Unità Didattica N 27 Circonferenza e cerchio

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1 56 La ciconfeenza ed il cechio Ciconfeenza e cechio 01) Definizioni e popietà 02) Popietà delle code 03) Ciconfeenza passante pe te punti 04) Code e loo distanza dal cento 05) Angoli, achi e code 06) Mutua posizione di un a etta e di una ciconfeenza 07) Mutua posizione di due ciconfeenze 08) Angoli al cento ed alla ciconfeenza 09) La mediana elativa all ipotenusa di un tiangolo ettangolo 10) Tangenti ad una ciconfeenza condotte da un punto esteno Pagina 56 di 67

2 La ciconfeenza ed il cechio 57 Definizioni e popietà La ciconfeenza è il luogo geometico A aco dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto cento. coda B Raggio di una ciconfeenza è il segmento che unisce un punto qualsiasi della ciconfeenza con il cento. F diameto G La coda è un segmento che unisce due punti della ciconfeenza. P aggio Diameto è una qualsiasi coda passante pe il cento della ciconfeenza. gni diameto è uguale al doppio del aggio. L aco è una pate di ciconfeenza delimitata da due suoi punti. Un qualsiasi diameto divide la ciconfeenza in due pati uguali ciascana delle quali dicesi semiciconfeenza. Il cechio è il luogo geometico dei punti del piano le cui distanze dal cento sono minoi o uguali al aggio. Divesamente possiamo definie il cechio come la pate di piano delimitata dalla ciconfeenza. ssevazione : Mente la ciconfeenza è una linea il cechio è una supeficie, cioè una pate di piano. Un qualsiaisi diameto divide il cechio in due pati uguali, ciascana delle quali pende il nome di semicechio. semicechio semicechio Dicesi segmento cicolae ad una base la pate di cechio delimitata da un aco e dalla coda sottesa. segmento cicolae ad una base segmento cicolae ad una base Pagina 57 di 67

3 58 La ciconfeenza ed il cechio Dicesi segmento cicolae a due basi la pate di cechio delimitata da due code paallele e dagli achi aventi gli estemi sullecode stesse. segmento cicolae a due basi Dicesi settoe cicolae la pate di cechio delimitata da un aco e dau due aggi passanti pe gli estemi dell aco. settoe cicolae settoe cicolae Due ciconfeenze si dicono concentiche se hanno lo stesso cento. La coona cicolae è la pate di piano delimitata da due ciconfeenze concentiche. coona cicolae Due o più ciconfeenze sono uguali se hanno lo stesso aggio. Un punto del piano dicesi inteno ( esteno ) alla ciconfeenza se la sua distanza dal cento è minoe ( maggioe ) del aggio. Teoema : Una coda è sempe minoe del diameto. Tenendo pesente che in un tiangolo ogni lato è minoe della somma degli alti due possiamo scivee : Pagina 58 di 67

4 La ciconfeenza ed il cechio 59 Teoema : In ciconfeenze uguali ( ed in paticolae nella stessa ciconfeenza ) achi uguali sottendono code uguali, e vicevesa. I tiangoli AB ed AB sono uguali pe avee : Teoema : Code conguenti di una stessa ciconfeenza sono equidistanti dal cento, e vicevesa. I tiangoli AB e CD sono entambi isosceli. Quindi HB H D = peché metà di segmenti uguali. I tiangoli HB e H D sono uguali pe Avee : ciconfeenza. Pagina 59 di 67

5 60 La ciconfeenza ed il cechio Teoema : L asse di una qualsiasi coda di una ciconfeenza passa pe il cento. Infatti il cento della ciconfeenza è equidistante dagli estemi della coda e quindi appatuiene all asse della coda. Teoema : Nella ciconfeenza la pependicolae condotta dal cento ad una qualsiasi coda dimezza la coda stessa. Teoema : La congiungente il punto medio di una geneica coda col cento è pependicolae alla coda. (Vedee figua pecedente ) Hp : { AH = HB Th : { H AB Il tiangolo AB è isoscele sulla base AB. Quindi la mediana H è anche altezza, cioè H AB Mutua posizione di una etta e di una ciconfeenza Una etta si dice estena ad una ciconfeenza se non ha punti in comune con essa. In questo caso la distanza H del cento della ciconfeenza dalla etta è maggioe del aggio : H >. P H Una etta si dice tangente ad una ciconfeenza se ha in comune con essa un solo punto ( detto pubnto di tangenza o punto di contatto ). In questo caso la distanza H del cento della ciconfeenza dalla etta è uguale del aggio : H =. P H Pagina 60 di 67

