La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti

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1 Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma Le lezioni multimediali di GeoGebra Italia

2 efinizioni Luogo Geometrico Insieme di tutti e soli punti del piano che godono di una certa proprietà, detta proprieà caratteristica del centro. irconferenza erchio È il luogo geometrico dei punti di un piano aventi la stessa distanza da un punto detto centro. È quella figura piana formata dai punti di una circonferenza e da quelli interni alla circonferenza. rco Parte di circonferenza compresa fra due punti della stessa circonferenza.

3 efinizioni (cont.) Settore ircolare È quella parte di circonferenza compresa tra un arco e due raggi. orda La corda è quel segmento avente come vertici due punti della circonferenza. Il diametro è quella corda passante per il centro. ngolo al centro ngolo avente il vertice nel centro della circonferenza. ngolo alla circonferenza Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza stessa, oppure un lato secante e l altro tangente.

4 Unicità del centro della circonferenza B O E onsideriamo la circonferenza di centro O e passante per i tre punti non allineati, B e. ome già affermato precedentemente, il centro di una circonferenza sarà equidistante da tutti i punti appartenenti alla circonferenza. onsideriamo ora i segmenti B e B, il punto equidistante dai loro estremi sarà il punto d intersezione dei loro assi. Essendo l asse di un segmento una retta, il punto d intersezione tra due rette sarà unico. i conseguenza ci sarà un unico punto equidistante da, B e.

5 Primo teorema sulle corde O Teorema In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda non passante per il centro. imostrazione. Essendo O un triangolo O + O >.

6 Secondo teorema sulle corde E U Teorema Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare ad una corda non passante per il centro, allora la corda, l angolo al centro e l arco corrispondenti risulteranno divisi a metà da tale diametro.

7 Seconda teorema sulle corde (cont.) U E imostrazione. E, poiché raggi; E, per ipotesi L angolo ĈE e U UE, poiché nel triangolo isoscele l altezza relativa alla base corrisponde alla bisettrice e alla mediana.

8 Terzo teorema sulle corde E U Teorema Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro, nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda.

9 Primo teorema sulle corde (cont.) U E imostrazione. E, poiché raggi; E, per ipotesi. L angolo ĈE e U UE

10 Terzo teorema sulle corde (cont.) U E imostrazione. Il triangolo E è isoscele perché E, per costruzione. Nei triangoli isosceli la mediana relativa alla base coinciderà all altezza.

11 Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza r E d F d B r r a) Retta secante b) Retta Tangente c) Retta Esterna Retta Secante La distanza tra e r è minore del raggio della circonferenza Retta Esterna La distanza tra e r è maggiore del raggio della circonferenza Retta Tangente La distanza tra e r è uguale al raggio della circonferenza 1 1

12 Posizioni relative di due circonferenze Secanti Tangenti esternamente e internamente E r r1 B O O1 r + r 1 < OO 1 OO 1 < r r 1 Esterne Esternamente = + Internamente B = B Interne O O 1 r r 1 B OO 1 > r + r 1 1 < B 1

13 ngoli al centro e alla circonferenza corrispondenti Teorema Un angolo al centro del corrispondente angolo alla circonferenza Per la dimostrazione distingueremo tre casi differenti: Un lato della circonferenza contiene un diametro; Il centro O è interno all angolo alla circonferenza; Il centro O è esterno all angolo alla circonferenza;

14 ngoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.) O B Un lato della circonferenza contiene un diametro imostrazione. Il triangolo OB è isoscele per costruzione. BO = BO poiché 2 BO + ÂOB = 180 ÂOB + BO = 180

15 ngoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.) β γ Il centro O è interno all angolo alla circonferenza β α O α δ imostrazione. Per le note proprietà di cui godono risulta essere γ = 2β δ = 2α.

16 ngoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.) E β 2 S Il centro O è esterno all angolo alla circonferenza O α 2 β β 1 α 1 α imostrazione. Si osservano le seguenti eguaglianze: β 1 = 2α 1, β 2 = 2α 2, β 2 β 1 = β, α 2 α 1 = α, β 2 β 1 = 2α 2 2α 1, β = 2α.