Riproduzione vietata. Capitolo 1. Serie di funzioni. 1.1 Serie di funzioni

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1 Capitolo 1 Serie di funzioni In questo capitolo trattiamo le serie di funzioni in generale e il primo importante esempio di tali serie: le serie di potenze. Nel capitolo precedente abbiamo visto la definizione e le proprietà delle serie numeriche, somme di infiniti numeri. In questo capitolo vediamo come sia possibile sommare infinite funzioni e che relazione esiste tra una serie di funzioni e la funzione somma. Questo discorso ha una grande importanza applicativa, perché consente di scrivere (ovviamente sotto ben precise ipotesi) una funzione come una somma infinita di funzioni più semplici ; molte operazioni che dovremmo svolgere sulla funzione somma, come la derivazione e l integrazione, sono eseguibili, in modo molto più agevole, sulle funzioni che compongono la serie. Nel primo paragrafo viene data la definizione di serie di funzioni e si presentano le problematiche relative a questo nuovo ente matematico; con la definizione di convergenza totale si introduce una proprietà che permette di stabilire alcune caratteristiche della funzione somma della serie a partire da quelle delle funzioni che sommiamo. Nel secondo e nel terzo paragrafo si studia un esempio particolarmente importante di serie di funzioni: le serie di potenze. Queste serie ci consentono di rappresentare solamente delle funzioni molto regolari, ma, d altra parte, sono estremamente maneggevoli perché consentono di ridurre le operazioni del calcolo differenziale e integrale sulla funzione somma ad analoghe operazioni su funzioni polinomiali. 1.1 Serie di funzioni Consideriamo una successione di funzioni {f n (x)}, con n = 0,1,2,..., definite in un intervallo I IR. Fissiamo un punto x I e consideriamo i valori assunti dalle funzioni f n in questo punto; risulta così definita la successione numerica {f n ( x)}, a partire dalla quale possiamo costruire (con il metodo visto nel capitolo precedente) la serie numerica 1

2 2 1 Serie di funzioni f n ( x), (1.1) che può essere convergente oppure divergente, oppure indeterminata. Questo procedimento si può ripetere per ogni punto dell intervallo I. Definizione 1.1 Se la serie numerica (1.1) è convergente diciamo che la serie di funzioni f n (x) (1.2) converge puntualmente nel punto x. L insieme E I dei punti in cui la serie (1.2) converge è detto insieme di convergenza (puntuale) della serie (1.2). Nell insieme E di convergenza puntuale possiamo associare a ogni punto x la somma della serie (1.2); in questo modo viene definita una nuova funzione, che indichiamo con f(x) e chiamiamo somma della serie (1.2); per indicare questo fatto scriviamo Definizione 1.2 Se la serie numerica f n ( x), f(x) = f n (x), x E. (1.3) è convergente diciamo che la serie di funzioni (1.2) converge assolutamente nel punto x. Osserviamo chese la serie (1.2) converge assolutamente in ogni punto di un determinato insieme ivi converge anche puntualmente. Esempio 1.3 Riferendoci alle notazioni introdotte sopra, con I = IR, consideriamo la successione di funzioni f n (x) = x n con n = 0,1,2,... (si intende che f 0 (x) = 1 per ogni x reale); sappiamo che scegliendo x ( 1,1) la serie numerica x n, (serie geometrica di ragione x) converge e ha come somma il numero 1 1 x, mentre essa diverge oppure oscilla se x (, 1] [1, + ). Possiamo quindi concludere che la serie di funzioni (detta anch essa serie geometrica) x n ha come insieme di convergenza puntuale l insieme E = ( 1,1) e che in esso risulta

3 1.1 Serie di funzioni 3 x n = 1 1 x. Assegnata una serie di funzioni, il primo problema che si pone è quello di determinarne l insieme di convergenza puntuale E; nell esempio precedente abbiamo visto che questo insieme non coincide necessariamente con l insieme I in cui sono definite le funzioni {f n (x)}. L insieme di convergenza può essere strano anche se sommiamo funzioni molto semplici, come si vede dai seguenti esempi. Esempio 1.4 Consideriamo la serie di funzioni definite in IR sin n x. (1.4) Se poniamo x = π/2 + 2kπ con k Z otteniamo la serie 1, che è divergente, mentre per x = 3π/2 + 2kπ si ha la serie ( 1) n, che è indeterminata. In tutti gli altri punti la serie è convergente; infatti, essendo sin x < 1, la (1.4) si riduce, con la sostituzione t = sin x, alla serie geometrica t n, di ragione t con t < 1. Quindi E = IR \ {x : x = π/2 + kπ}. Sapendo che la serie geometrica ha somma 1 1 t, possiamo concludere che nell insieme di convergenza E si ha sin n 1 x = 1 sin x. Esempio 1.5 Consideriamo la serie di funzioni definite in IR n!(x 2 x). (1.5) Questa serie di funzioni converge a zero per x = 0 e per x = 1, perché si riduce alla serie nulla; in tutti gli altri punti diverge, come si verifica immediatamente usando il criterio del rapporto.quindi E = {0,1}. Una volta determinato l insieme di convergenza, si pone il problema di calcolare la somma della serie. Questo problema è risolubile solo in casi molto particolari, per cui non vale la pena di affrontarlo in generale. Dobbiamo apparentemente accontentarci di qualcosa di meno; dal punto di vista matematico si tratta invece della domanda più interessante, perché riguarda una questione generale (e non dei casi particolari, come la ricerca della somma): la funzione somma eredita le proprietà delle funzioni che sommiamo? Ad esempio, la somma di una serie di funzioni continue è una funzione continua? Oppure

4 4 1 Serie di funzioni la somma di funzioni derivabili è una funzione derivabile? In caso affermativo, possiamo calcolare la sua derivata derivando termine a termine la serie che la esprime? Inoltre, se vale la relazione (1.3), ci chiediamo se è possibile integrare termine a termine, vale a dire, assegnati due punti a e b in E, se vale la relazione b ( b ) b f(x)dx = f n (x)dx = f n (x)dx. a a La risposta a queste domande è, in generale, negativa. Vediamo un esempio a riguardo delle prime due di esse. Esempio 1.6 Consideriamo, nell intervallo I = ( π,π), la serie di funzioni ( ) 4 sin 3x sin 5x sin x = 4 sin(2n + 1)x. π 3 5 π 2n + 1 Si tratta di funzioni di classe C (I) e quindi, in particolare, continue e derivabili; si può dimostrare (come faremo tra breve, trattando le serie di Fourier) che questa serie di funzioni converge puntualmente alla funzione 1 se π < x < 0 g(x) = 0 se x = 0 1 se 0 < x < π che nell origine non è continua e, quindi, neppure derivabile. Per rispondere positivamente alle domande che ci siamo posti, è necessario introdurre un nuovo concetto di convergenza: quello di convergenza totale. Definizione 1.7 Sia {f n (x)}, con n IN, una successione di funzioni definite nell intervallo I IR. Diciamo che la serie di funzioni f n (x) converge totalmente in I se: 1. si ha che f n (x) a n per ogni x I e per ogni n IN; 2. la serie numerica a n è convergente. La convergenza totale è più forte della convergenza puntuale: se una serie converge totalmente in I allora converge anche puntualmente in ogni punto di I, ma non vale il viceversa. Infatti, fissato x I la serie f n ( x) è convergente: è sufficiente applicare la condizione 1. nel punto x e il criterio del confronto per le serie numeriche tenendo conto della condizione 2. La serie f n ( x) è assolutamente convergente e quindi convergente. D altra parte esistono serie che convergono in ogni punto di un intervallo, ma non convergono totalmente in tale intervallo. a

