Considerazioni generali

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1 I Filtri IZ3NPZ Ferdinando e ARIVERONAEST 31//20 Considerazioni generali Se si esamina un ltro nel dominio della frequenza (è cioè valutando il suo comportamento al variare della frequenza) si vede che la sua funzione di trasferimento 1 non è costante, e quindi non tratta nello stesso modo tutte le frequenze che compongono il segnale (vedi serie di Fourier). Se invece si andasse ad analizzare il ltro nel dominio del tempo, altro non si potrebbe fare che valutare il tempo di ritardo introdotto dal ltro stesso sul segnale che lo attraversa. Uno dei parametri più importanti del ltro è la frequenza di taglio, denita come la frequenza alla quale l'ampiezza della risposta cala di 3 db (in altre parole la risposta in uscita diventa circa il 70% della risposta che si ha in centro banda). In questa breve dispensa si cercherà di illustrare i metodi di calcolo dei vari tipi di ltro, compresi i ltri a cristallo. Filtri passa basso Come ltro passa basso si intende un circuito in grado di fare passare tutte le frequenze al di sotto della frequenza di taglio (in inglese cuto frequency), mentre attenua quelle superiori. Quindi la forma di un ltro passa basso è la seguente: 1 Come tale si intende il rapporto fra la tensione d'uscita e la tensione d'ingresso nel dominio della frequenza, come se si parlasse del guadagno di un amplicatore) 1

2 ampiezza f di taglio frequenza Il ltro passa basso (ed è per questo che si tratta per primo) è la base per altri tipi di ltro, per cui, avendo un ltro passa basso ben progettato, con leggere variazioni si può ricavare un ltro passa alto o bassa banda, mentre un ltro elimina banda si ricava da un passa alto. Un ltro passa basso del terzo ordine è questo: Rs R L Il ltro è pilotato da un generatore con resistenza interna R s e chiuso sul carico R L. La sorgente ed il carico sono fondamentali; la funzione di trasferimento del ltro dipende dall'avere le due estremità propriamente terminate: un ltro i cui due estremi sono terminati da carichi resistivi si dice ltro doppiamente terminato. Un secondo tipo di ltro, sempre del terzo ordine, che se ben calcolato ha la stessa funzione del primo, è il seguente: Rs R L Quelli illustrati sono ltri del terzo ordine (in quanto hanno tre elementi); un ltro del quinto ordine è costituito da cinque elementi reattivi; se, da una parte, l'aumentare dell'ordine costituisce una maggior complessità circuitale, dall'altra assicura una maggior attenuazione al di fuori della banda passante (e cioè la parte inclinata della caratteristica del ltro è più pendente). Come illustra la gura seguente, tutti e tre i ltri passa basso hanno la stessa frequenza di taglio, ma l'attenuazione è ben diversa al cambiare dell'ordine. ariveronaest 2

3 LPF3 db 30 LPF5 50 LPF frequenza Forma dei ltri Due sono le tipologie di ltri maggiormente usate: si parla di ltri di Butterworth e ltri di Chebyshev. Vediamo con due graci il diverso comportamento: il primo illustra il ltro tipo Butterworth, nel quale l'andamento in banda è piuttosto costante, mentre l'attenuazione fuori banda è abbastanza lenta (naturalmente le caratteristiche migliorano all'aumentare dell'ordine) ariveronaest 3

4 LPZ7 LPF5 LPF3 mentre il secondo fa vedere come, nel caso del ltro di Chebyshev, ci siano delle oscillazioni in banda, ma, fuori banda, l'attenuazione sia molto più marcata, e quindi si attenuano di più, rispetto al caso precedente, le frequenze che non devono passare ariveronaest 4

5 LPF7 3 db LPF3 frequenza Il progetto dei LBF Il progetto di ltri passa basso reali inizia dalla seguente tabella (si riportano i dati solamente per il tipo Butterworth): N g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) g(9) g(7) 2 1,414 1, ,7654 1,85 1,85 0, ,618 1, ,618 0, ,5176 1,414 1,932 1,932 1,414 0, ,445 1,247 1, ,802 1,247 0,445 In tabella, i vari g indicano gli elementi del ltro, e possono essere sia induttanze che capacità. Il progetto inizia scegliendo la resistenza di terminazione alle due estremità R 0 del ltro (normalmente si sceglie 50 Ω) e la frequenza di taglio f t, in Hz. Scelti questi due valori critici, il ltro ha induttori e capacità date dalle seguenti due equazioni: ariveronaest 5

