0.1. CIRCONFERENZA 1. La 0.1.1, espressa mediante la formula per la distanza tra due punti, diviene:

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1 0.1. CIRCONFERENZA Circonfrnza Considriamo una circonfrnza di cntro P 0 (x 0, y 0 ) raggio r, cioè il luogo di punti dl piano P (x, y) pr i quali si vrifica la rlazion: P 0 P = r. La 0.1.1, sprssa mdiant la formula pr la distanza tra du punti, divin: (x x0 ) + (y y 0 ) = r, ovvro, lvando al quadrato ambo i mmbri: (x x 0 ) + (y y 0 ) = r. Sviluppando si ottin: x + y x 0 x y 0 y + x 0 + y 0 r = 0. L quazion dlla circonfrnza di cntro P 0 raggio r è quindi: x + y + ax + by + c = 0. avndo posto nlla x 0 = a, y 0 = b, x 0 + y 0 r = c. Vicvrsa, data una quazion con a 4 + b 4 c > 0, ssa rapprsnta una circonfrnza. Di ssa si può facilmnt calcolar il cntro il raggio; dall discnd infatti: x 0 = a, y 0 = b, r = a 4 + b 4 c. Si noti infin ch in particolar una circonfrnza di cntro l origin (0, 0) ha quazion dl tipo: x + y = r. La stssa circonfrnza, in coordinat polari, ha quazion ρ = r. L su quazioni paramtrich sono { x = r cos θ y = r sin θ Esmpio Dtrminar il cntro il raggio dlla circonfrnza di quazion x + y + 6x + 4y 40 = 0. Soluzion. L applicazion dll formul fornisc immdiatamnt la soluzion: il cntro è C( 3, ) il raggio è 53. Oppur si può procdr col mtodo di

2 compltamnto dl quadrato nl modo sgunt. Riscriviamo l quazion aggiungiamo ad ambo i mmbri dll costanti opportun in modo da ottnr du quadrati di binomio: x + 6x + y + 4y = 40 (x + 6x + 3 ) + (y + 4y + ) = (x + 3) + (y + ) = 53 (1) da cui si lgg immdiatamnt sia il cntro ch il raggio. Esmpio Dtrminar l quazion dlla circonfrnza passant pr i punti A(1, ), B(3, ), C(5, 4). Il problma può ssr affrontato in più modi. Un primo mtodo consist nll imporr ad una circonfrnza gnrica x + y + ax + by + c = 0 di passar pr ciascuno di punti assgnati, ottnndo così il sistma di 3 quazioni in 3 incognit a b + c = a b + c = 0, a 4b + c = 0 ch, risolto, fornisc a = 4, b = 10, c = 19, quindi l quazion x +y 4x+10y+19 = 0. Altrimnti si può risolvr l srcizio con mtodo più gomtrico, utilizzando la bn nota proprità dl passaggio pr il cntro dgli assi dll cord. La corda AB ha paramtri dirttori l = 3 1 =, m = + = 0. Il suo punto mdio è M = (, ). Il suo ass è quindi x = 0. La corda AC ha paramtri dirttori l = 5 1 = 4, m = 4 + =, riducibili a l =, m = 1. Il suo punto mdio è M = (3, 3). Il suo ass è quindi (x 3) 1(y { + 3) = 0, cioè x y 9 = 0. Intrscando i du assi, x = 0 ovvro risolvndo il sistma, si ottin il cntro P 0 (, 5) dlla x y 9 = 0 circonfrnza. Il raggio guaglia la distanza P 0 A = (1 ) + ( + 5) = 10. La circonfrnza ha quindi quazion (x ) +(y+5) = 10, quivalnt all quazion trovata pr altra via. Infin, si potva scrivr la sgunt quazion: x + y x y 1 x 1 + y1 x 1 y 1 1 x + y x y 1 = 0 () x 3 + y3 x 3 y 3 1 ch, nl caso i tr punti non siano allinati, fornisc dirttamnt l quazion dlla circonfrnza passant pr i tr punti assgnati. Nl nostro caso abbiamo x + y x y = 0 (3)

