Liceo Scientifico G. Galilei Siena Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO MATEMATICA INSEGNANTE: De Nicola Maria CLASSE I C

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1 Liceo Scientifico G. Galilei Siena Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO MATEMATICA INSEGNANTE: De Nicola Maria ALGEBRA I numeri CLASSE I C I numeri naturali: definizione, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata; insieme N; operazioni e proprietà: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza; operazioni interne ad N. Multipli e divisori di un numero naturale, numeri primi, M.C.D. e m.c.m. tra numeri naturali; espressioni. I numeri interi: definizione, valore assoluto di un numero intero, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata; insieme Z; operazioni e proprietà: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente naturale; operazioni interne a Z; espressioni. I sistemi di numerazione: sistemi additivi e posizionali; sistema decimale e sistemi con base diversa da dieci; passaggio da un sistema qualunque al sistema decimale e viceversa. Le leggi di monotonia nelle uguaglianze e nelle disuguaglianze. Gli insiemi Definizione di insieme matematico e sue rappresentazioni; elementi di un insieme e appartenenza, insieme vuoto. Sottoinsiemi: definizione; sottoinsieme proprio e improprio; inclusione e inclusione stretta. Operazioni tra insiemi e loro proprietà: intersezione, unione, differenza, complementare di un insieme, prodotto cartesiano. Insieme delle parti e partizione di un insieme. La logica Proposizioni logiche, connettivi logici ed espressioni: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva ed esclusiva, implicazione e doppia implicazione; proprietà dei connettivi logici. Logica e insiemi; proposizioni aperte e insieme di verità; i quantificatori. Relazioni e funzioni Relazioni binarie: definizioni e rappresentazioni; dominio, codominio, immagine di un elemento. Relazioni su un insieme e proprietà (riflessiva, simmetrica, transitiva, antiriflessiva, antisimmetrica). Relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente. Relazioni d'ordine: largo e stretto, totale e parziale. Le funzioni: definizione, dominio, codominio, immagine. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive, funzione inversa. Funzioni numeriche: dominio naturale, rappresentazione in un sistema di coordinate cartesiane; composizione di funzioni numeriche. Funzioni numeriche particolari: proporzionalità diretta, inversa, quadratica; funzione lineare, funzione valore assoluto. I numeri razionali Frazioni: definizione, frazioni equivalenti, proprietà invariantiva, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata. Numeri razionali come classi di equivalenza di una relazione di equivalenza. Insieme Q come insieme quoziente. Operazioni con i numeri razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente intero; operazioni interne a Q. Percentuali; proporzioni: definizione e proprietà.

2 Rappresentazione decimale di un numero razionale: numeri decimali finiti, illimitati periodici. Numeri illimitati non periodici: numeri irrazionali e numeri reali, insieme R. I monomi e i polinomi I monomi: definizioni, grado di un monomio e grado rispetto a una lettera; riduzione a forma normale. Operazioni con i monomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza, divisione. M.C.D. e m.c.m. tra monomi. I polinomi: definizioni, riduzione a forma normale, grado complessivo e grado rispetto a una lettera; polinomio ordinato, completo, omogeneo. Operazioni con i polinomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione di un monomio per un polinomio e tra due polinomi. I prodotti notevoli: somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo di un binomio. Funzioni polinomiali: zeri di un polinomio. Divisione di un polinomio per un monomio; divisione tra polinomi: divisione in colonna e metodo di Ruffini. Teorema del resto e teorema di Ruffini. Applicazione alla somma e differenza di cubi: divisione esatta. La scomposizione in fattori e le frazioni algebriche Scomposizione in fattori: raccoglimento a fattore comune totale e parziale; riconoscimento di prodotti notevoli; applicazione del teorema e metodo di Ruffini; scomposizione di un trinomio particolare di secondo grado. M.C.D. e m.c.m. tra polinomi. Frazioni algebriche: definizione e condizioni di esistenza. Frazioni equivalenti: semplificazione e riduzione allo stesso denominatore. Operazioni: addizione e sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza. Espressioni. GEOMETRIA La geometria del piano Introduzione alla geometria razionale, definizioni, postulati, teoremi, corollari. Enti geometrici fondamentali: postulati di appartenenza della retta e del piano, postulato di ordine per la retta. Postulato di partizione del piano, definizioni di semipiano, segmento, angolo; angoli particolari. Figure concave e convesse. Congruenza tra figure, lunghezza di un segmento, distanza tra due punti, confronto e somma tra segmenti. Punto medio di un segmento e costruzione con riga e compasso. Confronto e operazioni tra angoli. Bisettrice di un angolo e costruzione con riga e compasso. Teorema sugli angoli complementari. Angoli opposti al vertice. Teorema degli angoli opposti al vertice. I triangoli Definizioni e classificazioni dei triangoli. Bisettrici, mediane, altezzae angolo esterno. Congruenza e criteri di congruenza dei triangoli (dimostrazione). Teorema del triangolo isoscele e suo inverso (dimostrazioni). Teorema della bisettrice del triangolo isoscele (dimostrazione). Proprietà del triangolo equilatero. Teorema dell'angolo esterno - maggiore (dimostrazione).

