ρ ρ j 0 j 1 j H : ρ = ρ

15 Applcazone: ACP prezzo clndrata cavall lungh. largh. peso veloctà cons_strada cons_urbano affdab. A155 29, ,4 9,5 136 AU80 34, ,8 10,5 408 BMW3 40, ,6 9,6 127 CXAN 29, ,1 10,3 118 TEMP 31, ,3 10,5 305 MOND 31, ,1 10,6 95 DELT 29, , DEDR 31, PRIM 28, ,7 8,9 161 VECT ,1 10,2 295 P405 28, ,1 9,8 280 RE21 29, ,8 350 GOLF 28, ,6 9,9 96 PASS ,4 10,4 344 VOL4 32, ,4 10,3 148 mpo ACP: consum almentar

16 Matrce d Correlazone prez cl cava lung larg peso velo cons cons aff prez 1.00 cl cava lung larg peso velo cons cons aff prez cl cava lung larg peso velo cons cons aff

17 Autovalor Istogramma de prm 10 autovalor NUMERO VALEUR POURCENT. POURCENT. PROPRE CUMULE ******************************************************************************** **************************************************** ************************************** ********************************** ************************* *********** ********* **** *** * Coordnate VARIABLES ACTIVES VARIABLES COORDONNEES CORRELATIONS VARIABLE-FACTEUR ANCIENS AXES UNITAIRES IDEN - LIBELLE COURT prez - prezzo cl - clndrata cava - cavall lung - lungh# larg - largh# peso - peso velo - veloctà cons - cons_strada cons - cons_urbano aff - affdab#

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