6 L(n) = g(n) R 0 2 π f t e g(n) C(n) = 2 π f t R 0 con C ed L rispettivamente in Farad ed Henry, mentre g(n) è l'n-esimo valore normalizzato ricavato dalla tabella. Il primo elemento piò essere una induttanza (in serie) o una capacità (in parallelo); dopo aver scelto il primo elemento si continua, alternando C ed L, no a completare l'ordine del ltro. Ecco un esempio: si supponga di voler costruire un ltro di Butterworth del quarto ordine, con frequenza di taglio f t = 10 MHz e terminato con 50 Ω. Si supponga di partire con una induttanza; il calcolo dei vari elementi porta a trovare: L(1) = C(2) = π = H π = F proseguendo si ricava L(3) = H e C(4) = F ed il ltro risultante è il seguente: Rs= uh 580 pf uh 244 pf Rl=50 Tutto bene dunque? Non proprio, nel senso che se da un lato fare le induttanze di valore voluto è abbastanza facile, basta aggiungere o togliere delle spire, i condensatori si trovano secondo valori normalizzati. La tecnica di costruirsi il valore mediante paralleli di condensatore, oltre ad appesantire il circuito, introduce ulteriori fattori di risonanza, cosa che, in radiofrequenza, non conviene. C'è da dire che se gli aggiustamenti dei condensatori non sono troppo grandi, il ltro va bene lo stesso in quanto sia la tipologia di Butturworth che quella di Chebyschev sono abbastanza insensibili; altrimenti, si progetta il ltro, lo si verica mediante programma, si modicano i condensatori e sempre mediante programma di aggiustano le induttanze no al risultato voluto. Nella gura seguente si può notare quanto prima detto: la curva di risposta del ltro, con i valori esatti o con i valori dei condensatori normalizzati praticamente coincidono, anche se i valori vengono modicati del 10 % ariveronaest 6

7 ltri di Butterworth o di Chebyschev non sono sempre la migliore scelta, nel senso che per scopi radioamatoriali, molte volte, occorrono ltri passa passo che riescano ad attenuare molto bene le armoniche e che lascino passare una banda piuttosto stretta, molte volte non più del 20% della banda passante. Un tipo di ltro molto pratico risulta allora essere il ltro circolare 2, che assomiglia ad un ltro di Chebyschev, con delle ondulazioni (ma anche abbastanza contenute) nella banda passante e una grande attenuazione fuori banda. I parametri normalizzati, per questo ltro, sono riferiti alla frequenza massima alla quale si vuole il picco, e non alla frequenza di taglio. Ad esempio, volendo un ltro largo (il 20% della banda passante con una variazioen di 0.2 db) i coecienti ai quali fare riferimento sono quelli della prima riga della seguente tabella: 2 Si chiama così per una particolare forma della funzione matematica che descrive il ltro ariveronaest 7

8 Tipo g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) largo 1,759 0,704 2,352 0,704 1,759 medio 2,717 1,087 2,56 1,087 2,717 stretto 3,456 1,382 1,787 1,382 3,456 Lo schema del ltro sferico è il seguente: Rs g(2) g(4) g(1) g(3) g(5) R L Le formule da usare sono, naturalmente, quelle prima viste, nelle quali si inserisce la frequenza voluta (in questo caso la frequenza del picco) e la resistenza (uguale) delle due terminazioni. Anche questo tipo di ltro, come tutte le scelte tecniche, se da una parte ha indubbi vantaggi (soprattutto l'alta attenuazione fuori banda, simile a quella dei ltri di Chebyshev di ordine molto superiore), dall'altra ha l'inconveniente di essere particolarmente sensibile ai componenti con basso Q (fattore di qualità). Progetto di ltri HPF I ltri passa basso sono la base per tutti gli altri tipi di ltri passivi. Per i ltri passa alto, una volta stabilita la frequenza di taglio e la resistenza delle due terminazioni, basta invertire i condensatori con le induttanze, nel senso che una induttanza in serie diventa un condensatore in serie, un condensatore in parallelo diventa una induttanza in parallelo, mantenendo la stessa reattanza. Il ltro passa alto può essere calcolato direttamente dalla prima tabella, usando le seguenti formule: 1 C(n) = g(n) 2 π f t R 0 L(n) = Progetto di ltri BPF R 0 2 π f t g(n) I ltri passa banda si possono facilmente ricavare da un ltro passa basso. Supponiamo di progettare un passa basso come prima visto, ad esempio del terzo ordine, partendo dal condensatore Rs R L naturalmente, per progettarlo, si è dovuto scegliere la frequenza di taglio. Se ora si rende risonante ogni componente alla frequenza di centro banda, si ottiene un ltro passa banda con banda ariveronaest 8

