La probabilità nella vita quotidiana

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1 La probabilità nella vita quotidiana Introduzione elementare ai modelli probabilistici Bruno Betrò CNR - IMATI San Pellegrino, 6/9/2011 p. 1/31

2 La probabilità fa parte della vita quotidiana non partecipo perché non ho nessuna probabilità di farcela al 90% la squadra X quest anno vincerà il campionato spero di vincere al per oggi il meteo prevede probabilità di pioggia del 60% I fumatori hanno 10 volte maggiore probabilità di soffrire di malattie vascolari (INAIL, Rischi per la salute legati ai vari modi di consumare il tabacco - ) San Pellegrino, 6/9/2011 p. 2/31

3 Probabilità come misura dell incertezza Significato intuitivo L intuizione può portare a conclusioni scorrette Necessario dotarsi di strumenti logici e rigorosi Calcolo delle probabilità come teoria matematica dell incertezza San Pellegrino, 6/9/2011 p. 3/31

4 Alle origini del Calcolo delle Probabilità Corrispondenza tra Pascal e Fermat originata da un problema di gioco d azzardo (1654) La disperazione dei perdenti e la gioia dei vincitori nel gioco delle carte, raffigurate in una stampa del Settecento. San Pellegrino, 6/9/2011 p. 4/31

5 Il problema del Cavalier De Méré Scommessa su/contro uscita del sei almeno una volta in quattro lanci di un dado: osservazione empirica che la sorte favorisce scommessa su sei Variante: 24 (4 6) lanci di due dadi (6 6 risultati possibili), scommessa su/contro doppio sei; secondo De Méré ancora favorita scommessa su doppio sei, ma risultati dicevano il contrario De Méré si rivolse a Pascal chiedendo lumi Pascal e Fermat elaborarono i primi elementi del Calcolo delle Probabilità Contro intuizione di De Méré, teoria e pratica in accordo! Problema: Ci si può arricchire con i giochi d azzardo? San Pellegrino, 6/9/2011 p. 5/31

6 Problemi di compleanni Quante persone ci devono essere almeno in una stanza perché sia più probabile che almeno due compiano gli anni lo stesso giorno piuttosto che il viceversa? In quanti dobbiamo essere almeno in una stanza perché sia più probabile che sia presente un mio gemello (compleanno nello stesso giorno) piuttosto che il viceversa? Facciamo un test... San Pellegrino, 6/9/2011 p. 6/31

7 Il problema di Monty Hall Gioco a premi in cui puoi scegliere tra tre scatole: dentro una ci sono e, dentro le altre 1e. Scegli una scatola e il conduttore del gioco, che sa il contenuto di ciascuna scatola, ne apre un altra, rivelando un premio da 1e e domanda: Vuoi cambiare la tua scelta?. Conviene cambiare la tua scelta originale? È più probabile vincere cambiando la scelta iniziale o non cambiandola? Risposta giusta? San Pellegrino, 6/9/2011 p. 7/31

8 Calcolo delle probabilità: Teoria matematica dell incertezza La teoria dice come si devono formulare in maniera corretta delle valutazioni probabilistiche, o, in altri termini, come si deve formulare un modello matematico probabilistico. Modello matematico: trattazione problema in modo logico e rigoroso astrazione della realtà, cattura solo alcuni aspetti deve condurre a risultati utili in accordo con evidenza sperimentale San Pellegrino, 6/9/2011 p. 8/31

9 Modelli probabilistici Problemi interessanti che illustrano le potenzialità del Calcolo delle probabilità possono essere trattati con modelli semplici e matematica (relativamente) elementare Questo non vuole dire che il Calcolo delle probabilità sia una disciplina facile Molti problemi interessanti richiedono modelli più complessi e strumenti matematici sofisticati, come è il caso dei modelli di fenomeni aleatori che evolvono nel tempo t M t = p(w t,t) 0 a(w s,s)ds,a(x,t) = ( t ) 2 p(x, t) x 2 Nei modelli più complessi problemi non banali anche dal punto di vista computazionale. San Pellegrino, 6/9/2011 p. 9/31

