Calcolo delle Probabilità e Statistica. Prova scritta del III appello - 7/6/2006

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1 Corso di Laura in Informatica - a.a. 25/6 Calcolo dll Probabilità Statistica Prova scritta dl III appllo - 7/6/26 Il candidato risolva i problmi proposti, motivando opportunamnt l propri rispost.. Sia p la funzion { c pr (x, y) E p(x, y) altrov dov c è una numro ral assgnato E è l insim E {(x, y) IR 2 : x IN, y IN, x y 2, x 5, y 5}. (a) Calcolar c in modo ch p sia una dnsità di probabilità (discrta). (b) Sia (X, Y ) una coppia di v.a. discrt avnti p com dnsità (con il valor di c calcolato in (a)). Calcolar l dnsità di X di Y. X Y sono indipndnti? (c) Posto U X + Y, V X Y, calcolar Cov(U, V ). (d) U V sono indipndnti? 2. Un azinda dl gas propon il sgunt contratto mnsil: l utnt paga una quota fissa di 3 uro s il consumo mnsil è infrior a 3 mtri cubi; pr consumi comprsi tra 3 3 mc, l utnt paga, oltr alla quota fissa, una quota pari a cntsimi pr ogni mtro cubo ccdnt la quota di 3; infin, s i consumi sono supriori ai 3mc, l ccdnza oltr i 3mc costrà all utnt 2 cntsimi pr mtro cubo. (a) Si dnoti con X il consumo di gas mnsil (sprsso in mtri cubi) di un gnrico utnt. Esprimr in funzion di X la spsa mnsil Y. (b) Supponiamo ch in un crto ms il consumo di gas abbia la sgunt dnsità continua: f(x) { pr x < λ 2 x λx pr x con λ.. Calcolar il consumo mdio. (c) Calcolar la probabilità ch in qul dato ms la spsa mnsil sia comprsa tra 7 uro. 3. Su una data popolazion è stata ffttuata una vaccinazion di massa contro l patit B, si vuol stimar la probabilità p ch un gnrico individuo non sia rimasto immunizzato dopo avrla sguita. A qusto scopo si scgli dalla popolazion un campion di n individui, il % di quali risultano non immuni. (a) Quanto dv ssr grand n affinché l intrvallo di fiducia bilatral pr p di livllo.95 dia una stima al ±%? (b) Com si può rispondr alla stssa domanda dl punto (a) s la prcntual di individui non immuni nl campion è stata calcolata mal si sa solo ch è comprsa tra il % il 5%?

2 Corso di Laura in Informatica - a.a. 25/6 Calcolo dll Probabilità Statistica Soluzioni dlla prova scritta dl III appllo - 7/6/26. (a) Affinché p(x, y) sia una dnsità, dovrà ssr (x,y) IR 2 p(x, y) (x,y) E p(x, y) (x,y) E c c card(e), da cui si ricava c /card(e) /9 (vd. la figura sottostant). (b) Pr motivi di simmtria, X Y hanno lo stsso insim di valori I(X) I(Y ) {, 2, 3, 4, 5} la stssa dnsità. Calcoliamo la dnsità di X. Si ha, pr not formul P (X x) y IR p(x, y) pr x {, 2, 3, 4, 5} mntr (vd. figura) in modo analogo P (X 2) P (X 4) P (X ) y IR p(, y) 4 y 5 y2 3 y , P (X 3) y , P (X 5) É facil vdr ch X Y non sono indipndnti: pr smpio si ha P (X, Y 4), y3 mntr P (X )P (Y 4) (c) Si ha Cov(U, V ) E[UV ] E[U]E[V ] E[(X + Y )(X Y )] E[X + Y ]E[X Y ] E[X 2 Y 2 ] (E[X] + E[Y ]) (E[X] E[Y ]) E[X 2 ] E[Y 2 ] ( E 2 [X] E 2 [Y ] ) VarX VarY dato ch X Y, avndo la stssa lgg, hanno la stssa varianza.

