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1 LEZIONE Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione Per ogni j 1,..., n indichiamo con e j la matrice in R n avente tutte le entrate nulle ad eccezione di quella j esima che vale 1. L insieme B (e 1,..., e n ) viene detto base canonica di R n. Si noti che la notazione e j è ambigua, in quanto bisogna specificare anche l ambiente dove si prende e j : l e j R n è diverso dall e j R m se n m (perché?). Se X (x 1,1,..., x n,1 ) R n allora X n j1 x j,1e j. Siano A j f(e j ) R m per j 1,..., n: definiamo allora A come la matrice m n avente A j come colonna j esima. Per ogni X (x 1,1,..., x n,1 ) R n risulta Y f(x) f( n x j,1 e j ) j1 n x j,1 f(e j ) j1 n x j,1 A j AX µ A (X), quindi f µ A come applicazioni. Si noti che tale matrice è univocamente determinata: infatti se A R m,n è un altra tale che f µ A, si ha A j f(e j ) A e j che è la j esima colonna di A, dunque A A. Abbiamo perciò dimostrato le prime tre affermazioni della seguente Proposizione Sia f: R n R m lineare. Allora: i) esiste unica A R m,n tale che f µ A ; ii) la colonna j-esima di A è A j f(e j ); iii) im(f) { Y R m t 1,..., t n : Y t 1 A t n A n }; iv) f è suriettiva se e solo se rk(a) m. Dimostrazione. Le prime tre affermazioni sono già state dimostrate. Rimane a dimostrare l ultima. Chiaramente f è suriettiva se e solo se ogni Y R m è in im(f), cioè se e solo se per ogni Y R m esistono t 1,..., t n R tali che j1 t 1 A t n A n Y, cioè se e solo se per ogni Y R m il sistema AT Y ha soluzioni T R n. Ciò accade se e solo se rk(a) rk(a Y ) per ogni Y R m. Se rk(a) m, chiaramente tale condizione è verificata. Viceversa sia rk(a) < m e sia A R m,n 1 Typeset by AMS-TEX

2 1.1. MATRICE DI UN APPLICAZIONE LINEARE una matrice ridotta per righe ottenuta da A con una fissata sequenza finita di operazioni elementari. Se rk(a) rk(a ) < m, allora A contiene una riga nulla, diciamo, per fissare le idee, quella di indice i: allora rk(a ) < rk(a e i ). Applicando ad (A e i ) le operazioni inverse a quelle applicate ad A per ottenere A, ricaveremo una matrice del tipo (A Y ): per costruzione Quindi Y im(f). rk(a) rk(a ) < rk(a e i ) rk(a Y ). In forza del punto i) della proposizione precedente possiamo alora dare la seguente definizione. Definizione Sia f: R n R m lineare. L unica matrice A R m,n tale che f µ A viene detta matrice di f e viene indicata con M(f). Esempio Si verifichi che l applicazione f dell Esempio si ottiene come caso particolare prendendo M(f) ( ) R, Si noti che rk(a), quindi f è suriettiva. È iniettiva? Per esercizio verificare che M(id R n) I n, M(0 R n,r m ) 0 m,n. Concludiamo questo paragrafo con la seguente proposizione. Proposizione Siano λ R, f, g: R n R m, h: R m R p lineari. Allora: i) f + g: R n R m è lineare e M(f + g) M(f) + M(g); ii) λf: R n R m è lineare e λm(f) M(λf); iii) h f: R n R p è lineare e M(h f) M(h)M(f). Dimostrazione. Poniamo M(f) A, M(g) B, M(h) C sicché f µ A, g µ B, h µ C. Per ogni X R n si ha (µ A + µ B )(X) µ A (X) + µ B (X) AX + BX (A + B)X µ A+B (X), (λµ A )(X) λ(µ A (X)) λ(ax) (λa)x µ λa (X), µ A µ B (X) µ A (µ B (X)) µ A (BX) A(BX) (AB)X µ AB (X). Quindi f + g µ A + µ B µ A+B, λf λµ A µ λa, h f µ C µ A µ CA : in particolare le applicazioni f +g, λf, h f sono lineari. In maniera simile si verifica l affermazione sulle matrici.

