Modelli ARMA, regressione spuria e cointegrazione Amedeo Argentiero

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1 Modelli ARMA, regressione spuria e coinegrazione Amedeo Argeniero amedeo.argeniero@unipg.i

2 Definizione modello ARMA Un modello ARMA(p, q) (AuoRegressive Moving Average of order p and q) ha la seguene sruura: ϕ ϕ p + ε θε... θ dove ϕ j (j,, p) e θ k (k,, q) sono coefficieni noi e cosani e ε è un processo whie noise: E ε ( ) Cov ( ε ε ) τ σ τ τ q ε q

3 Modelli ARMA e operaore riardo Usando l operaore riardo, il modello ARMA(p, q) può essere riscrio come: P q ϕ L... ϕ L θ L... θ L ε ( ) ( ) p q o, in forma compaa: ( ) ( ) ε ϕ L θ L dove: ϕ L ϕ L... ϕ θ p ( ) L p ( L q ) θ L... θ q L sono polinomi scalari nell operaore riardo: ϕ(l) polinomio auoregressivo θ(l) polinomio a media mobile

4 Il modello ARMA: alcuni casi uili ARMA(,) o AR(): ( ϕ L) ε ARMA(,) o MA(): ( θ L) ε

5 Modelli ARMA: proprieà I modelli ARMA generano processi socasici (sequenza di variabili aleaorie) di ipo ARMA; Le proprieà di un processo ARMA sono rinvenibili nelle radici dei polinomi AR ed MA; Se θ(l) il modello ARMA si riduce ad un equazione alle differenze socasiche di ordine p: ( ) ϕ L... ϕ L P ε p

6 Modello ARMA: sazionarieà La precedene equazione è dinamicamene sabile (sazionaria) se e solo se le radici del seguene polinomio caraerisico: ϕ z... ϕ pz Se le radici sono inerne al cerchio di raggio uniario reagirà esplosivamene ad ogni shock socasico derivane dalla componene MA P sono eserne rispeo al cerchio di raggio uniario

7 Processo AR(): sazionarieà Consideriamo la sazionarieà relaivamene al processo AR(): ϕ L ε ϕ + ε ( ) L equazione caraerisica di queso processo è: con radice: z ϕ z ϕ Per parlare di sazionarieà del secondo ordine i primi due momeni del processo : E( ) and Cov(, -τ ) NON devono dipendere da

8 Processo AR(): la media Se ϕ <, la radice caraerisica del polinomio è eserna al cerchio di raggio uniario, allora: ϕ L + ϕ L + ϕ ϕ w L w +... In queso caso, il processo AR() può essere espresso come un MA( ): L Quindi: ϕ ε ε + ϕε + ϕ ε L +... E ( ) E( ε ) + ϕ E( ε ) + ϕ E( ε ) +...

9 Il modello MA( ) è molo uile per sudiare l impao di schocks socasici ε su Il processo AR(): la funzione di risposa all impulso Tale procedura si chiama funzione di risposa all impulso uniaria La funzione è cosruia assumendo che ε sia uguale al suo valore aeso () ovunque ecceo che al empo T, dove ε T

10 Il processo AR(): la funzione di risposa all impulso () Con la rappresenazione MA possiamo sapere cosa accade in +j dopo uno shock in : j T + j εt + j + ϕ εt + j + ϕε T + j ϕε T +... ϕ j

11 Il processo AR(): la funzione di risposa a impulso (3) T- T T+ T+ T+3 T+4 T+5 T+6 T+7 T+8 T+9 T+ T+ T+ ε Funzione di risposa a impulso del processo ε T- T T+ T+ T+3 T+4 T+5 T+6 T+7 T+8 T+9 T+ T+ T+

12 Il processo AR(): la funzione di risposa a impulso (4) Il ermine j della funzione di risposa a impulso è dao da: T + j ε T j ϕ Perano, la funzione di risposa a impulso uniaria indica il moliplicaore dinamico di in risposa ad uno shock socasico

13 Il processo AR(): la varianza La varianza di non dipende da : V [ ] ( ) E Cov( ) γ [( )( )] E ε + ϕε + ϕ ε +... ε + ϕε + ϕ ε +... ( 4 E ε + ϕ ε + ϕ ε +...) ( ) E E( ) σ σ + ϕ σ ϕ ( 4 + ϕ + ϕ +...) σ + ϕ 4 σ +...