3 (d) U V non sono indipndnti: ad smpio, dato ch {U 3, V } {X+Y 3, X Y } {2X 3, X Y } {2X 3} {X 3/2}, si avrà P (U 3, V ) P (X 3/2), quindi anch P (U 3, V ). Invc (vd. figura) P (U 3) P (X, Y 2) + P (X 2, Y ) 2/9 P (V ) P (X Y ) P (X, Y ) + P (X 2, Y 2) + P (X 3, Y 3) + P (X 4, Y 4) + P (X 5, Y 5) 5/9, quindi P (U 3)P (V ) / (a) S X 3, si ha Y 3; s 3 < X 3, l utnt paghrà la quota fissa più il costo di mtri cubi ccdnti quindi Y 3 +.(X 3) 3 +.X 3.X; infin s X > 3, l utnt paghrà Y 3 +.(3 3) +.2(X 3) 3 +.2X 6.2X 3. Riassumndo: Y pr X 3 pr < X 3. X pr 3 < X 3.2 X 3 pr X > 3 (b) Il consumo mdio di gas è dato da E[X]. Prima di calcolar E[X] dobbiamo vrificar ch X ha spranza finita: x f(x)dx λ xλ 2 x λx dx x 2 λ λx dx λe[z 2 ] λ 2 x 2 λx dx dov Z è una v.a. con dnsità sponnzial di paramtro λ. Poiché sappiamo ch E[Z 2 ] < +, possiamo concludr ch X ha spranza finita. Inoltr E[X] xf(x)dx xλ 2 x λx dx λe[z 2 ] E[Z 2 ] Var(Z) + E[Z] 2 λ 2 + λ 2 2 λ 2 da cui sgu E[Z] λ 2 λ 2 2 λ 2.

4 (c) Dobbiamo calcolar la probabilità dll vnto B ( < Y < 7). S dfiniamo i tr vnti A ( < X 3), A 2 (3 < X 3), A 3 (X > 3), ottniamo una partizion (l vnto (X ) ha probabilità ). Si ha dunqu pr la lgg dll probabilità totali: P (B) P (B A )P (A ) + P (B A 2 )P (A 2 ) + P (B A 3 )P (A 3 ). Ossrviamo subito ch P (B A ). Pr quanto riguarda il scondo trmin: P (B A 2 ) P ( < Y < 7 3 < X 3) P ( <.X < 7 3 < X 3) P ( < X < 3) P ( < X < 7 3 < X < 3) P (3 < X < 3) quindi Infin: P (B A 2 )P (A 2 ) P ( < X < 3). quindi P (B A 3 ) P ( < Y < 7 X > 3) P ( <.2X 3 < 7 X > 3) P (3 < X < 5) P (2 < X < 5 X > 3) P (X > 3) Abbiamo dunqu ottnuto P (B A 3 )P (A 3 ) P (3 < X < 5). P ( < Y < 7) P ( < X < 3) + P (3 < X < 5) P ( < X < 5) P ( < X < 5) λ 5 Sostitundo λ. si ottin: f(x)dx [ x( λx ) 5 ] 5 5 λ λ 2 x λx dx λ ( λx )dx 5 5λ 5λ + λ λ + [ λx] 5 5λ 5λ + λ λ 5λ + λ x(λ λx )dx P ( < Y < 7) P ( < X < 5) (a) La formula dll intrvallo bilatral pr una proporzion dic ch la sua smiampizza è X( X). n φ α/2

5 Si chid dunqu di trovar n in modo tal ch valga la disguaglianza X( X)., n φ α/2 con i dati X., α.95 (da cui α/2.975, quindi φ α/2.96). Sostitundo risolvndo risptto a n, si trova la rlazion n 58.8, cioè n (58.8) Dato ch n è intro, dovrà ssr n (b) Ossrvando ch la funzion x x( x) è crscnt pr x [.,.5], pr X [.,.5] abbiamo φ α/2 X( X) n φ α/2.5(.5) n n.699 n. Quindi bastrà risolvr la disguaglianza.699 n., ch ha la soluzion n (69.98) , cioè n 4899.