6 La ciconfeenza ed il cechio 61 Una etta si dice secante ispetto ad una ciconfeenza se ha in comune con essa due punti. In questo caso la distanza H del cento della ciconfeenza dalla etta è minoe del aggio : H <. P H Mutua posizione di due ciconfeenze Due ciconfeenze si dicono mutuamente estene se la distanza dei loo centi è maggioe della somma dei loo aggi. 1 > Due ciconfeenze si dicono tangenti estenamente se la distanza dei loo centi è uguale della somma dei loo aggi. 1 = Due ciconfeenze si dicono secanti se la distanza dei loo centi è minoe della somma dei loo aggi e maggioe della loo diffeenza. 1 < 1 < Due ciconfeenze si dicono tangenti intenamente se la distanza dei loo centi è uguale alla diffeenza dei loo aggi. 1 = Pagina 61 di 67

7 62 La ciconfeenza ed il cechio Due ciconfeenze sono una intena all alta se la distanza dei loo centi è minoe della diffeenza dei loo aggi. 1 < Angoli al cento ed alla ciconfeenza Un angolo avente il vetice coincidente col cento della ciconfeenza dicesi angolo al cento. Un angolo avente il vetice sulla ciconfeenza dicesi angolo alla ciconfeenza. Un angolo alla ciconfeenza può avee i lati : 1) entambi secanti 2) uno secante e l alto tangente 3) entambi tangenti. ˆ ADB = angolo alla ciconfeenza che insiste sull aco AB ˆ ADB = angolo alla ciconfeenza che insiste sull aco ACD Teoema : gni angolo alla ciconfeenza è uguale alla metà dell angolo al cento che insiste sullo stesso aco. Pagina 62 di 67

8 La ciconfeenza ed il cechio 63 Si possono pesentae divesi casi : 1) I due lati dell angolo alla ciconfeenza sono secanti ed uno di essi è diameto. Pe il teoema dell angolo esteno abbiamo : 2) I due lati dell angolo alla ciconfeenza sono secanti e l angolo contiene il cento. Pagina 63 di 67

9 64 La ciconfeenza ed il cechio 3) I due lati dell angolo alla ciconfeenza sono secanti e l angolo non contiene il cento. 4) Uno dei due lati dell angolo alla ciconfeenza è tangente, l alto è un diameto. Th : 1 α = β 2 Pagina 64 di 67

10 La ciconfeenza ed il cechio 65 5) Uno dei due lati dell angolo alla ciconfeenza è secante, l alto è tangente e l angolo contiene il cento. 6) Uno dei due lati dell angolo alla ciconfeenza è secante, l alto è tangente e l angolo non contiene il cento. Pagina 65 di 67

11 66 La ciconfeenza ed il cechio Coollaio N 1 : Angoli alla ciconfeenza che insistono sullo stesso acho sono uguali. In quanto isultano uguali alla metà del coispondente angolo al cento ˆ BC. Coollaio N 2 : gni angolo alla ciconfeenza che insiste ( inscitto ) in una semiciconfeenza è etto. Coollaio N 3 : Un angolo alla ciconfeenza che insiste su un aco minoe ( maggioe ) di una seminiconfeenza è acuto ( ottuso ) Coollaio N 4 : Angoli alla ciconfeenza che insistono su achi uguali sono uguali. Pagina 66 di 67

12 La ciconfeenza ed il cechio 67 Poblema : Costuie le ette tangenti ad una ciconfeenza di cento condotte da un punto P esteno ad essa. La ciconfeenza di diameto P Inconta la ciconfeenza data nei punti A e B. Dico che le ette PA e PB sono le tangenti ichieste. Teoema : I segmenti di tangenti condotte da un punto P esteno ad una ciconfeenza sono uguali e l angolo fomato dalle due tangenti ha pe bisettice la etta che congiunge il punto P col cento della ciconfeenza consideata. Dimostazione Pagina 67 di 67