Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

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1 Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte: r = Considerimo quindi il cso in cui Il grfico dell funzione esponenzile h come dominio R e come immgine ( ) uguglinze f ( 0) =, f ( ) =, f ( + y) = f ( ) f ( y) Se >, l funzione è strettmente crescente e quindi il grfico risult del tipo: 0,+ Inoltre vlgono le Se <, l funzione è strettmente decrescente ed il grfico risult essere del tipo: Esponenzili e trsformzioni del pino Le funzioni y( ) = y( ) = e = X = si ottiene dll ltro pplicndo l simmetri Y = y hnno grfici simmetrici rispetto ll sse delle ordinte; un grfico L funzione ritmo Dt l funzione f ( ) =, dove è un numero rele positivo, e fissto y o nei reli positivi studimo l equzione = y 0 Se =, quest equzione è risolt d tutti i numeri reli qundo fissimo y 0 =, mentre non h soluzioni per y 0 Se invece supponimo possimo osservre che, per ogni fissto y 0 > 0, l equzione h un e un sol soluzione, 0, detto ritmo in bse del numero rele positivo y o : = y Ripetendo il 0 0

2 rgionmento per ogni y 0 ( 0 ) funzione ritmo h le seguenti proprietà:, viene identifict un funzione, dett funzione ritmo in bse L il dominio dell funzione ritmo in bse, con > 0 ( ) l funzione ritmo e l funzione esponenzile verificno le relzioni Grfico dell funzione ritmo y 0 ( ) e, è 0,+, mentre l su immgine è R; ( 0 ) 0 = y0 per ogni y 0, + = per ogni R 0 0 A destr trovimo il grfico dell funzione ritmo in bse >, mentre sinistr quello dell funzione ritmo con < Dte le proprietà che legno l esponenzile e il ritmo, se il punto (p,q) pprtiene ll funzione esponenzile, llor il punto (q,p) pprtiene ll funzione ritmo I grfici dell funzione esponenzile e dell funzione ritmo di ugule bse sono quindi simmetrici uno dell ltro rispetto ll bisettrice del I e del III qudrnte: Proprietà del grfico di y = Il grfico pss per i punti ( 0) ( ),,,,, Se > l funzione è strettmente crescente e concv, negtiv in ( 0, ) e positiv in (, ) Se < l funzione è strettmente decrescente e convess, positiv in ( 0, ) e negtiv in ( ) Osservzione L funzione ritmo in bse e è dett funzione ritmo nturle Ess viene indict con il simbolo y = ln, Proprietà dei ritmi Sino, e y numeri reli positivi, con ; si z un numero rele Vlgono le seguenti proprietà: y = + y = y z = z y Se inoltre b è rele positivo, b, vle l formul del cmbimento di bse del ritmo: b = b

3 Equzioni esponenzili = k con > 0, e k R Se k > 0, = k f ( ) g( ) = f ( ) = g( ) f ( ) g( ) g ( ) g ( ) b = b, b > 0, b b = 4 f ( ) = 0 Si pone = t e si risolve f ( t) = 0 Disequzioni esponenzili f ( ) g( ) >, > 0, > f ( ) > g( ) < f ( ) < g( ) f ( ) > c Si pone = t e si risolve f ( t) > c Equzioni ritmiche = b con > 0, e b R = b f ( ) = b con > 0, e b R Se f ( ) > 0, f ( ) = b f ( ) = g( ) Se f ( ) > 0 e g( ) > 0, f ( ) = g( ) 4 f ( ) = 0 Si pone = t e si risolve f ( t) = 0 Disequzioni ritmiche f ( ) > g( ) Se >, f ( ) > g( ) ; se <, f ( ) < g( )

4 ESERCIZI ESPONENZIALI E LOGARITMI Vero o flso? ) ln < ln( + 0 ) b) 5 ( 0, ) = c) ( 0, ) < 0 d) ln( ) < < e e) 9 = f) ln( 7 ) = ln 7 Esercizio L soluzione dell equzione 0( 0 ) = 5 è: ) = 0 5 b) = 0 c) = 5 d) = 0( 5 ) e) nessun delle risposte precedenti è estt g) Il grfico di y = ln( ) e quello di y = ln si possono ottenere uno dll ltro medinte trslzione h) e > ln per ogni numero rele positivo n n n n 5n i) 4 ( + 8 ) = j) + = k) 8 = l) = = 9 + L equzione e = h: ) nessun soluzione rele b) un soluzione rele c) due soluzioni reli d) infinite soluzioni reli e) nessun delle risposte precedenti è estt Le soluzioni dell equzione = sono: ) = 0 b) = c) = e = d) nessun numero rele e) nessun delle risposte precedenti è estt L espressione ( ) è ugule : ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) nessun delle risposte precedenti è estt Le soluzioni dell disequzione e > e sono: ) nessun vlore rele di b) ogni vlore rele di > 0 c) ogni vlore rele di > d) ogni vlore rele di e) nessun delle risposte precedenti è estt + 4

5 Esercizio Determinre il dominio delle funzioni: 4 y( ) = y( ) = ln( 5 ) y( ) = ln + 4 y( ) = ln( ) 5 y( ) = 5( 7) Esercizio Risolvere, imponendo le opportune condizioni, le seguenti equzioni e disequzioni: + ( ) = ( + ) = + * 5* = = 5 ( ) = * 8 = ( + ) 5 7 5* < 0 4 ( 9 ) < > 7 5 > 0 8 0( + 5) = 9 + = 0 + = 0 ( ( 6 + )) = 0 5 ( + ) > 0 6 > 7 8 e 8e + 7 < 0 e 4 e + e > 0 e Esercizio 4 Risolvere lgebricmente le seguenti equzioni e disequzioni esponenzili e ritmiche, fornendo nche un interpretzione grfic: ) e ( ) < 0 b) ( 8) > 0 c) e = d) = Esercizio 5 Risolvere grficmente le seguenti equzioni, discutendo l esistenz e il numero delle soluzioni l vrire del prmetro rele k In questo esercizio è richiesto solmente di frsi un ide intuitiv di come vnno le cose, trccindo vri grfici l vrire di k + ) e = k b) = k c) e = k d) ln = k e) ln = k f) = k Esercizio 6 Trovre un polinomio P() per cui non si possibile costruire l funzione P() È possibile trovre un polinomio P() per cui non esistono le funzioni P( ), P( ), e P ( ) 5

6 SOLUZIONI Vero o flso? ) V b) F c) V d) V e) F f) V Esercizio Risposte estte: c, b, c, b, d Esercizio 0 > 0 5 < > Esercizio { 0, } = 4 = 4 ln5 ln ln ln 5 7 < < 7 6 < 7 Esercizio 4 ) ln < < ln b) > 9 g) V h) V i) V j) F k) V l) F 8 = 5 9 nessun vlore di 0 = = = 4 > 5 nessun vlore di c) = 0, = ln d) = ±9 = 4 8 < < <, < <, > 4 7 < 0, ln 4 < < ln 7 8 < ln, 0 6

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