5 1.1 Serie di funzioni 5 Esempio 1.8 Consideriamo la serie geometrica x n nell intervallo I = ( 1,1). Sappiamo che questa serie converge puntualmente in I; non c è però convergenza totale. Infatti per applicare la seconda condizione della Definizione 1.7 dovremmo determinare una successione a n, tale che 1. sia x n a n per ogni x ( 1,1) e per ogni n IN; 2. la serie numerica a n sia convergente. Questo è impossibile, perché la migliore maggiorazione che possiamo ottenere nell intervallo ( 1,1) è x n 1 e la serie 1 è divergente. L ipotesi di convergenza totale ci consente di risolvere il problema della continuità della funzione somma di funzioni continue e della derivabilità della funzione somma di funzioni derivabili. Vale infatti il seguente teorema. Teorema 1.9 Sia f n (x) una serie totalmente convergente di funzioni definite in un intervallo I IR e sia f(x) la sua somma; 1. se le funzioni f n (x) sono continue in I allora anche la funzione somma f(x) è continua in I; 2. se le funzioni f n (x) sono derivabili in I e la serie delle derivate f n (x) converge totalmente in I, allora anche la funzione f(x) è derivabile in I e la sua derivata può essere calcolata derivando termine a termine: [ f (x) = f n (x)] = f n(x). Nell ipotesi di convergenza totale è possibile anche integrare termine a termine; infatti vale il seguente teorema. Teorema 1.10 Sia f n (x) una serie totalmente convergente di funzioni continue in un intervallo I IR e sia f(x) la sua somma; comunque scelti a e b in I si ha che b ( b ) b f(x)dx = f n (x)dx = f n (x)dx. a a a

6 6 1 Serie di funzioni Esempio 1.11 Consideriamo la serie di funzioni Poiché per ogni x reale si ha sin nx n 3. (1.6) sin nx n 3 1 n 3, 1 la serie (1.6) è maggiorata dalla serie convergente 3 e quindi converge totalmente in n IR; indichiamo con f(x) la sua somma. Essendo le funzioni f n (x) continue in IR, grazie alla prima parte del Teorema 1.9, possiamo concludere che la funzione f(x) è continua in IR. Per dimostrare la derivabilità di f(x), dopo aver osservato che le funzioni f n (x) sono derivabili in IR, verifichiamo (con un procedimento analogo a quello appena utilizzato) la convergenza totale della serie delle derivate cos nx n 2. Applicando la seconda parte del Teorema 1.9, possiamo concludere che la funzione f(x) è derivabile in IR e che f cos nx (x) = n 2. Esempio 1.12 La serie di funzioni ( 1) n xn n 2 (1.7) converge totalmente in [ 1,1]; detta f(x) la sua somma, utilizzando il Teorema ( 1 ) ( f(x)dx = ( 1) n xn ) n 2 dx = ( 1) n xn 0 n 2 dx = = [( 1) n x n+1 ] 1 n 2 = ( 1) n 1 (n + 1) n 2 (n + 1). Osservazione 1.13 Mentre la definizione di convergenza puntuale di una serie di funzioni è abbastanza facile da capire dal punto di vista intuitivo, non altrettanto si può dire di quella di convergenza totale. Per interpretarla graficamente consideriamo una serie di funzioni f n (x) che converge totalmente alla funzione f(x), per x I. Consideriamo la somma parziale k-esima della serie; per la definizione di convergenza totale, si ha 0

7 1.1 Serie di funzioni 7 k f(x) f n (x) = f n (x) f n (x) a n. n=k+1 n=k+1 n=k+1 L ultima serie è il resto k-esimo della serie convergente a n e quindi tende a zero per k. La catena di disuguaglianze precedenti ci assicura quindi che, fissata una quantità ɛ > 0, pur di scegliere opportunamente l indice k, si ha la condizione k f(x) f n (x) < ɛ, x I. Dal punto di vista geometrico: fissato ɛ > 0, pur di scegliere opportunamente l indice k, il grafico della ridotta k-esima di una serie totalmente convergente è contenuto nella striscia compresa tra f(x) ɛ e f(x) + ɛ. Nella Figura 1.1 si vede un esempio di convergenza totale (la serie ( 1) n x2n = e x2 n! che converge totalmente in [ 1,1]) mentre nella Figura 1.2 è mostrato un esempio di serie che converge puntualmente, ma non totalmente (la serie ( 1) n x 2n = 1 x che converge puntualmente in ( 1,1)). PSfrag replacements Figura y 1 s(x) s 1 (x) s 2 (x) s 4 (x) x s 3 (x) Sono rappresentate le funzioni s(x) = e x2 e le ridotte s 1 (x) = 1 x 2, s 2 (x) = 1 x 2 + x4 2, s 3(x) = 1 x 2 + x4 2 x6 3!, s 4(x) = 1 x 2 + x4 2 x6 3! + x8 4!

8 8 1 Serie di funzioni PSfrag replacements 1 y s 4 (x) s 3 (x) s(x) 1 s 2 (x) s 1 (x) 1 Figura 1.2 Sono rappresentate le funzioni s(x) = x e le ridotte s 1(x) = 1 x 2, s 2 (x) = 1 x 2 + x 4, s 3 (x) = 1 x 2 + x 4 x 6, s 4 (x) = 1 x 2 + x 4 x 6 + x Serie di potenze Assegnati una successione {a n } di numeri reali e un punto x 0 dell asse reale si dice serie di potenze la serie di funzioni a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n +... = a n (x x 0 ) n. (1.8) Il punto x 0 viene detto centro della serie e i numeri a n coefficienti della serie. In particolare concentriamo la nostra attenzione sulle serie di potenze con centro nell origine, che hanno la forma x a n x n. (1.9) Le definizioni e i risultati che seguono sono riferiti alle serie centrate nell origine; per adattarli al caso generale è sufficiente operare la sostituzione y = x x 0. Alle serie di potenze possono essere applicate le definizioni di convergenza che abbiamo introdotto nel paragrafo precedente; le ricordiamo, applicandole alle serie di potenze. Definizione 1.14 Assegnato un punto x 1 si dice che la serie (1.9) converge puntualmente in x 1 se risulta convergente la serie a n x n 1 ; converge assolutamente in x 1 se risulta convergente la serie a n x n 1. Assegnato un intervallo I si dice che la serie (1.9) converge totalmente in I se esiste una serie numerica convergente M n tale che a n x n M n, per ogni x I e per ogni n IN.