9 passante pari alla banda passante del ltro passa basso originale e centrata sulla frequenza di risonanza dei componenti. Ad esempio, progettiamo un ltro passa basso del terzo ordine con banda di 2 MHz, i componenti hanno questi valori: pf 7.96 uh 1595 pf se, ora, rendiamo risonanti tutti i componenti (condensatore in serie all'induttanza e induttanza in parallelo al condensatore) calcolati, ad esempio per una frequenza di 8 MHz, si ottiene un ltro bassa banda centrato ad 8 MHz con banda di 2 MHz, come nell'esempio: pf uh pF 1595 pf 0.25 uh 0.25 uh Se si volesse invece progettare un ltro elimina banda, si parte da un ltro passa alto, rendendo risonanti i componenti alla frequenza che si vuole eliminare. Naturalmente questo metodo funziona bene se si fanno dei ltri con una certa banda, dal 20% in su; per bande molto strette bisogna passare ad altri metodi di calcolo e ad altre considerazioni. 50 Analisi dei ltri a banda stretta I ltri LC di cui discuteremo sono a banda stretta, tipicamente dall'1 al 20 % dal centro banda. Filtri stretti e piatti sono fatti con dei risuonatori con un alto Q (fattore di merito). I circuiti accordati accumulano energia, ma hanno anche delle perdite e sono proprio queste perdite che determinano in modo massiccio il comportamento del ltro. Un induttore allora viene modellizzato con uno dei due circuiti seguenti: o con una resistenza in serie o con una R in parallelo. La resistenza dipende da Q, se l'induttanza fa parte di un risuonatore con quel fattore di qualità. Infatti R serie = ωl Q R parallelo = ωql più alto è il Q dell'induttore e più bassa risulta essere la R. Importante poi è il fatto che il Q è legato alla larghezza di banda del circuito accordato: BW = f c Q con BW la larghezza di banda, f c la frequenza del circuito accordato. Un ltro accordato a singola cella si può schematizzare in questo modo: ariveronaest 9

10 Rs C L Rp con R p la resistenza di perdita dell'induttore, mentre R s rappresenta la resistenza della sorgente che fornisce energia mentre R l è la resistenza di carico (dove l'energia messa a disposizione dal generatore viene estratta). Sul circuito precedente facciamo qualche calcolo, anche per rendere evidenti le problematiche che si incontrano. Supponiamo che L = 2µH risonate a 5 MHz con un condensatore da 507 pf e che R p = KΩ. Il fattore di merito Q risulta, dall'equazione precedente 3, pari a 200, mentre se si tiene conto anche degli eetti di R s e di R p (e quindi si fa il parallelo di tre resistenze), si ricava un fattore di qualità del risuonatore (detto anche Q L - Q caricato) pari a Questa notevole dierenza si ripercuote sulla larghezza di banda; se infatti, tenendo conto solo della perdita dell'induttore, la larghezza di banda era pari a = 25 KHz, ora, considerando tutte le resistenze, si ha una banda passante di 339 KHz, con un notevole allargamento della stessa. Altro eetto della resistenza di perdita è la diminuzione del segnale in arrivo sulla R l (perdita per inserzione - insertion loss); infatti questa resistenza, messa in parallelo al carico, provoca una caduta di tensione, tanto più grande quanto minore è la resistenza. Questo esempio illustra due cose fondamentali quando si parla di circuiti accordati: 1. la banda passante di ogni ltro deve essere sempre più larga della banda passante non caricata dei risuonatori usati per costruire il ltro; 2. ogni ltro ha una perdita per inserzione; più vicino è il Q del ltro al Q del risuonatore, tanto maggiore è questa perdita. Rl Il progetto dei ltri risonanti Prima di illustrare le procedure di progetti di ltri doppio e triplo accoppiati, conviene accennare anche ad un altro fatto, e cioè che i risuonatori che costituiscono il ltro sono accordati sulla stessa frequenza, ma non appena si collega o un condensatore o una induttanza per trasferire l'energia da un accoppiatore ad un altro, nella risposta nascono due picchi, indice dell'accoppiamento fra i due risuonatori. Questo per giusticare il fatto che, nel calcolo dei ltri, bisogna tenere conto anche di questo accoppiamento (ma il tutto è tabellizzato). Alcune considerazioni preliminari. Il progetto dei ltri passa banda con più circuiti risonanti deve partire da queste considerazioni: 1. il Q non caricato dei risonatori deve essere più di tre volte maggiore del Q (caricato) del ltro 2. il Q del ltro è dato da fc f, con f c la frequenza centrale del ltro e f la banda passante voluta 3. per calcolare la perdita di inserzione, si usa la seguente formula P erdite db = Basta infatti scrivere Q = R p 2πfL = π F Q B G k ariveronaest 10