10 Definizione di probabilità Formalizzare il concetto di probabilità come misura dell incertezza Impostazione assiomatica Kolmogorov (1933): X insieme, eventi sono i sottoinsiemi di X, ad ogni evento A associato un numero reale P(A), detto probabilità di A, tale che 1. P(A) 0 per ogni evento A; 2. P(X) = 1; 3. se A e B sono eventi incompatibili (A B = ), allora P(A B) = P(A)+P(B). da 3. P(Ā) = 1 P(A) Ā evento negato o complementare San Pellegrino, 6/9/2011 p. 10/31

11 Assiomi di Kolmogorov Assiomi 1,2,3 inclusi in sistema di assiomi fondamento rigoroso del Calcolo delle probabilità. Impostazione assiomatica è anche utile? Permette costruzione di modelli in accordo con l evidenza sperimentale? Risposta positiva: ad es. possibile dare formulazione rigorosa della legge empirica del caso suggerita dall evidenza sperimentale: in successive repliche di un esperimento sotto stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento associato all esperimento tende a stabilizzarsi; Legge dei grandi numeri: frequenza relativa limite = probabilità dell evento San Pellegrino, 6/9/2011 p. 11/31

12 Valutazione delle probabilità. Il problema del Cavalier De Méré L esito dei 4 lanci è una quaterna di numeri da 1 a 6; X insieme di tutte le quaterne A evento = sottoinsieme costituito da un certo numero di quaterne Tutte le quaterne siano equiprobabili (partita non truccata!) Le quaterne sono in tutto 6 4 Probabilità di ogni singola quaterna: 1/6 4 P(A): 1/6 4 numero di quaterne in A soddisfatti assiomi di Kolmogorov San Pellegrino, 6/9/2011 p. 12/31

13 Valutazione delle probabilità. Il problema del Cavalier De Méré (cont.) Evento Ē che non interessa chi scommette sul sei: sottoinsieme delle quaterne di numeri da 1 a 5; numero di queste quaterne = 5 4 P(Ē) = 1/ P(E) = 1 (5/6) 4 = 0, 518 Per legge grandi numeri, percentuale di partite vinte dallo scommettitore sul sei, su un grande numero di partite, è circa pari a 51,8% e quindi maggiore di % avversario. San Pellegrino, 6/9/2011 p. 13/31

14 Valutazione delle probabilità. Il problema del Cavalier De Méré (cont.) Con 24 lanci di due dadi, esiti possibili sono le 24-uple di coppie di numeri da 1 a 6: numero tutte 24-uple = (6 6) uple equiprobabili, probabilità singola 24-upla = 1/36 24 Evento Ē che non interessa chi scommette su doppio sei: sottoinsieme delle 24-uple di coppie di numeri da 1 a 6 non entrambi = 6; (36 1) uple. P(Ē) = 1/ P(E) = 1 (35/36) 24 = 0, 491 Il gioco è ora sfavorevole a chi punta su doppio sei, la sua percentuale di partite vinte è, su un numero grande di partite, inferiore a quella dell avversario Contrariamente a quanto pensava De Méré, teoria e osservazione sperimentale in accordo! San Pellegrino, 6/9/2011 p. 14/31

15 Valutazione classica delle probabilità numero di casi favorevoli ada P(A) = numero totale casi i casi devono essere equiprobabili quando i casi sono equiprobabili? valutazione utile nel caso in cui il numero dei casi sia finito inapplicabile, ad es. probabilità 1 X 2 in schedina totocalcio valutazione probabilità che la quantità di pioggia giornaliera in una certa zona superi un certo limite probabilità frequentista probabilità soggettiva San Pellegrino, 6/9/2011 p. 15/31

16 Problemi di compleanni risolti/1 Quante persone ci devono essere almeno in una stanza perché sia più probabile che alcune di loro compiano gli anni lo stesso giorno piuttosto che il viceversa? Ipotesi: niente anni bisestili, uguale possibilità di nascita in ogni giorno dell anno (?), numero persone n 365 numeriamo persone da 1 a n e compiliamo liste di n giorni: 365 n liste possibili, assumiamole equiprobabili. In quante liste non compare 2 volte lo stesso giorno? D 365,n = (365 n+1) p = 1 D 365,n /365 n n = 23 p n = 30 p n = 50 p 0.97 Bastano 23 persone affinché la probabilità che due persone abbiano lo stesso compleanno sia > 1/2. San Pellegrino, 6/9/2011 p. 16/31