9 1.2 Serie di potenze 9 Ricordiamo che la convergenza totale in un intervallo implica la convergenza assoluta e quindi quella puntuale in ogni punto dell intervallo stesso. L insieme di convergenza Assegnata la serie di potenze (1.9) si pone il problema di determinare il suo insieme di convergenza; a differenza di quanto visto per le serie di funzioni in generale, possiamo ottenere risultati molto precisi a questo riguardo. Innanzitutto, l insieme di convergenza di una serie di potenze non è mai vuoto; infatti è immediato notare che la serie (1.9) converge nel suo centro x = 0. Prima di affrontare il problema della convergenza in punti diversi dall origine, esaminiamo alcuni esempi. Esempio 1.15 Consideriamo la serie di potenze, detta serie esponenziale, x n n! (1.10) e fissiamo un punto x 1 0. Studiamo la convergenza assoluta in x 1, vale a dire il comportamento di x 1 n. n! Per questa serie numerica a termini positivi possiamo utilizzare il criterio del rapporto; si tratta di calcolare il limite lim n x 1 n+1 n! (n + 1)! x 1 = lim n n x 1 n + 1 = 0. Il risultato è indipendente dal punto scelto; possiamo concludere che la serie (1.10) converge assolutamente (e quindi puntualmente) in ogni punto dell asse reale. Esempio 1.16 Consideriamo la serie di potenze, n!x n (1.11) e studiamo la convergenza assoluta in x 1 0. Utilizzando ancora il criterio del rapporto calcoliamo il limite lim n (n + 1)! x 1 n+1 n! x 1 n = lim (n + 1) x 1 = +. n La serie (1.11) non converge assolutamente in alcun punto dell asse reale, eccetto l origine. Può restare il dubbio che la serie converga semplicemente per x < 0, dove è una serie a segni alterni. Per dimostrare che questo non avviene basta fare vedere che il valore assoluto del termine generale della serie non tende a zero per n. La successione n n! x 1 n è a termini positivi ed è (almeno a partire da un certo punto in poi) monotona crescente e quindi non può tendere a zero. Infatti la disuguaglianza (n + 1)! x 1 n+1 > n! x 1 n

10 10 1 Serie di funzioni equivale alla disuguaglianza che è verificata almeno da un certo valore n 0 in poi. n + 1 > 1 x 1 Possiamo quindi concludere che la serie (1.11) converge solo per x = 0. Esempio 1.17 Consideriamo la serie di potenze, detta serie logaritmica, x n n. (1.12) Fissiamo x 1 0 e studiamo la convergenza assoluta, utilizzando il criterio della radice. Calcoliamo il limite x 1 lim n = x 1. n n Quindi la serie (1.12) converge assolutamente per x 1 < 1; per x 1 = 1 si riduce alla serie armonica (e quindi diverge), mentre per x 1 = 1 si riduce alla serie armonica a segni alterni, che converge semplicemente, ma non assolutamente. Con considerazioni analoghe a quelle dell esempio precedente si può far vedere che la serie non converge per x > 1 in quanto il suo termine generale non tende a zero. Possiamo concludere che la serie di potenze (1.12) converge nell intervallo [ 1,1). Esempio 1.18 Consideriamo la serie x n n 2. (1.13) Questa serie converge totalmente nell intervallo [ 1,1], essendo maggiorata, in tale intervallo, dalla serie convergente 1 2. Al di fuori di [ 1,1] non converge, in quanto il suo n termine generale non è infinitesimo. L insieme di convergenza della serie (1.13) è quindi l intervallo [ 1,1]. Gli esempi appena visti riassumono le possibili situazioni che si presentano: il comportamento di una serie di potenze è determinato dalla proprietà presentata nel seguente teorema. Teorema 1.19 Si consideri la serie di potenze (1.9) e due punti x 1 0 e x 2 0. Allora se la serie converge in x 1, allora essa converge assolutamente per tutti i punti x tali che x < x 1 ; se la serie non converge in x 2, allora essa non converge in tutti i punti x tali che x > x 2.

11 1.2 Serie di potenze 11 Dimostrazione Supponiamo che la serie converga in x 1 0; consideriamo un punto x 0, tale che x < x 1. Si ha che a n x n = a n x n 1 xn x n 1 = a nx n x n x 1 M n. L ultima disuguaglianza è giustificata dal fatto che la serie converge, per ipotesi, nel punto x 1 ; il suo termine generale è quindi infinitesimo e la quantità a n x n 1 è limitata. La disuguaglianza che abbiamo ottenuto ci dice che il termine generale della serie è maggiorato da quello della serie a n x n x M n, x 1 che è una serie geometrica di ragione minore di uno e quindi converge. Il criterio del confronto ci permette di concludere che la serie (1.9) è assolutamente convergente per ogni x tale che x < x 1. Per dimostrare la seconda parte, basta osservare che, per la prima parte del teorema, se la serie convergesse in x tale che x > x 2, allora dovrebbe convergere anche nel punto x 2, contrariamente all ipotesi. Osservazione 1.20 Si osservi che nel teorema precedente la convergenza (o la non convergenza) della serie in x 1 non fornisce nessuna informazione sul comportamento della serie nel punto x 1. Osservazione 1.21 Il teorema precedente si può interpretare intuitivamente dicendo che la convergenza in un punto x 1 0 ci fa guadagnare la convergenza in tutti i punti dell intervallo di centro l origine di cui x 1 è un estremo, mentre la non convergenza in x 2 0 ci fa perdere la convergenza nelle due semirette x > x 2. Nella determinazione dell insieme di convergenza di una serie di potenze, dal punto di vista operativo, ci troviamo quindi di fronte a questa casistica: 1. non si ha la convergenza per nessun x 1 0; 2. si ha la convergenza in un x 1 0; allora possiamo provare con un valore maggiore (in modulo) e ampliare l intervallo di convergenza; e anche qui abbiamo due casi: (1) possiamo verificare che c è convergenza per una successione di punti che diventa arbitrariamente grande in modulo (e quindi c è convergenza in tutto l asse reale) oppure x 1 x 1

12 12 1 Serie di funzioni (2) a un certo punto troviamo un valore per cui la serie non converge; allora necessariamente la convergenza è limitata a un intervallo. Possiamo concludere affermando che si presentano tre possibili situazioni per la convergenza di una serie di potenze: la serie converge solo in x = 0; la serie converge all interno di un intervallo ( R,R) e non converge per x > R e per x < R; la serie converge in ogni punto dell asse reale. Per descrivere queste tre situazioni si introduce il concetto di raggio di convergenza della serie di potenze. Definizione 1.22 Il raggio di convergenza R della serie (1.9) è l estremo superiore dell insieme dei numeri reali in cui la serie converge: R = sup{x IR : a n x n converge}. Se è noto il raggio di convergenza, sono note le principali caratteristiche della serie di potenze; infatti vale il seguente risultato. Teorema 1.23 Se la serie (1.9) ha raggio di convergenza R, allora 1. Se R = 0 la serie converge solo per x = Se R > 0 allora la serie converge assolutamente in ( R, R) e converge totalmente in ogni intervallo [a, b] ( R, R). 3. Se R = + allora la serie converge assolutamente per ogni x reale e converge totalmente in ogni intervallo [a, b]. Osservazione 1.24 Se la serie di potenze è centrata in x 0 0 il teorema precedente può essere riformulato nei seguenti termini: 1. Se R = 0 la serie converge solo per x = x Se R > 0 allora la serie converge assolutamente in (x 0 R, x 0 + R) e converge totalmente in ogni intervallo [a, b] (x 0 R, x 0 + R). 3. Se R = + allora la serie converge assolutamente per ogni x reale e converge totalmente in ogni intervallo [a, b].