3 Relazione tra lato maggiore e angolo maggiore e relazione tra i lati di un triangolo (teoremi con dimostrazione). I poligoni: definizioni. Parallelismo e perpendicolarità nel piano Rette perpendicolari; teorema di esistenza e unicità della perpendicolare (dimostrazione). Le proiezioni ortogonali di un punto e di un segmento; la distanza di un punto da una retta; l'asse di un segmento. Rette tagliate da una trasversale: angoli alterni (interni ed esterni), coniugati (interni ed esterni), corrispondenti. Le rette parallele: teorema delle rette parallele e suo inverso (dimostrazioni); corollari; quinto postulato di Euclide. Teorema dell'angolo esterno somma (dimostrazione); teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo (dimostrazione) e corollari: secondo criterio di congruenza dei triangoli generalizzato. La somma degli angoli interni e degli angoli esterni di un poligono convesso. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli: enunciati e relazione con i criteri di congruenza dei triangoli qualunque. I parallelogrammi: definizioni e proprietà. Condizioni necessarie (dimostrazione) e sufficienti (enunciato). Il rettangolo: definizione e proprietà. Condizione necessaria e sufficiente sulle diagonali (dimostrazione). Teorema della distanza tra due rette parallele (dimostrazione). Il rombo: definizione e proprietà. Condizione necessaria e condizioni sufficienti (dimostrazioni). Il quadrato: definizione e proprietà. Il trapezio: definizioni e classificazione. Il teorema del trapezio isoscele (dimostrazione) e suo inverso (enunciato). Fascio improprio di rette: definizione. Teorema del fascio di rette (enunciato) e corollario. Teorema del segmento con estremi nei punti medi dei lati (dimostrazione). Libri di testo in adozione: Algebra.blu con Statistica Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Vol. 1, Ed Zanichelli; Geometria.blu, Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Ed. Zanichelli.

4 CLASSE I S ALGEBRA I numeri I numeri naturali: definizione, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata; insieme N; operazioni e proprietà: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza; operazioni interne ad N. Multipli e divisori di un numero naturale, numeri primi, M.C.D. e m.c.m. tra numeri naturali; espressioni. I numeri interi: definizione, valore assoluto di un numero intero, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata; insieme Z; operazioni e proprietà: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente naturale; operazioni interne a Z; espressioni. I sistemi di numerazione: sistemi additivi e posizionali; sistema decimale e sistemi con base diversa da dieci; passaggio da un sistema qualunque al sistema decimale e viceversa. Gli insiemi Definizione di insieme matematico e sue rappresentazioni; elementi di un insieme e appartenenza, insieme vuoto. Sottoinsiemi: definizione; sottoinsieme proprio e improprio; inclusione e inclusione stretta. Operazioni tra insiemi e loro proprietà: intersezione, unione, differenza, complementare di un insieme, prodotto cartesiano. Insieme delle parti e partizione di un insieme. La logica Proposizioni logiche, connettivi logici ed espressioni: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva ed esclusiva, implicazione e doppia implicazione. Logica e insiemi; proposizioni aperte e insieme di verità; i quantificatori. Relazioni e funzioni Relazioni binarie: definizioni e rappresentazioni; dominio, codominio, immagine di un elemento. Relazioni su un insieme e proprietà (riflessiva, simmetrica, transitiva, antiriflessiva, antisimmetrica). Relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente. Relazioni d'ordine: largo e stretto, totale e parziale. Le funzioni: definizione, dominio, codominio, immagine. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive, funzione inversa. Funzioni numeriche: dominio naturale, rappresentazione in un sistema di coordinate cartesiane; composizione di funzioni numeriche. Funzioni numeriche particolari: proporzionalità diretta, inversa, quadratica; funzione lineare. I numeri razionali Frazioni: definizione, frazioni equivalenti, proprietà invariantiva, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata. Numeri razionali come classi di equivalenza di una relazione di equivalenza. Insieme Q come insieme quoziente. Operazioni con i numeri razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente intero; operazioni interne a Q. Percentuali; proporzioni: definizione e proprietà. Rappresentazione decimale di un numero razionale: numeri decimali finiti, illimitati periodici. Numeri illimitati non periodici: numeri irrazionali e numeri reali, insieme R. I monomi e i polinomi I monomi: definizioni, grado di un monomio e grado rispetto a una lettera; riduzione a forma normale.