17 Problemi di compleanni risolti/2 In quanti dobbiamo essere almeno in una stanza perché sia più probabile che sia presente almeno un mio gemello (nato nello stesso giorno) piuttosto che il viceversa? P(che almeno un altro abbia il mio compleanno) = 1 364n 365 n ; n 253 p > 0.5 San Pellegrino, 6/9/2011 p. 17/31

18 Valutazione delle probabilità di vincere al SuperEnalotto (vincita massima) vincita massima indovinando una sestina di numeri tra 1 e 90 probabilità di vincita = probabilità uscita dei sei numeri giocati (non conta l ordine) quante le sestine possibili? ( ) 90 6 = = = (!) stessa possibilità di essere estratte per tutte le sestine? Sì, altrimenti c è truffa! giocata minima due sestine (2e) 2 casi favorevoli la probabilità cercata è (valutazione classica) 2/ = 0, San Pellegrino, 6/9/2011 p. 18/31

19 La leggenda (metropolitana) dei numeri ritardatari la leggenda dice che un numero (o una combinazione di numeri) che non esce da molte estrazioni ha maggiore probabilità di essere estratto (estratta) nella prossima N = numero di casi possibili nella singola estrazione, N 1 casi sfavorevoli (non uscita) in singola estrazione casi sfavorevoli su 100 estrazioni = (N 1) 100 = casi di non uscita in 100 estrazioni e di uscita alla 101-esima casi possibili in 101 estrazioni, con non uscita in 100 estrazioni = (N 1) 100 N San Pellegrino, 6/9/2011 p. 19/31

20 La leggenda (metropolitana) dei numeri ritardatari (cont.) casi di non uscita in 100 estrazioni e di uscita alla 101-esima casi possibili in 101 estrazioni, con non uscita in 100 estrazioni = 1 N Il fatto che l uscita favorevole abbia ritardato per 100 estrazioni non modifica la sua probabilità alla 101-esima! La probabilità condizionata coincide con la probabilità non condizionata P(A B) = P(A B)/P(B) probabilità condizionata se P(A B) = P(A), si dice che A e B sono indipendenti San Pellegrino, 6/9/2011 p. 20/31

21 Valutazione del guadagno del giocatore incallito Se in un gioco p è probabilità di vincita e V è il valore della vincita, e P la posta, dopo N partite il guadagno è V n P N, n numero di partite vinte. La legge dei grandi numeri (formulazione teorica della legge empirica del caso) dice che, al crescere di N, V n N si avvicina sempre più a V p Per N abbastanza grande sarà quindi V n N ogni ǫ piccolo V p < ǫ per V n P N = V n V p N+V p N P N = (V n/n V p)n+(v p P)N < (ǫ+v p P) N San Pellegrino, 6/9/2011 p. 21/31

22 Valutazione del guadagno del giocatore incallito del SuperEnalotto In SuperEnalotto, V non è costante; per semplicità, sia V = (massima vincita finora avvenuta = e); se P = 2 (giocata minima) V p P = , = 1, 42 Probabilità di nessuna vincita (massima) in n estrazioni (1 p) n ; per n = , 9997 La rovina del giocatore incallito è certa! Gioco equo se con P = 1 V p = 1, sfavorevole al giocatore se V p < 1 il banco calcola V in modo che il gioco sia sfavorevole al giocatore (anche le assicurazioni!) San Pellegrino, 6/9/2011 p. 22/31

23 Soluzione del problema di Monty Hall Tre scenari: scelgo scatola 1e scelgo una scatola scelgo scatola 1e scelgo scatola e cambio non cambio cambio non cambio cambio non cambio vinco e vinco 1e vinco e vinco 1e vinco 1e vinco e Probabilità dei 3 scenari? Ognuno determinato da scelta iniziale. Giocatore non ha ragione di preferire all inizio una scatola ad un altra, quindi scelta a caso, e quindi probabilità 1/3 di ciascuna delle tre scelte possibili San Pellegrino, 6/9/2011 p. 23/31

24 Soluzione del problema di Monty Hall (cont.) La strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, quindi la probabilità di vincere adottando la strategia è 2/3. L argomentazione che porta a conclusione sbagliata che sia indifferente cambiare o meno non tiene conto di indicazioni aggiuntive date da mossa del conduttore, che modifica la probabilità che la scelta iniziale del giocatore sia quella vincente. Formalizzazione matematica del problema porta ad analisi rigorosa e a soluzione corretta. San Pellegrino, 6/9/2011 p. 24/31