13 1.2 Serie di potenze 13 Determinazione del raggio di convergenza Il risultato precedente ci mostra l utilità della conoscenza del raggio di convergenza per la determinazione delle proprietà di una serie di potenze. Per questo motivo, è importante trovare dei metodi che permettano di calcolarlo, senza ricorrere allo studio diretto della convergenza della serie nei vari punti dell asse reale. A questo scopo, si hanno i seguenti teoremi. Teorema 1.25 (Criterio della radice) Data la serie di potenze (1.9), se esiste n lim a n = l allora R = 0 se l = + ; R = + se l = 0; R = 1/l se l è finito e non nullo. n Teorema 1.26 (Criterio del rapporto) Data la serie di potenze (1.9), se a n 0, n IN, ed esiste a n+1 lim = l n a n allora R = 0 se l = + ; R = + se l = 0; R = 1/l se l è finito e non nullo. Dimostriamo il primo teorema; la dimostrazione del secondo può essere svolta in modo analogo. Dimostrazione Applichiamo il criterio della radice per le serie numeriche alla serie a n x n. Abbiamo, per l ipotesi del teorema, n lim a n x n = l x ; n Se l = 0 il limite precedente è sempre nullo e quindi, sempre per il criterio della radice, la serie è assolutamente convergente per ogni x. Se invece l è infinito la serie non converge per nessun x diverso da zero. Se infine l è un numero reale si ha la convergenza assoluta se l x < 1, vale a dire se x < 1/l; non si ha invece convergenza se risulta l x > 1, cioè se x > 1/l.

14 14 1 Serie di funzioni Esempio 1.27 Determiniamo il raggio di convergenza della serie (n 2 + 1)x n. n! Conviene applicare il criterio del rapporto e calcolare a n+1 lim n a n (n + 1) n! = n lim n (n + 1)! = lim n 2 + 2n n n n + 1 = 0. Il raggio di convergenza della serie è quindi infinito. Esempio 1.28 Determiniamo il raggio di convergenza della serie n n x n n + 1. In questo caso conviene utilizzare il criterio della radice; si tratta di calcolare lim n n an = lim n = +, n + 1 n n in quanto il numeratore tende all infinito, mentre il denominatore tende a uno. La serie di potenze considerata ha quindi raggio di convergenza nullo. Esempio 1.29 Calcoliamo il raggio di convergenza della serie nx 4n 3. n Questo esempio mostra come in alcuni casi il teorema precedente non sia applicabile direttamente, ma richieda una sostituzione preliminare nella serie. Nella serie proposta compaiono solo le potenze di x con esponenti che sono multipli di 4. La successione dei coefficienti comprende dei valori nulli, ripetuti con legge periodica. In particolare essa risulta (a partire dal termine costante) 0,0,0,0,1/3,0,0,0,2/9,0,0,0,3/27,.... Il limite della radice non esiste, mentre quello del rapporto non ha senso per la presenza di coefficienti nulli. Per ovviare a questa difficoltà si può operare un cambiamento di variabile e porre z = x 4, per cui la serie assegnata si trasforma nella nz n 3, n il cui raggio di convergenza può essere determinato calcolando n n lim n 3 = 1 3 ; la serie nella variabile z converge per z < 3; sostituendo si ottiene che la serie assegnata converge per x 4 < 3, cioè per x < 4 3.

15 1.2 Serie di potenze 15 Operazioni sulle serie di potenze Vogliamo qui esaminare la possibilità di sommare e moltiplicare serie di potenze e determinare il raggio di convergenza delle serie ottenute. A riguardo della somma, si ha il seguente risultato. Teorema 1.30 Assegnate due serie di potenze Σ 1 = a n x n, Σ 2 = b n x n, con raggio di convergenza R 1 ed R 2 rispettivamente, si ha che la serie somma (a n + b n )x n ha raggio di convergenza maggiore o uguale al minimo tra R 1 ed R 2. Osservazione 1.31 Nel caso in cui R 1 ed R 2 siano diversi (ad esempio R 1 < R 2 ) allora la serie somma ha come raggio di convergenza proprio il minimo dei due. Infatti, preso un punto x 1 tale che R 1 < x < R 2 la serie Σ 1 non converge in x, mentre la serie Σ 2 converge; per i risultati visti sulle serie numeriche, la serie somma non è convergente. Nel caso in cui R 1 = R 2 si possono invece avere, fuori dall intervallo di convergenza, delle cancellazioni in modo tale che la somma converga. Esempio 1.32 Le serie ( ) 1 Σ 1 = n! + 1 x n, Σ 2 = ( ) 1 n! 1 x n, hanno entrambe R = 1. Sommandole si ottiene la serie che ha raggio di convergenza infinito. ( ) 2 Σ 1 = x n, n! Assegnate due serie di potenze si può definirne il prodotto, detto prodotto alla Cauchy, delle due serie. Teorema 1.33 Assegnate due serie di potenze a nx n, b nx n, con raggio di convergenza R 1 ed R 2 rispettivamente, si ha che la serie prodotto ( n ) a ib n i ha raggio di convergenza maggiore o uguale al minimo tra R 1 ed R 2. i=0 x n

16 16 1 Serie di funzioni Serie di potenze, derivazione e integrazione In questo paragrafo studiamo le relazioni che esistono tra le serie di potenze e le operazioni di derivazione e integrazione, applicando alle serie di potenze i risultati che abbiamo visto per le serie di funzioni. Definizione 1.34 Assegnata la serie di potenze si dice sua serie derivata la serie a n x n na n x n 1, ottenuta derivando formalmente termine a termine la serie. Vale il seguente teorema. Teorema 1.35 Una serie di potenze e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza. Applicando i Teoremi 1.23 e 1.9 e il teorema precedente, otteniamo il seguente importante risultato, che ci dice che la somma di una serie di potenze è una funzione molto regolare. Teorema 1.36 Sia a n x n una serie di potenze con raggio di convergenza R > 0 e sia f(x) la sua somma in ( R,R). Allora la funzione f(x) è derivabile con derivate continue di ogni ordine in ( R,R) (vale a dire f(x) C ( R,R)) e la derivata n-esima di f(x) può essere calcolata derivando termine a termine n volte la serie a n x n. Esempio 1.37 Sappiamo che vale la relazione 1 1 x = x n, per x < 1. Il teorema precedente ci dice la funzione f (x) = dx d 1 1 x = 1 (1 x) 2 ammette per x < 1 lo sviluppo ottenuto derivando termine a termine la serie geometrica nx n 1, mentre la funzione f (x) ammette lo sviluppo n(n 1)x n 2 e così via. n=2 Il Teorema 1.10 di integrazione termine a termine assume una forma particolarmente semplice, quando è applicato alle serie di potenze.