5 Operazioni con i monomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza, divisione. M.C.D. e m.c.m. tra monomi. I polinomi: definizioni, riduzione a forma normale, grado complessivo e grado rispetto a una lettera; polinomio ordinato, completo, omogeneo. Operazioni con i polinomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione di un monomio per un polinomio e tra due polinomi. I prodotti notevoli: somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo di un binomio. Funzioni polinomiali: zeri di un polinomio. Divisione di un polinomio per un monomio; divisione tra polinomi: divisione in colonna e metodo di Ruffini. Teorema del resto e teorema di Ruffini. La scomposizione in fattori e le frazioni algebriche Scomposizione in fattori: raccoglimento a fattore comune totale e parziale; riconoscimento di prodotti notevoli; differenza di cubi; applicazione del teorema e metodo di Ruffini; scomposizione di un trinomio particolare di secondo grado. M.C.D. e m.c.m. tra polinomi. GEOMETRIA La geometria del piano Introduzione alla geometria razionale, definizioni, postulati, teoremi, corollari. Enti geometrici fondamentali: postulati di appartenenza della retta e del piano, postulato di ordine per la retta. Postulato di partizione del piano, definizioni di semipiano, segmento, angolo; angoli particolari. Figure concave e convesse. Congruenza tra figure, lunghezza di un segmento, distanza tra due punti, confronto e somma tra segmenti. Punto medio di un segmento e costruzione con riga e compasso. Confronto e operazioni tra angoli. Bisettrice di un angolo e costruzione con riga e compasso. Teorema sugli angoli complementari. Angoli opposti al vertice. Teorema degli angoli opposti al vertice. I triangoli Definizioni e classificazioni dei triangoli. Bisettrici, mediane, altezza, angolo esterno. Costruzione con riga e compasso dell'altezza relativa a un lato. Congruenza e criteri di congruenza dei triangoli (dimostrazione). Teorema del triangolo isoscele (dimostrazione) e suo inverso (enunciato). Teorema della bisettrice del triangolo isoscele (dimostrazione). Proprietà del triangolo equilatero. Teorema dell'angolo esterno - maggiore (dimostrazione). Relazione tra lato maggiore e angolo maggiore e relazione tra i lati di un triangolo (teoremi con dimostrazione). I poligoni: definizioni. Parallelismo e perpendicolarità nel piano Rette perpendicolari; teorema di esistenza e unicità della perpendicolare (dimostrazione). Le proiezioni ortogonali di un punto e di un segmento; la distanza di un punto da una retta; l'asse di un segmento. Rette tagliate da una trasversale: angoli alterni (interni ed esterni), coniugati (interni ed esterni), corrispondenti. Le rette parallele: teorema delle rette parallele e suo inverso (dimostrazioni); corollari; quinto postulato di Euclide.

6 Teorema dell'angolo esterno somma (dimostrazione); teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo (dimostrazione) e corollari: secondo criterio di congruenza dei triangoli generalizzato. La somma degli angoli interni e degli angoli esterni di un poligono convesso. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli: enunciati e relazione con i criteri di congruenza dei triangoli qualunque. I parallelogrammi: definizioni e proprietà. Condizioni necessarie e sufficienti (enunciato). Il rettangolo: definizione e proprietà. Condizione necessaria e sufficiente sulle diagonali (enunciato). Libri di testo in adozione: Algebra.blu con Statistica Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Vol. 1, Ed Zanichelli; Geometria.blu, Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Ed. Zanichelli.