3 0.. CONICHE IN EQUAZIONE CANONICA. INTRODUZIONE 3 ch sviluppato lungo la prima riga ci fornisc lo stsso risultato visto sopra. Si ossrvi ch il complmnto algbrico dll lmnto di posto (1, 1) in qusta matric è sattamnt il dtrminant di ordin (4) ch risulta divrso da zro prcisamnt prchè i tr punti assgnati non sono allinati. Il valor di qusto dtrminant, infatti, è un multiplo non nullo dll ara dl triangolo individuato dai tr punti. 0. Conich in quazion canonica. Introduzion Supponiamo di avr fissato nl piano un punto F d una rtta d non passant pr F. Vogliamo studiar il luogo di punti P dl piano pr cui il rapporto tra la distanza P F di P da F la distanza P d dllo stsso punto dalla rtta d sia costant: P F P d = (5) La costant vin dtta ccntricità, la rtta d si dic dirttric il punto F si dic fuoco. Il luogo gomtrico ch risulta da qusta costruzion vin dtto conica o szion conica, in particolar, lliss 1 s 0 < < 1; parabola s = 1; iprbol s > 1. In qul ch sgu diamo dll quazioni algbrich, ch saranno dtt quazioni canonich, di qusti tr tipi di conich. 0.3 Elliss Sia dunqu dato un punto F scgliamo il sistma di rifrimnto in modo tal ch F abbia coordinat F (c, 0), con c > 0. Sia un valor positivo ma minor di 1, si prnda com dirttric la rtta d di quazion x = c. La condizion (5) si può riscrivr P F = (P d) d usando la formula pr la distanza tra du punti la formula pr la distanza punto rtta, qusta si traduc in dunqu (x c) + y = x c (6) x cx + c + y = (x c x + c 4 ) (1 )x + y cx + cx = c c 1 Elliss, iprbol, parabola dal grco rispttivamnt: carnza, ccsso, confronto, si confronti con l corrispondnti figur rtorich. (7)

4 4 ottnndo così (1 )x + y = c (1 ) (8) Ossrviamo ora ch, nlla nostra ipotsi in cui < 1, la costant c (1 ) > 0 ch quindi possiamo porr, pr dfinizion, b = c (1 ). Dividndo ambo i mmbri di (8) pr b ottniamo c x + y b = 1 (9) Posto inoltr a = c si ha infin x a + y b = 1 (10) ch è l quazion canonica dll lliss. Ossrviamo ch a b = c (11) Infatti: a b = c c (1 ) = c c + c = c Posto inoltr x = 0 nll quazion (10) si ha y = b y = ±b, dunqu i punti (0, ±b) appartngono all lliss. Posto anch y = 0 si ha, analogamnt, ch i punti (±a, 0) appartngono all lliss. Poichè, infin, pr dfinizion, a = c allora a = c l quazion dlla dirttric si può anch scrivr x = a. La curva risulta simmtrica risptto agli assi x, y (ch si dicono assi dll lliss). Infatti s un punto P (x, y) soddisfa l quazion, anch i punti P (x, y), P ( x, y), P ( x, y) la soddisfano, ssndo l variabili x, y lvat al quadrato. Gli assi incontrano l lliss ni punti A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b), B (0, b), ch si dicono vrtici. I sgmnti AA, BB vngono anch ssi chiamati assi dll lliss. Ossrvazion S a = b, l quazion 10 divnta x + y = a, quazion dlla circonfrnza di cntro l origin raggio a. Riassumiamo alcuni dati importanti di un lliss nll ipotsi ch risulti a > b, altrimnti nll dfinizioni ch sguono occorr scambiar a con b, x con y. Dfinizion Posto c = a b, si dfiniscono pr l lliss: fuochi i punti F (c, 0), F ( c, 0), ccntricità il valor = c a, dirttrici l rtt d : x = a/, d : x = a/. Torma L lliss è il luogo di punti P dl piano tali ch la somma dll loro distanz dai du fuochi sia costant d ugual alla lunghzza dll ass maggior: P F + P F = a.

5 0.3. ELLISSE 5 Dimostrazion. Un punto P (x, y) soddisfa la condizion assgnata s solo s: (x c) + y + (x + c) + y = a, da cui si ottin l quazion 10 con smplici passaggi algbrici ricordando ch c = a b. L quazion dll lliss si trasforma in coordinat polari: ovvro: ρ cos θ a ρ = + ρ sin θ b = 1, ab b cos θ + a sin θ. Esmpio Fissiamo il punto F (3, 0) la costant = 3 5 ha quazion x = 5 3. Calcoliamo a = c = 5 b = c (1 ) = L quazion canonica è dunqu 5 + y 16 = 1 Possiamo tracciar la curva nlla figura ch sgu: x < 1. La dirttric d 5 9 = 16. Eliss 1 Attnzion: s prndiamo l quazion x 16 + y 5 = 1

6 6 abbiamo la sgunt lliss Eliss