17 1.2 Serie di potenze 17 Teorema 1.38 Sia a n x n una serie di potenze con raggio di convergenza R > 0 e sia f(x) la sua somma in ( R,R). Allora, per ogni x ( R,R), vale la relazione x ( x ) ( x ) f(t)dt = a n t n dt = a n t n a n x n+1 dt = n + 1. Esempio 1.39 Dalla relazione con la sostituzione z = x si ha 1 1 z = z n, per z < 1, x = ( x) n = ( 1) n x n, per x < 1. Applicando il teorema precedente otteniamo lo sviluppo della funzione log(1 + x): x ( 1 x ) log(1 + x) = t dt = ( x ) ( 1) n t n dt = ( 1) n t n dt 0 0 = ( 1) n xn+1, per x < 1. n + 1 Invece, con la sostituzione z = x 2, risulta x = ( x 2 ) n = 2 ( 1) n x 2n, per x < 1. Procedendo come prima, otteniamo lo sviluppo della funzione arcotangente: x ( 1 x ) arctan x = t dt = ( x ) ( 1) n t 2n dt = ( 1) n t 2n dt = ( 1) n x2n+1, per x < 1. 2n + 1 Osservazione 1.40 Il teorema specifica che i raggi di convergenza coincidono, ma non dice niente sul comportamento della serie agli estremi dell intervallo di convergenza. Si può, in modo impreciso, affermare che l operazione di derivazione può peggiorare il comportamento della serie agli estremi, mentre l operazione di integrazione lo può migliorare. La serie Σ 1 = ( 1) n xn+1 = log(1 + x) n + 1 e la sua serie derivata Σ 2 = ( 1) n x n = x ;

18 18 1 Serie di funzioni entrambe hanno raggio di convergenza uguale a uno. La serie Σ 1 converge in ( 1,1], mentre la Σ 2 converge in ( 1,1). 1.3 Serie di Taylor Nel paragrafo precedente abbiamo studiato le serie di potenze dal punto di vista formale, determinando le loro proprietà. Non abbiamo discusso in generale la relazione che esiste tra una serie di potenze e la sua somma. Ci siamo limitati a determinare esplicitamente la somma della serie geometrica e di alcune serie che da essa possono essere ricavate. Ora ci chiediamo se, in generale, data una funzione, sia possibile determinarne lo sviluppo in serie di potenze in un intervallo e, in caso affermativo, quale sia il procedimento per determinare questa serie. Il Teorema 1.36 fornisce una prima indicazione: poiché la somma di una serie di potenze è una funzione di classe C ( R,R) abbiamo che: condizione necessaria perché una funzione sia sviluppabile in serie di potenze in un intervallo è che sia di classe C in tale intervallo. Possiamo enunciare un primo risultato, che mette in relazione i coefficienti dello sviluppo in serie con le derivate della funzione somma della serie. Teorema 1.41 Sia f(x) C ( R,R) e supponiamo che in (x 0 R, x 0 + R) valga la relazione f(x) = a n (x x 0 ) n. Allora risulta che a n = f (n) (x 0 ), n IN. (1.14) n! Dimostrazione La dimostrazione di questo teorema è una conseguenza del Teorema Infatti dalle relazioni f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n +... f (x) = a 1 (x x 0 ) + 2a 2 (x x 0 ) na n (x x 0 ) n f (x) = 2a a 3 (x x 0 ) n(n 1)a n (x x 0 ) n f (n) (x) = n!a n + (n + 1)!a n+1 (x x 0 ) +... ponendo x = x 0 si ottengono la (1.14). Poiché si può dimostrare che se una funzione ammette uno sviluppo in serie di potenze, tale sviluppo è unico, possiamo concludere che: se una funzione di classe C ammette uno sviluppo in serie di potenze in un intervallo centrato in x 0 allora tale sviluppo è necessariamente della forma f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. (1.15) n!

19 1.3 Serie di Taylor 19 Data una funzione f(x) C (x 0 R, x 0 + R), possiamo calcolarne le derivate di ogni ordine in x 0 e costruire la serie (1.15); affinché questa serie rappresenti la f(x) almeno in un intorno (x 0 δ, x 0 + δ) di x 0 devono però verificarsi altre due condizioni: 1. la serie (1.15) deve essere convergente in (x 0 δ, x 0 + δ); 2. in tale intervallo la sua somma deve essere uguale a f(x). Queste due condizioni non sono sempre verificate. Esempio 1.42 Consideriamo la funzione: { h(x) = e 1/x 2 se x 0 0 se x = 0. Si può dimostrare che questa funzione è continua, con le sue derivate di ogni ordine, su tutto l asse reale e che tutte le derivate nell origine sono nulle. La serie (1.15) di h(x) centrata nell origine è quindi la serie identicamente nulla; questa serie ovviamente converge in tutto l asse reale, ma la sua somma non coincide con la funzione h(x) in nessun punto, tranne l origine. Introduciamo una definizione per le funzioni per cui le condizioni precedenti sono verificate. Definizione 1.43 Una funzione f(x) C (x 0 δ, x 0 + δ) si dice analitica oppure sviluppabile in serie di Taylor nel punto x 0 se la serie (1.15) converge in un intorno (x 0 δ, x 0 + δ) di x 0 e se per ogni x (x 0 δ, x 0 + δ) si ha f (n) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) n. (1.16) n! La serie (1.15) si chiama serie di Taylor della funzione f(x) centrata in x 0 e i numeri f (n) (x 0 ) sono detti coefficienti di Taylor della f(x) in x n! 0. Se x 0 = 0, la (1.15) è detta anche serie di McLaurin. Come abbiamo visto, la condizione f(x) C (x 0 δ,x 0 + δ) non è sufficiente ad assicurarci che f(x) sia sviluppabile in serie di Taylor in x 0 ; solo ulteriori condizioni sulla f(x) assicurano la sviluppabilità. Senza entrare nei dettagli di questo discorso, possiamo comunque capire quali possano essere queste condizioni con le seguenti considerazioni. Le somme parziali di ordine k della (1.15) non sono altro che i polinomi di Taylor P f,k,x0 (x) della funzione f(x) nel punto x 0 di ordine k. Il polinomio di Taylor approssima la funzione f(x) a meno di un resto, che indichiamo con R f,k,x0 (x): k f (n) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) n + R f,k,x0 (x). n!

20 20 1 Serie di funzioni La convergenza della serie di Taylor (1.15) alla funzione f(x) significa che ( k f (n) ) (x 0 ) lim f(x) (x x 0 ) n = 0, k n! vale a dire lim R f,k,x 0 (x) = 0 k x (x 0 δ, x 0 + δ). Esprimiamo il resto R f,k,x0 (x) nella forma di Lagrange; la condizione precedente diventa lim R f (k+1) (c) f,k,x 0 (x) = lim k k (k + 1)! (x x 0) k+1 dove c è un punto dell intervallo (x 0 δ, x 0 + δ); in tale intervallo x x 0 < δ e quindi possiamo eseguire la seguente maggiorazione: f (k+1) (c) (k + 1)! (x x 0) k+1 f (k+1) δ k+1 (c) (k + 1)!. (1.17) Il quoziente δ k+1 0 per k ; affinché l intera espressione (1.17) tenda a (k + 1)! zero è quindi sufficiente che le derivate successive non crescano troppo rapidamente nell intervallo (x 0 δ, x 0 + δ). Questa condizione è verificata, in particolare, quando le derivate sono maggiorate in modulo da una costante in tutto l intervallo considerato, come avviene negli esempi seguenti. Esempio 1.44 Mostriamo che la funzione f(x) = e x è sviluppabile in serie di McLaurin con raggio di convergenza infinito. Fissiamo un punto x e scegliamo un intervallo [ M,M] che contiene x. Scriviamo la formula di Taylor con il resto di Lagrange: k e x x n = n! + x k+1 ec (k + 1)! dove c è un punto dell intervallo [ M,M]. In tale intervallo e c e M e x M; quindi possiamo maggiorare il resto: x k+1 k+1 M ec em (k + 1)! (k + 1)!. Questa quantità tende a zero per k, per cui la somma della serie coincide con e x nel punto x. Il ragionamento può essere ripetuto per ogni x reale, scegliendo un M opportuno; concludiamo dunque che vale il seguente sviluppo di McLaurin su tutto IR e x x n = n!.