7 CLASSE III C COMPLEMENTI DI ALGEBRA Disequazioni con valore assoluto. Disequazioni irrazionali. GEOMETRIA ANALITICA La retta Richiami sull'equazione e le sue caratteristiche; parallelismo e perpendicolarità; distanza di un punto da una retta. Luoghi geometrici: asse di un segmento e bisettrice dell'angolo formato da due rette. Fasci di rette: fasci propri e impropri. Combinazione lineare di due equazioni. La parabola Definizione come luogo geometrico e come conica. Fuoco, direttrice, asse, vertice. Determinazione dell'equazione nel caso di asse coincidente con l'asse y e vertice nell'origine. Equazione nel caso generale con asse parallelo all'asse y ricavato come traslazione del caso precedente. Equazione nel caso generale con asse parallelo all'asse x. Significato dei coefficienti. Posizioni reciproche retta-parabola; condizione di tangenza. Area del segmento parabolico. Determinazione dell'equazione di una parabola date alcune condizioni. Fasci di parabole: punti base, parabole degeneri. La circonferenza Definizione come luogo geometrico e come conica. Determinazione dell'equazione e significato dei coefficienti. Posizioni reciproche retta-circonferenza. Determinazione di rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto dato: tramite la condizione di tangenza; tramite la distanza retta-centro; nel caso di punto appartenente alla circonferenza, retta tangente come perpendicolare al raggio. Determinazione dell'equazione di una circonferenza date alcune condizioni. Posizioni reciproche tra due circonferenze: asse radicale. Fasci di circonferenze: asse radicale del fasci, punti base. L ellisse Definizione come luogo geometrico e come conica. Determinazione dell'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse x; equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse y. Significato dei coefficienti. Simmetrie; vertici e assi; eccentricità. Posizioni reciproche retta-ellisse. Condizione di tangenza. Determinazione dell'equazione di un'ellisse date alcune condizioni. Equazione di un'ellisse con fuochi non appartenenti agli assi ricavata come traslazione del caso precedente. Ellisse come dilatazione della circonferenza. L iperbole Definizione come luogo geometrico e come conica. Determinazione dell'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x; equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y. Significato dei coefficienti. Simmetrie; vertici e assi; asintoti; eccentricità.

8 Posizioni reciproche retta-iperbole. Condizione di tangenza. Determinazione dell'equazione di un' iperbole date alcune condizioni. Equazione di un' iperbole con fuochi non appartenenti agli assi come traslazione del caso precedente. Iperbole equilatera: riferita agli assi; riferita agli asintoti; funzione omografica. Equazione generale di una conica. GONIOMETRIA Funzioni goniometriche Misura degli angoli: gradi e radianti. Angoli orientati e circonferenza goniometrica. Funzioni goniometriche seno e coseno: definizione a partire dai triangoli rettangoli e dalla circonferenza goniometrica; dominio, codominio, periodicità, grafici e simmetrie. Funzioni tangente e cotangente: definizione come rapporto di coordinate, o a partire dalla retta tangente alla circonferenza goniometrica; dominio, codominio, periodicità, grafici e simmetrie. Relazioni fondamentali della goniometria. Seno e coseno in funzione di tangente e cotangente. Significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta. Funzione secante e cosecante: definizione, dominio, codominio, periodicità, grafici e simmetrie. Valori delle funzioni goniometriche per angoli particolari del primo quadrante: determinazione geometrica. Funzioni goniometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente: dominio, codominio e grafico. Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche. Funzioni sinusoidali: ampiezza, pulsazione, fase iniziale. Formule goniometriche Angoli associati: determinazione geometrica delle relazioni tra angoli associati. Formule di addizione e sottrazione di seno, coseno, tangente e cotangente. Angolo tra due rette. Formule di duplicazione e di bisezione. Formule parametriche. Libri di testo in adozione: Manuale blu 2.0 di matematica, Vol. 3; Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Ed Zanichelli. Siena, 8 giugno 2015 L INSEGNANTE Maria De Nicola

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