14 Il processo AR(): le auocovarianze Le covarianze di con i valori riardai (le auocovarianze di ), possono essere espresse come: L ulimo ermine è nullo, poiché: E Inolre: ( ) ϕ E( ) + E( ε ) E τ τ τ ( ) [ ( )] ε E ε ε + ϕ ε + ϕ ε +... τ τ τ τ ( τ ) Cov( τ ) γ τ ( τ ) Cov(, τ+ ) γ τ E, E

15 Il processo AR(): le auocovarianze () Dalle precedeni relazioni si ha: γ ϕ τ γ τ Perano, le auocovarianze di un processo AR() seguono un equazione alle differenze del primo ordine idenica all equazione omogenea asscciaa all equazione alle differenze socasica che genera il processo; La condizione iniziale per queso processo è: γ σ ϕ

16 Il processo AR(): le auocorrelazioni Sosiuendo ricorsivamene si oiene la seguene sequenza di auocovarianze: γ τ γ ϕ τ σ ϕ ϕ Normalizzando su γ oeniamo la seguene funzione di auocorrelazione: τ ρτ ϕ τ Perano, la funzione di auocorrelazione di un AR() è idenica alla funzione di risposa a impulso

17 Il processo AR(): sazionarieà Sineizziamo i risulai oenui: Funzione risposa a impulso uniaria: auocovarianze: γ τ γ ϕ τ T + ε σ ϕ ϕ T τ j j ϕ auocorrelazioni: ϕ τ ρτ

18 Il processo AR(): sazionarieà Se ϕ < allora: gli shocks passai avranno un effeo sempre decrescene sulla realizzazione auale del processo, poiché: T + j j lim lim ϕ j ε j T le osservazioni correni e passae saranno più correlae (e dunque la realizzazione del processo sarà più sisemaica) al crescere del paramero auoregressivo: τ ρτ ϕ

19 Processo AR(): ϕ.7 IRF/Correlogramma,,8,6,4, Realizzazione 3 4 5

20 Processo AR(): ϕ.4 IRF/Correlogramma,,8,6,4, Realizzazioni 3 4 5

21 Processo AR(): ϕ -.7 IRF/Correlogramma,5,5 -, Realizzazioni 3 4 5

22 Processo AR(): ϕ IRF/Correlogramma,,8,6,4, Realizzazione 3 4 5

23 AR() process: ϕ - IRF/Correlogramma,5,5 -,5 - -, Realizzazioni

24 AR() process: ϕ. IRF/Correlogramma 3,5 3,5,5, Realizzazioni 3 4 5

25 AR() process: ϕ -. IRF/Correlogramma Realizzazioni

26 Processo AR(): sazionarieà Se ϕ, l andameno di mosra un rend (oppure oscillazioni esplosive): in al caso il processo si dice I(), inegrao del primo ordine; In ali casi il processo non può essere considerao sazionario; Poiché solo i processi sazionari hanno media e varianza cosani e auocovarianze non dipendeni da, se si applicassero ad un processo non sazionario le procedure compuazionali del caso sazionario si perverrebbe a risulai privi di senso; Ad esempio, la varianza di un processo AR() esplosiva sarebbe negaiva (che ovviamene non ha senso): τ τ σ ϕ γ τ γ ϕ < per ϕ > ϕ

27 Regressione spuria La regressione spuria si realizza ogniqualvola vengono reredie o più variabili I(), ovvero che posseggono un rend socasico; Se la variabile dipendene e i regressori hanno un rend socasico, la bonà delle sime porebbe risulare buona (ale di Suden e elevai R ), anche se le variabili non sono in alcun modo legae ra loro!; Il significao economico e saisico di quesi coefficieni è nullo, poiché la regressione è spuria

28 Regressioni spurie e regressioni senza senso Come possiamo classificare le regressioni? Variabili I(): non spurie Prive di significao Variabili I(): spurie Corrispondeni ad un vero modello economico soosane

29 Come individuare il vero modello? Una prima risposa al quesio: poiché i risulai di una regressione spuria dipendono dalla presenza di un rend nelle variabili, la rimozione dello sesso araverso l operaore differenza prima (filro) dovrebbe meere a nudo il vero modello Tuavia si perde informazione.