21 1.3 Serie di Taylor 21 Con un ragionamento analogo si dimostra che la funzione esponenziale è sviluppabile in serie di Taylor con centro in un punto x 0 0 e raggio di convergenza infinito. Dallo sviluppo di McLaurin dell esponenziale si ottengono immediatamente i seguenti sviluppi, validi anch essi in tutto l asse reale: cosh x = x 2n (2n)!, sinh x = x 2n+1 (2n + 1)!. Esempio 1.45 Mostriamo che la funzione f(x) = sin x è sviluppabile in serie di McLaurin con raggio di convergenza infinito. Come nell esempio precedente, fissiamo un punto x e un intervallo [ M,M] che contiene x. La formula di Taylor con il resto di Lagrange è: k sin x = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! + x 2k+3 ( 1)k+1 (2k + 3)! g(c) dove con g(c) abbiamo indicato la derivata di ordine k + 1 della funzione seno nel punto c; essa ha quattro possibili valori: sin c, sin c, cos c e cos c; in ogni caso si tratta di una quantità minore di uno in modulo. Possiamo quindi maggiorare il resto: x 2k+3 ( 1)k+1 (2k + 3)! g(c) M 2k+3 k 0. (2k + 3)! Per l arbitrarietà di x, concludiamo che vale su tutto l asse reale il seguente sviluppo sin x = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!. Con considerazioni analoghe si dimostra che la funzione coseno ammette il seguente sviluppo cos x = ( 1) n x2n (2n)!, x IR. Esempio 1.46 Vogliamo studiare lo sviluppo della funzione f(x) = ( 1 + x ) α. Osserviamo che se α IN, la funzione f(x) si riduce ad un polinomio; se α / IN, essa è sviluppabile in serie di McLaurin con raggio di convergenza R = 1. Vale, infatti, l uguaglianza ( ) ( ) α α 1 + x = x n, x ( 1,1), n dove ( ) α α(α 1)... (α n + 1) =. n n! La serie appena considerata viene detta serie binomiale.

22 22 1 Serie di funzioni Osservazione 1.47 Nello studio degli integrali indefiniti si è osservato che esistono delle funzioni elementari le cui primitive non possono essere espresse elementarmente. In alcuni casi, primitive di questo tipo assumono grande importanza applicativa, ad esempio in elettronica, in ottica o nel calcolo delle probabilità. Vediamo alcuni esempi: 1. la funzione seno integrale di x, Si(x), che è definita come Si(x) = x 0 sin t dt; t 2. la funzione degli errori, Erf(x), che è definita come Erf(x) = 2 x exp( t 2 )dt; π 3. la funzione integrale di Fresnel, S(x), che è definita come ( ) x πt 2 S(x) = sin dt. 0 2 Queste funzioni possono essere espresse come serie di potenze. Ad esempio, scriviamo lo sviluppo in serie di potenze della funzione Si(x) e calcoliamo Si(1) con un errore minore di Partiamo dallo sviluppo della funzione seno, che sappiamo essere convergente per ogni z reale: ( 1) n z 2n+1 sin z =. (2n + 1)! Scrivendo questo sviluppo nella variabile t e dividendo per t otteniamo: sin t = 1 t t ( 1) n t 2n+1 = (2n + 1)! 0 ( 1) n t 2n (2n + 1)!. Integriamo per serie (l operazione è senz altro possibile, perché lo sviluppo precedente ha raggio di convergenza infinito): x ( sin t x ( 1) n t 2n ) ( x ( 1) n t 2n ) Si(x) = dt = dx = 0 t 0 (2n + 1)! 0 (2n + 1)! dt [ ( 1) n t 2n+1 ] x ( 1) n x 2n+1 = = (2n + 1)!(2n + 1) (2n + 1)!(2n + 1). 0 Questo sviluppo ha raggio di convergenza infinito. Per calcolare Si(1), valutiamo la serie che abbiamo ottenuto per x = 1; otteniamo una serie numerica a segni alterni ( 1) n (2n + 1)!(2n + 1) = 1 1 3! !

23 1.3 Serie di Taylor 23 Affinché l errore sia minore di 10 3, per il Criterio di Leibniz, è sufficiente fermarci al terzo termine. Infatti il primo termine trascurato è minore di 10 3, poiché risulta 7!

24 24 1 Serie di funzioni 1.4 Esercizi svolti Esercizio 1.1 Data la serie di funzioni exp( nx), (1.18) determinarne l insieme di convergenza e verificare che essa converge totalmente in J = [1, + ). Soluzione Con la sostituzione z = exp( x) siamo ricondotti alla serie geometrica z n, che converge per 1 < z < 1. La serie (1.18) converge quindi per 1 < exp( x) < 1, cioè per x I = (0, + ). Nell insieme J I la serie converge puntualmente; per verificare la convergenza totale, osserviamo che in J si ha che exp( nx) exp( n) e che la serie exp( n) è convergente; sono quindi soddisfatte le ipotesi che ci permettono di concludere che la serie converge totalmente in J. Esercizio 1.2 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie Soluzione x n (n 2 + 2)2 n. (1.19) Per la determinazione del raggio di convergenza utilizziamo il criterio del rapporto, calcolando (n 2 + 2)2 n 1 n lim = lim n ((n + 1) 2 + 2)2n+1 n 2 n 2 + 2n + 3 = 1 2. Il raggio di convergenza è quindi R = 2. Nel punto x = 2 la serie (1.19) si riduce a 1 (n 2 + 2), che converge (è equivalente a 1/n 2 ), mentre per x = 2 abbiamo la serie ( 1) n (n 2 + 2),

25 1.4 Esercizi svolti 25 che è (assolutamente) convergente. Quindi la serie (1.19) converge in [ 2,2]. Esercizio 1.3 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie Soluzione n + 1 n + 2 Con la sostituzione z = x 3 ci riconduciamo alla serie n + 1 z n n n Applichiamo il criterio del rapporto, calcolando n + 2 n n lim n n + 3 n = 1 n+1 3. x 3n 3 n. (1.20) La serie (nella variabile z) ha raggio di convergenza R z = 3; quindi converge per z < 3; ricordando la sostituzione fatta, la serie (1.20) converge per x 3 < 3, cioè per x < 3 3. Ponendo nella (1.20) x = 3 3, otteniamo la serie numerica n + 1 n + 2, che non converge in quanto il suo termine generale non tende a zero (condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche). Ponendo invece nella (1.20) x = 3 3, otteniamo la serie numerica ( 1) n n + 1 n + 2 ; anche questa serie non converge in quanto il suo termine generale non ammette limite (per n pari la successione dei suoi termini tende a 1, mentre per n dispari tende a -1). L insieme di convergenza della (1.20) è quindi ( 3 3, 3 3). Esercizio 1.4 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie dove a è un numero reale positivo. x n n a, (1.21)