3 LEZIONE 1 3 Esempio Riprendiamo l esempio della simmetria ortogonale rispetto alla retta r di equazione ax+by 0, (a, b) (0, 0). Abbiamo visto che tale applicazione ha per matrice la Matrice (11..6.). Se b 0 tale matrice è ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 cos 0 sin sin 0 cos 0 Se, invece, b 0 allora sappiamo che a/b è la tangente trigonometrica dell angolo ϑ ] π/, π/[ che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse. Poiché a b a + b 1 a b 1 + a ab a + b b 1 tan ϑ 1 + tan ϑ cos(ϑ), a b 1 + a b tan ϑ 1 + tan ϑ sin(ϑ), segue che ( a b a +b ab a +b ab a +b a b a +b ) ( ) cos(ϑ) sin(ϑ) sin(ϑ) cos(ϑ) ( cos(ϑ) sin(ϑ) sin(ϑ) cos(ϑ) ) ( ) Concludiamo che una simmetria ortogonale rispetto ad una retta è composta dalla simmetria ortogonale rispetto all asse delle ascisse seguita dalla rotazione dell angolo ϑ. Un analogo esempio sul legame fra composizione di applicazioni lineari e il prodotto delle relative matrici è dato dalle rotazioni nello spazio. Esempio Ogni rotazione nello spazio può essere decomposta nella composizione di tre rotazioni intorno ai tre assi coordinati. Una rotazione R x intorno all asse delle x ha matrice cos ϕ sin ϕ. 0 sin ϕ cos ϕ Una rotazione R y intorno all asse delle y ha matrice cos ϑ 0 sin ϑ sin ϑ 0 cos ϑ

4 MATRICE DI UN APPLICAZIONE LINEARE Una rotazione R z intorno all asse delle z ha matrice cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ Quindi la rotazione composta Rz R y R x ha matrice cos ϑ cos ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ϑ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ cos ψ sin ϑ cos ϑ sin ψ cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ϑ sin ψ sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ sin ϑ. sin ϑ sin ϕ cos ϑ cos ϕ cos ϑ Si noti che tale matrice è ortogonale speciale. Infatti si verifichi per esercizio che il prodotto di matrici ortogonali speciali è ancora ortogonale speciale. Si può dimostrare un risultato simile alla Proposizione Cioè una matrice P R 3,3 è ortogonale se e solo è ottenuta dalla matrice sopra moltiplicando eventualmente una o più delle sue righe e/o colonne per 1. Esempio Vogliamo ora rappresentare nel piano una proiezione. Consideriamo il triangolo T di vertici A (1, 1/, 3/), B (, 11/, 4), C (4, 9/, 3) e proiettiamolo nel piano z 0 secondo la direzione del vettore w ı j + k. La matrice di tale proiezione è 1 0 1/ 0 1 1/ Poiché poi vogliamo rappresentare tutto nel piano x 0, possiamo poi proiettare secondo la direzione del vettore v ı + j + k. La matrice relativa che è (si veda l Esempio 11.4.). Poiché e / / otteniamo la seguente figura

5 LEZIONE 1 5 z w T B A O A' y T' B' C x C' Figura Nucleo ed iniettività. Il teorema di Rouché Capelli ed il paragrafo precedente ci permettono di affermare Proposizione Sia f: R n R m lineare. Allora se Y im(f) e X 0 R n è tale che f(x 0 ) Y, risulta f 1 (Y ) { X R n f(x) Y } { X 0 + X X f 1 (0 m,1 ) } { X 0 } + f 1 (0 m,1 ). Dimostrazione. Sia A M(f). Allora f 1 (Y ) coincide con l insieme delle soluzioni del sistema AX Y. Per ipotesi f(x 0 ) Y, quindi tale sistema è compatibile. Per il Teorema di Rouché Capelli le sue soluzioni sono tutte e sole le matrici colonna della forma X 0 + X ove X è soluzione del sistema omogeneo associato AX 0 m,1 o, equivalentemente, ove X è tale che f(x) 0 m,1. La precedente proposizione ci dice che la controimmagine di 0 m,1 riveste un ruolo fondamentale per le applicazioni lineari: infatti la Proposizione ci dice che le controimmagini f 1 (Y ) tramite f degli elementi Y im(f) si ottengono tutte da quella f 1 (0 m,1 ) di 0 m,1 per traslazione di una controimmagine particolare. Per questo motivo f 1 (0 m,1 ) merita un nome particolare. Definizione 1... Sia f: R n R m lineare. Allora si definisce nucleo di f l insieme ker(f) f 1 (0 m,1 ) { X R n f(x) 0 }. Un immediata conseguenza della Proposizione è il seguente

6 ISOMORFISMI Corollario Sia f: R n R m lineare. Allora f è iniettiva se e solo se ker(f) { 0 n,1 }. Sia A M(f). Come abbiamo già visto sopra ker(f) coincide con l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo AX 0 m,1. Quindi Corollario Sia f: R n R m lineare. Allora f è iniettiva se e solo se rk(m(f)) n. Esempio L applicazione f definita nell Esempio non può essere iniettiva. Infatti essa coincide con µ A ove ( ) A 1 1 e tale matrice ha, chiaramente, rango rk(a). Si noti che ker(f) { a(1, 7, 4) a R }. Invece l applicazione g: R R 3 tale che M(g) t A è iniettiva ma non suriettiva. Descrivere im(g). Esempio Un altro esempio di applicazioni lineari non iniettive sono le proiezioni. In questo caso le controimmagini dei punti dell immagine vengono detti proiettori. Graficamente si possono interpretare come fascio di rette parallele alla direzione della proiezione Isomorfismi. Definizione Un applicazione lineare biunivoca f: R n R m si dice isomorfismo. Dalla Proposizione 1.1. iv) e dal Corollario 1..4 segue che la matrice di un isomorfismo f: R n R m deve avere rango uguale sia ad m che ad n cioè vale il seguente Lemma Sia f: R n R m lineare. Se f è un isomorfismo, allora n m. Osserviamo che se A R m,n è fissata, allora l applicazione µ A è un isomorfismo se e solo se n rk(a) m, cioè se e solo se A è invertibile. Dalle uguaglianze µ A µ 1 A id R n µ In id R n µ 1 A µ A, (si veda la Proposizione iii)) si deduce allora che Abbiamo, perciò, dimostrato che µ A 1 µ 1 A.