25 Aggiornamento delle probabilità, il Teorema di Bayes visto nel problema di Monty Hall come le informazioni aggiuntive cambino le valutazioni iniziali E evento che implica uno tra A j incompatibili tra loro. Cosa dice verificarsi di E su verificarsi di un certo A i? E sintomo e A j malattie che possono dare sintomo. Probabilità che paziente con sintomo abbia A i? formula di Bayes (Bayes, ) P(A i E) = P(E A i)p(a i ) j P(A j)p(e A j ) P(A j ) probabilità a priori; P(A j E) probabilità a posteriori; aggioramento rigoroso dell incertezza su A i uso in statistica bayesiana per combinare informazioni a priori su fenomeno osservato con informazioni fornite dai dati sperimentali San Pellegrino, 6/9/2011 p. 25/31

26 Screening di massa o panico di massa? vale sempre la pena di fare screening di massa? M presenza malattia; indagine con test, T + test positivo; P(M T + )? formula di Bayes P(M T + ) = P(T + M)P(M) P(T + M)P(M)+P(T + M)P( M) P(M) = 0, popolazione a basso rischio P( M) = 0, 996 P(T + M) = 0, 80 P(T + M) = 0, 10 P(M T + ) = 0,80 0,004 = 0,0032 0,80 0,004+0,10 0,996 0,1028 0, 03 San Pellegrino, 6/9/2011 p. 26/31

27 Probabilità e computer Modello probabilistico è spesso un compromesso tra esigenza di aderenza a fenomeno reale e trattabilità matematica modello troppo semplificato ma che può essere analizzato matematicamente Evoluzione dei mezzi di calcolo rende possibile modello più accurato, da analizzare attraverso uno studio di simulazione Generatori di numeri (pseudo) casuali + legge dei grandi numeri Simulazione rende anche possibile studiare fenomeni virtuali o organizzare esperimenti virtuali San Pellegrino, 6/9/2011 p. 27/31

28 Probabilità e computer (cont.) Problema dell ubriaco sul ciglio del burrone: 1/2 probabilità di muovere un passo lontano dal burrone e 1/2 probabilità di un passo verso il burrone. a posizione iniziale dell ubriaco 0 posizione del burrone b distanza da casa nella posizione iniziale p probabilità di cadere nel burrone San Pellegrino, 6/9/2011 p. 28/31

29 Probabilità e computer (cont.) simulazione di una passeggiata : generare un numero a caso x, se x 0, 5 un passo verso destra, altrimenti verso sinistra, iterare finchè si arriva in 0 o in a+b. ripetere n volte la passeggiata: p frequenza relativa dell arrivo in 0 valore esatto p = 1 a a+b se la casa è lontana, l ubriaco è condannato! allo stesso modo problema della rovina del giocatore San Pellegrino, 6/9/2011 p. 29/31

30 La probabilità oggi Probabilità nasce con i giochi d azzardo Laplace (1812) È notevole il fatto che una scienza iniziata con l analisi dei giochi d azzardo dovesse essere elevata al rango dei più importanti oggetti della conoscenza umana Oggi diffusa in ogni ramo della scienza, della tecnologia, dell economia e della finanza, insieme a Statistica che permette di definire modelli probabilistici in accordo con dati In fisica moderna superata idea newtoniana che acquisizione sempre più completa di dati avrebbe portato a scomparsa di ogni incertezza: per principio di indeterminazione di Heisenberg, è impossibile conoscere esattamente sia posizione che velocità di particelle molto piccole, si può solo fare valutazione probabilistica San Pellegrino, 6/9/2011 p. 30/31

31 Conclusioni Meglio non fidarsi dell intuizione Trattamento dell incertezza possibile con modello matematico - modello probabilistico Modello è astrazione e approssimazione della realtà Modello fornisce conclusioni logiche e rigorose in base alle ipotesi formulate Conclusioni fornite dal modello vanno verificate sul campo (Statistica) Non giocate con la speranza di arricchirvi! San Pellegrino, 6/9/2011 p. 31/31

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