26 26 1 Serie di funzioni Soluzione Determiniamo il raggio di convergenza con il criterio della radice. Dobbiamo calcolare lim n 1 n. n a Possiamo scrivere n n a =n a/n = exp a ln n. Ricordando che n lim n ln n n = 0 abbiamo che a ln n 0 e quindi exp a ln n 1. Il raggio di convergenza della (1.21) è n n quindi R = 1 per ogni valore a > 0. Studiamo il comportamento nell estremo x = 1; la serie 1 n a converge se a > 1 e non converge se a 1, Sostituendo x = 1, abbiamo la serie a segni alterni ( 1) n. n a Questa serie è convergente per ogni valore di a > 0, per il criterio di Leibniz. Infatti la successione {1/n a } è decrescente e infinitesima. L insieme di convergenza della (1.21) è quindi [ 1,1) se a 1 e [ 1,1] se a > 1. Esercizio 1.5 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie Soluzione x n! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x (1.22) La successione dei coefficienti (sempre a partire dal termine costante) è 0,1,1,0,0,0,1,0,0,...,0,1,0,0,0,..., dove gli zeri non si ripetono con regolarità ma in blocchi sempre più grandi all aumentare di n. Non è quindi possibile operare una sostituzione z = x k allo scopo di ottenere una serie con coefficienti non nulli. Per studiare l insieme di convergenza della serie assegnata bisogna procedere direttamente. È immediato osservare che la serie diverge in x = 1 e in x = 1, mentre converge

27 1.4 Esercizi svolti 27 per x < 1. Infatti se x < 1 possiamo affermare che x n! = x + x 2 + x x + x 2 + x 3 + x 4 + x ; la serie maggiorante è la serie geometrica presa in modulo, che sappiamo essere convergente per x < 1. Dal criterio del confronto discende l assoluta convergenza della (1.22), che ha quindi raggio di convergenza uguale a uno e insieme di convergenza ( 1,1). Esercizio 1.6 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie Soluzione (2x 1) n 3 n + 1. (1.23) La serie assegnata non è della forma (1.8); per ricondurla a questa forma scriviamo (2(x 1/2)) n = 3 n n (x 1/2) n. 3 n + 1 Con la sostituzione z = x 1/2 ci riconduciamo a una serie centrata nell origine: 2 n z n 3 n + 1. Il raggio di convergenza di questa serie è R = 3/2, come si verifica con il criterio del rapporto; agli estremi dell intervallo la serie diverge (in entrambi i casi si ottiene una serie il cui termine generale non è infinitesimo), per cui l insieme di convergenza risulta {z : 3/2 < z < 3/2}. Tenendo conto della sostituzione z = x 1/2 la (1.23) ha come insieme di convergenza {x : 1 < x < 2}. Esercizio 1.7 Determinare lo sviluppo in serie di Taylor delle seguenti funzioni, centrato nei punti indicati, indicandone il raggio di convergenza: a) f(x) = exp(1 x 2 ) x 0 = 0 b) g(x) = 1 2x 3 x 0 = 0 c) h(x) = ln(1 + x) x 0 = 1

28 28 1 Serie di funzioni Soluzione a) Poiché f(x) = exp(1) exp( x 2 ), utilizzando lo sviluppo della funzione esponenziale exp(z) = z n e operando la sostituzione z = x 2, otteniamo ( x 2 ) n ( 1) n x 2n f(x) = exp(1) = exp(1). n! n! La serie esponenziale converge per ogni z reale e quindi la serie data converge per ogni x reale. b) Possiamo calcolare lo sviluppo di g(x), riconducendoci alla serie geometrica Scriviamo e sostituiamo z = 2x/3, ottenendo n! 1 1 z = z n, z < 1. (1.24) g(x) = 1 2x 3 = 1 3 ( ) = x 3 1 2x 3 3 g(x) = 1 ( ) 2x n = ( 2 n ) x n. 3 n Poiché la (1.24) converge per z < 1, tenendo conto della sostituzione effettuata, la serie che abbiamo ottenuto converge se 2x < 1, vale a dire per x < 3. È 3 2 immediato verificare che la serie non converge nei punti x = 3/2 e x = 3/2. c) Con la sostituzione t = x 1 ci riconduciamo allo sviluppo centrato in t 0 = 0 della funzione ln(2 + t), che scriviamo nella forma ( ( ln(2 + t) = ln t )) ( = ln 2 + ln 1 + t ). 2 2 Utilizzando lo sviluppo della funzione con la sostituzione z = t/2, otteniamo ( 1) n+1 z n ln(1 + z) =, z < 1 (1.25) n ( 1) n+1 t n ln(2 + t) = ln 2 +, n2 n

29 1.4 Esercizi svolti 29 che converge quando t/2 < 1, cioè quando t < 2, e infine ( 1) n+1 (x 1) n ln(1 + x) = ln 2 +. n2 n Questa serie converge se x 1 < 2, cioè nell intervallo ( 1,3). Nel punto x = 3 converge, in quanto si riduce alla serie armonica a segni alterni. Nel punto x = 1 si ottiene invece la serie che è divergente. Esercizio 1.8 ( 1) n+1 ( 1) n 2 n ( 1) 2n+1 ln 2 + = ln 2 + = ln 2 n2 n n Sviluppare in serie di McLaurin la funzione f(x) = 2x 8 x 2 8x n, precisando il raggio di convergenza. Utilizzare il risultato ottenuto per calcolare f (n) (0) per n generico. Soluzione Conviene decomporre la funzione f(x) in fratti semplici e sviluppare le due funzioni ottenute: 2x 8 f(x) = x 2 8x + 12 = 1 x x 2 = 1 6(1 x/6) + 1 2(1 x/2) Utilizzando la serie geometrica (1.24), con le sostituzioni z = x/6 e z = x/2, rispettivamente, otteniamo f(x) = 1 x n x n n 2 2 = x n n 6 x n n+1 2 = ( 1 n ) x n. n+1 2 n+1 Osserviamo che la prima serie ha raggio di convergenza R 1 = 6, mentre la seconda ha raggio R 2 = 2; quindi la serie somma ha raggio R = 2. Ricordando la formula dello sviluppo in serie di Taylor, si ha che e quindi f (n) (0) = 1 n! 6 1 n+1 2 n+1 f (n) (0) = n! n! 6n+1 2. n+1