11 con G k la somma dei parametri g per un ltro passa basso dello stesso ordine ricavabili dalla tabella prima vista. É chiaro a questo punto che il primo punto, ricavabile dal secondo, ci indica la bontà con la quale bisogna realizzare l'induttore. La tabella di cui ci serviamo per calcolare il ltro è la seguente (si considerano solo ltri di Butterworth che sono adeguati. Butterworth n k q 2 0,7071 1, ,7071 1,000 Il progetto del ltro a due risuonatori. passi: Il progetto di questo ltro si sviluppa in questi 1. Si sceglie la frequenza centrale f c e la banda passante B tutte e due espresse in Hz; si sceglie il valore dell'induttore; potrebbe essere un valore scelto a caso, ma conviene scegliere un valore intermedio, dato ad esempio da 10 f c, il valore trovato è in H. 2. si calcola C 0 il valore della capacità di risonanza C 0 = 1 ω 2 L Questo valore serve per calcolare i valori eettivi e della vera capacità di risonanza e delle capacità di accoppiamento. 3. Si calcola il valore della capacità di accoppiamento fra i due circuiti risonanti: k parametro letto sulla tabella (0,7071) C 12 = C 0 k B f c 4. Si calcola Q E = q f c Q U B Q U q f c con q parametro in tabella e Q U (induttore misurato da solo) il fattore di merito dell'induttore non caricato 5. Ora si calcolano i condensatori d'accoppiamento fra circuiti risonanti e le resistenze di terminazione C E = 1 ω 1 R0 Q E ω L R Si calcola ora l'eettiva capacità di risonanza con l'induttanza prima scelta C T = C 0 C E C 12 Il circuito si presenta in questo modo: R 0 C E L C T C L C T CE R 0 ariveronaest 11

12 Il progetto del ltro a tre risuonatori Se si vogliono ottenere migliori caratteristiche, soprattutto per quanto riguarda l'attenuazione fuori banda, si può passare alla progettazione di un ltro a tre risuonatori. Il circuito, naturalmente, cambia, nel senso che adesso c'è una terza cella risuonante da inserire, e bisogna usare un ulteriore condensatore d'accoppiamento. Quello che però è importante è che le formule di progetto sono quelle prima viste per il ltro a due risuonatori (naturalmente i parametri k e q devono essere quelli relativi al ltro a tre celle), mentre quello che cambia è il condensatore in parallelo all'induttanza della cella intermedia, che viene calcolato con la seguente relazione: C M = C 0 2 C 12 Ecco allora il progetto di un ltro con frequenza centrale di 16.2 MHz e banda passante di 0.5 MHz, realizzato con tre risuonatori, considerando induttanze da 0.4µH (i valori sono stati prima calcolati con le equazioni date e poi vericati tramite programma): ecco la schermata del programma Il programma come si vede calcola anche la perdita di inserzione, pari a 2.8 db. Naturalmente i condensatori da 0. pf non si considerano in quanto alla frequenza considerata hanno una reattanza pari a circa 1MΩ Vale la pena sottolineare anche questo fatto: se le capacità d'accoppiamento risultano troppo piccole e dicili da trovare, si può ricorrere a questo metodo: si considera una capacità d'accoppiamento più grande del doppio di quella trovata C s > 2 C 12 ; ariveronaest 12

13 si utilizza un circuito di questo genere: C 2 s 2 C12 Cs C 12 Cs Cs Cp, calcolando la C p = naturalmente la rete che si inserisce al posto della capacità d'accoppiamento C 12 presenta una componente equivalente in parallelo; di questa capacità equivalente bisogna tenerne conto, diminuendo di conseguenza la capacità risonante della cella. Esempio pratico: la capacità d'accoppiamento sia pari a C 12 = 1.2pF. Per rispettare il primo punto ne scegliamo una da 10 pf e questa è la C S ; si calcola poi la C p = 63.3 pf (valori commerciali 56 o 68pF). La capacità equivalente si calcola facendo la serie fra la C S e la C p che nel nostro caso, considerando i valori teorici, diventa pari a 8.6 pf da togliere alla capacità risonante. ariveronaest 13