7 LEZIONE 1 7 Proposizione Sia f: R n R n lineare. Allora f è un isomorfismo se e solo M(f) è invertibile. Se ciò accade allora: i) f 1 : R n R n è lineare; ii) M(f 1 ) M(f) 1. Esempio L applicazione f: R 3 R definita nell Esempio non è un isomorfismo perché 3. Le rotazioni, riflessioni, riscalamenti e deformazioni sono isomorfismi. Invece le proiezioni parallele non sono mai isomorfismi. Come abbiamo visto un applicazione lineare f: R n R m è nota quando è nota la sua matrice che è completamente individuata dall azione di f sugli elementi e 1,..., e n della base canonica C di R n. Esistono altri insiemi di n elementi di R n aventi tale proprietà importante: tali insiemi sono dette basi di R n. Definizione Un insieme ordinato B (v 1,..., v n ) di vettori in R n si dice base di R n se e solo se la matrice n n avente per colonne i v j ha rango n. Abbiamo allora il seguente risultato detto Teorema fondamentale dell algebra lineare. Teorema Sia B (v 1,..., v n ) una base di R n, w 1,..., w n R m. Allora esiste unica un applicazione lineare f: R n R m tale che f(v i ) w i, i 1,..., n. Se A e B sono le matrici aventi per colonna j esima v j e w j rispettivamente, allora M(f) BA 1. Dimostrazione. Si considerino le applicazioni g: R n R n e h: R n R m tali che M(g) A e M(h) B. Allora g è un isomorfismo dalla Proposizione 1.3.3: infatti B è una base dunque rk(a) n. Inoltre si vede subito dalla definizione di A e B che g(e j ) v j e h(e j ) w j, j 1,..., n. Supponiamo che un applicazione lineare f con la proprietà richiesta esista e dimostriamone l unicità. Si ha f g(e j ) f(v j ) w j. Quindi f g agisce come h sugli elementi e j, perciò M(f)A M(f)M(g) M(f g) M(h) B : concludiamo che, se f esiste con le proprietà richieste allora f µ BA 1, quindi è unica e vale la relazione M(f) BA 1. Si tratta ora di dimostrare che l applicazione f h g 1, che è lineare per la Proposizione iii), soddisfa le proprietà richieste. A tale scopo osserviamo che per definizione g 1 (v j ) e j, sicché f(v j ) h g 1 (v j ) h(g 1 (v j )) h(e j ) w j, j 1,..., n. Abbiamo perciò concluso la dimostrazione del Teorema.

8 ISOMORFISMI Esempio In R 3 siano dati i vettori v 1 (1, 1, 1), v (1, 0, 1), v 3 (, 0, 1). Fissiamo poi i vettori w 1 (1, 1), w ( 1, 0), w 3 (0, ) in R. Poiché è facile verificare che rk , B (v 1, v, v 3 ) è una base di R 3. Dunque dalla Proposizione che esiste un unica applicazione lineare f: R 3 R tale che f(v i ) w i, i 1,, 3. Poiché A ( ) , B otteniamo che f è l applicazione lineare avente matrice M(f) ( ) ( 1 3 ). Esempio In R 3 siano dati i vettori v 1 (1, 1, 1), v (1, 0, 1), v 3 (, 0, 1), v 4 (4, 1, 1). Fissiamo poi i vettori w 1 (1, 1), w ( 1, 0), w 3 (0, ), w 4 (0, 3) in R. Chiaramente i vettori v 1, v, v 3, v 4 non possono formare una base di R 3, quindi non possiamo applicare direttamente la Proposizione Però, dall esempio precedente, sappiamo che esiste un unica applicazione lineare f: R 3 R tale che f(v i ) w i, i 1,, 3: si deve stabilire se vale anche f(v 4 ) w 4. A tale scopo o utilizziamo la matrice già ottenuta per f e la moltiplichiamo per v 4 oppure osserviamo che v 4 v 1 + v + v 3 : dunque affinché f(v 4 ) w 4 si deve avere w 4 f(v 4 ) f(v 1 + v + v 3 ) f(v 1 ) + f(v ) + f(v 3 ) w 1 + w + w 3 che è di immediata verifica. Cosa si può affermare se si sostituisce w 4 con w 4 (1, 1)?

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