30 30 1 Serie di funzioni Esercizio 1.9 Determinare l insieme di convergenza puntuale delle seguenti serie di funzioni: (1 x 2 ) n (2x 1) n a) ; b) n 3 n + 1 ; c) tan n x n ; d) Per ognuna di esser indicare (se possibile) un intervallo di convergenza totale. Soluzione a) Con la sostituzione z = 1 x 2 ci riconduciamo alla serie di potenze z n n, (x 2 + 1) n/2 3n che ha raggio di convergenza R z = 1 e converge in [ 1,1). La serie di funzioni converge allora per x tale che 1 1 x 2 < 1, vale a dire nell insieme [ 2,0) (0, 2]; osserviamo che questo insieme non è un intervallo. Un intervallo di convergenza totale è, ad esempio, un intervallo [a, b] con 0 < a < b < 2. b) Si tratta di un problema che abbiamo già trattato; vediamo qui un metodo alternativo di soluzione. Ponendo z = 2x 1 ci riconduciamo alla serie di potenze z n 3 n + 1, che converge per 3 < z < 3. La serie assegnata converge quindi per 3 < 2x 1 < 3, vale a dire per 1 < x < 2. Verifichiamo che si ha convergenza totale nell intervallo I = [0,1]. Tracciando il grafico della funzione y = 2x 1, si verifica che 2x 1 1 in I; possiamo quindi affermare che la serie (2x 1) n 3 n, maggiorata in I dalla serie convergente n, è totalmente convergente in I. + 1 c) Ponendo z = tan x, siamo ricondotti a studiare la serie di potenze z n n 2 + 1, che ha insieme di convergenza I = [ 1,1]. Quindi la serie di funzioni converge per 1 tan x 1, vale a dire per π/4 x π/4. Verifichiamo che la serie converge totalmente nell intervallo I = [ π/6,π/6]. In I si ha che tan x 1/ 3; quindi tan n x n (n 2 + 1)( 3) 1 n n

31 1.4 Esercizi svolti 31 d) Con la sostituzione z = x otteniamo la serie di potenze z n 3n 4 + 2, che converge in I = [ 1,1]. La serie di funzioni converge quindi per tutti gli x tali che 1 x Questa disuguaglianza è soddisfatta solamente per x = 0; l insieme di convergenza della serie di funzioni si riduce a un solo punto. Non esistono quindi intervalli di convergenza totale.

32 32 1 Serie di funzioni 1.5 Esercizi proposti 1. Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze: ( 1) n x n a) n 2 ; [R = 1, I = [ 1, 1]] (n + 5) 4 x n b) n! [R = ] c) n 2 (x 1) n [R = 1, I = (0, 2)] 3 n + 5 n d) 3 n + 7 n xn [R = 7/5, I = ( 7/5, 7/5)] n! e) 6 n + 2 xn [R = 0] n(x + 2) n f) 2 n [R = 2, I = ( 4, 0) ] + 1 g) ( 1) n x n 1 n n 2 [R = 1, I = ( 1, 1)] 5 n x 3n h) 2n(2n + 2) [R = 5 1/3, I = [ 5 1/3, 5 1/3 ]] i) ( 1) n 3n x 2n+1 n(n + 1) [R = 3 1/2, I = [ 3 1/2, 3 1/2 ]] l) ( 1) n 2n 1 + n2n x 1 + n 2 2 n [R = 1, I = [ 1, 1]]. 2. Data la serie di potenze con a parametro reale positivo, a n ln( n + 3 n + 2 )xn si determini a in modo che il suo raggio di convergenza valga 3; per il valore di a trovato si studi il comportamento della serie agli estremi dell intervallo di convergenza. [a = 1/3; per x = 3 la serie diverge, per x = 3 converge semplicemente] 3. Data la serie di potenze con b parametro reale positivo b n 1 sin( )x n n + 3

33 1.5 Esercizi proposti 33 si determini b in modo che il suo raggio di convergenza valga 2; per il valore di b trovato si studi il comportamento della serie agli estremi dell intervallo di convergenza. [b = 1/2; per x = 2 la serie diverge, per x = 2 converge semplicemente] 4. Il raggio di convergenza della serie a n x n è R = 5. Determinare il raggio di convergenza delle serie a) 3a n x 2n, b) a n x 4n+3. [a) R = 5, b) R = 4 5] 5. Sviluppare le seguenti funzioni in serie di McLaurin, indicando il raggio di convergenza degli sviluppi ottenuti. a) f(x) = sin(x 2 ( 1) n x 4n+2 ); [, R = ] (2n + 1)! b) f(x) = ln(1 + x 4 ); [ ( 1) n+1 x4n n, R = 1] c) f(x) = arctan(5x); [ ( 1) n 52n+1 x 2n+1 2n + 1, R = 1/5] d) f(x) = 2 3 5x ; [2 5 n x n n+1, R = 3/5] 3 e) f(x) = ln(2 + x 2 n+1 x2n ); [ln 2 + ( 1) n2 n, R = 2] f) x x 2 [ 1 (( 1) n 2 n )x n, R = 1] x 2 3 g) 3 2x (1 x) 2 [ (n + 3)x n, R = 1] h) log(x 2 ( 1) n 1 + 5x + 6) [ log 6 + ( 1 n 3 n n )xn, R = 2] 6. Sviluppare in serie di Taylor, con centro nei punti indicati seguenti funzioni, indicando l insieme I di convergenza degli sviluppi ottenuti. a) f(x) = 1 ; x x 0 = 2; n (x 2)n [ ( 1) 2 n+1, I = (0,4)] b) f(x) = 1 ; x x 0 = 3; (x + 3) n [ 3 n+1, I = ( 6,0)]

34 34 1 Serie di funzioni c) f(x) = x; x 0 = 1; [ I = (0,2)] d) f(x) = ln x 4 x x 0 = 1. [ ln 3 + ( ) 1/2 (x 1) n n, ( ( 1) n ) (x 1) n 2 3 n, I = (0,2]] n 7. Scrivere lo sviluppo in serie di potenze della funzione Erf(x) e calcolare Erf(1/2) e Erf(-1/2) con un errore minore di [Erf(x) = 2 ( 1) n π (2n + 1)n! x2n+1, Erf(1/2) 2 ( 12 1 π ), Erf(-1/2) = Erf(1/2), essendo la funzione Erf(x) dispari] 8. Scrivere lo sviluppo in serie di potenze della funzione S(x) e calcolare S(1/3) con un errore minore di [S(x) = ( 1) n π 2n+1 (2n + 1)!2 2n+1 (4n + 3) x4n+3, S(1/3) π/162] 9. Calcolare per serie con un errore minore di 10 3 i seguenti integrali. 1 sin x a) 0 x dx; [I = ( 1) n 1 (2n + 1)!(2n + 1) ] 1 b) cos(x 2 ( 1) n )dx; [I = 0 (2n)!(4n + 1) ] 1/2 ln(1 + x) c) dx. [I = ( 1) n x 2 n n ] 10. Determinare l insieme I di convergenza delle seguenti serie di funzioni, riconducendole, mediante un opportuna sostituzione a serie di potenze. a) ( 1) n e nx n 2 ; [e x = t, I = [0, + ) ] ln n x b) (n 2 + 1)2 n ; [ln x/2 = t, I = [e 2,e 2 ] ] c) (sin n x + cos n x). [Si studiano separatamente le due serie con sin x = t, cos x = t, I = IR \ {x = k π 2,k Z}]