APPUNTI DI ALGEBRA 1

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1 Università degli Studi di Roma La Sapienza Dipartimento di Matematica G.Castelnuovo A.A G. CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA 1 bbiamo osservato [cfr. Cap. III, Teor. 3.1] che ogni polinomio di grado (contati con la relativa molteplicità). In particolare, ogni polinomio di mettei due zeri Z 2 Z 2 Z 2 ax 2 + bx + c C[X] γ 1 = b+ b2 4ac rappresenta una delle due radici quadrate del numero comple espressioni di γ 1,γ 2 scritte sopra sono le formule di risoluzione per nomiale generale di grado 2. famoso risultato - ilteorema diabel-ruffini (1826) - afferma che, ule risolutive per radicali della generica equazione polinomiale di grado ule che consentano di scrivere gli zeri del polinomio a 0 + a 1 X anx n C[X] (n 5) ite espressioni algebriche dipendenti da a 0,a 1,..., an e da loro radici (qu gradi n = 3 e n = 4, esistono formule risolutive per radicali, dovute ag (Cardano, Tartaglia, Del Ferro, Ferrari, Bombelli, ecc.). questa appendice presenteremo la formula di G.Cardano, che fornisce 3 a coefficienti in C oin R, ed accenneremo alla formula di L. Ferra omi di grado 4. V 1 V 2 V 3 b 2 4ac 2a, γ 2 = b b 2 4ac 2a V 4 V 5 V 6 V 7 (0, 1, 1) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 0, 1) (1, 0, 0) (1, 1, 0) (1, 1, 1) π f G G G / Kerf F i Imf x (0, 0, 0) x x x+1 x x x x x+1 x+1 x 1 0 (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (132) (1 2) (1 2) (1) (123) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 3) (1 3 2) (1) (123) (2 3) (1 2) (2 3) (2 3) (1 2 3) (132) (1) (1 2) (1 3) (1 2 3) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1) (1 3 2) (132) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3) π ρ f f G G G / F i Imf x+1 D 4 V 1 ϕ V 2 ρ ϕ 2 ρ ϕ 2 ϕ ρ ϕ 3 ρ Q i j k _ -11 _ 1 1 _ (1)

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3 3 Prefazione Ho raccolto in questo volume gli appunti del modulo di Algebra 1 da me tenuto presso il Dipartimento G.Castelnuovo dell Università La Sapienza di Roma negli A.A , e Ho suddiviso gli argomenti affrontati nel corso in quattro capitoli. Il primo è dedicato alle generalità della teoria degli insiemi, allo studio delle proprietà elementari degli insiemi numerici tradizionali (naturali, interi, razionali, reali e complessi) e ad una schematica presentazione delle principali strutture algebriche (gruppi ed anelli). Il secondo e terzo capitolo studiano le proprietà della fattorizzazione e delle congruenze nell anello Z degli interi e nell anello K[X] dei polinomi in una indeterminata ed a coefficienti in un campo K; viene messa in evidenza la stretta analogia algebrica tra le due strutture. Nel quarto ed ultimo capitolo vengono presentate le prime nozioni di teoria dei gruppi, con particolare attenzione allo studio dei gruppi finiti. Mancano molti importanti argomenti, che trovavano di solito posto in un corso annuale di Algebra: ideali e teoria moltiplicativa degli anelli, estensioni di campi ed elementi di teoria di Galois; si tratta di argomenti che vengono rinviati al modulo di Algebra 2. Gli esercizi proposti alla fine di ciascun capitolo sono risolti in un volumetto separato, nella cui ultima sezione sono inoltre presentati (sotto forma di esercizi) alcuni complementi e sono raccolti vari esercizi conclusivi del corso (recenti prove d esame o d esonero). Desidero ringraziare gli studenti dei corsi di Algebra 1 (A-H) di questi ultimi tre A.A. per l attenzione con cui hanno seguito la nascita di questi appunti ed in particolare gli studenti A.Appel, L.Belli, V.Capraro, G.Fortuna e G.Franzutti per la cura con cui mi hanno segnalato errori ed imprecisioni. Giugno 2005 Giulio Campanella

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5 5 Indice Capitolo I Insiemi - applicazioni - relazioni - operazioni - insiemi numerici - cardinalità 1. Generalità sugli insiemi Applicazioni tra insiemi Relazioni su un insieme Operazioni e strutture algebriche Insiemi numerici Cardinalità di insiemi Esercizi del Capitolo I Appendice 1. Numeri di Fibonacci Capitolo II Fattorizzazione e congruenze sugli interi 1. La divisione euclidea Divisibilità e Massimo Comun Divisore Numeri primi. Teorema fondamentale dell aritmetica Congruenze in Z Equazioni congruenziali lineari Piccolo teorema di Fermat. Il teorema di Eulero-Fermat Esercizi del Capitolo II Appendice 2. Metodi di fattorizzazione in prodotti di primi Capitolo III Polinomi 1. Polinomi e funzioni polinomiali Divisibilità ink[x] Polinomi irriducibili Congruenze in K[X] Introduzione agli anelli di interi quadratici Esercizi del Capitolo III Appendice 3. Le formule di Cardano e di Ferrari Capitolo IV Gruppi 1. Sottogruppi di un gruppo Gruppi ciclici Il gruppo delle permutazioni Isometrie del piano euclideo e gruppi diedrali Classi laterali e teorema di Lagrange Omomorfismi tra gruppi Gruppi quozienti e teorema fondamentale di omomorfismo Esercizi del Capitolo IV Appendice 4. Polinomi ciclotomici Bibliografia

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