30 Come individuare il vero modello? () Procediamo alla sima di due modelli spuri (uno falso e uno vero): Modello falso: c + β ln + ln β u Modello vero: ln c ϑ + ϑ ln pil + u

31 Il confrono fra il modello vero e quello falso ln c.4+.8ln ( 8.) (.6) R. DW.8 ln c.6+.95ln (.5) (.) pil R.748 DW.59

32 Modello vero e falso a confronro Prima di differenziare i modelli, essi avevano due R aggiusai pari a circa.98; La sima in differenze prime riesce ad idenificare il modello falso (un R negaivo non ha chiaramene senso!), menre l alro modello ha un R posiivo e pari a.7

33 Come individuare il vero modello? Analisi di coinegrazione Esise un secondo e più formale meodo per idenificare il vero modello: l analisi di coinegrazione; Consideriamo due processi per le serie e x: ( ) ( ) ( ) ( ) + ε + ε x x ( ) ( ) ( ) ( ) + ε + ε β x x x dove: σ σ ε ε ; ~ nid () ()

34 Regressione spuria: modello vero e falso Sia (i), x (i) (i, ) sono I() Nella prima specificazione, poiché () e x () sono generai da un processo Random Walk Nella seconda specificazione, poiché x () è generao da un random walk, e () è una combinazione lineare di x () più un Whie Noise sazionario ε

35 Regressione spuria: modello vero e falso () Dunque, le regressioni: ( ) ( ) ( ) α + α x + u e: ( ) ( ) ( ) β + β x + u sono enrambe spurie.

36 Regressione spuria: modello vero e falso (3) Tuavia, nella prima specificazione () e x () non sono legae, poiché: ( ) ε j, j x ( ) ε j, j ε e ε sono muuamene incorrelai Al conrario, nella seconda specificazione () and x () sono legae grazie alla prima equazione

37 Regressione spuria: modello vero e falso (4) Quindi, menre la regressione spuria ( ) ( ) ( ) α + α x + u non ha alle spalle alcuna relazione economica sensaa, la regressione spuria: ( ) ( ) ( ) β + β x + u riflee la vera relazione economica soosane: ( ) ( ) βx + ε

38 Regressione spuria: modello vero e falso (5) Inolre, nella regressione spuria ( ) ( ) ( ) α + α x + u la variabile dipendene ed esplicaiva sono due RW indipendeni ( ) ε j, j i residui u () sono non sazionari, essendo la somma di due rend socasici indipendeni x ( ) ε j, j

39 Regressione spuria: modello vero e falso (6) Al conrario, la regressione spuria ( ) ( ) ( ) β + β x + riflee la vera relazione ( ) ( ) β x + ε u dove ε è un WN sazionario. Dunque i residui u () saranno sazionari

40 Coinegrazione Ecco come cosruire un es per discriminare un modello vero da uno falso ; Consideriamo due variabili I(), x Se esise un coefficiene π ale che: πx z ~ I ( ) allora, x si dicono coinegrae.

41 Coinegrazione () Nella prima specificazione, ale coefficiene π non esise, poiché ogni combinazione lineare di rend socasici è non sazionaria; Nella seconda specificazione, invece, π β e z ε, un disurbo sazionario; Dunque due variabili inegrae sono coinegrae quando esise un relazione economica vera che genera co-movimeno ra le due variabili nel lungo periodo

42 Coinegrazione ed ECM Il eorema di Granger asserisce che se e x sono enrambe I() e coinegrae, esse ammeono la seguene specificazione ECM: dove: β + β x γz + ε z βx

43 L inerpreazione dell ECM Nella rappresenazione ECM, β (il coefficiene nell equazione saica) è il moliplicaore di lungo periodo, β il moliplicaore d impao, γ un coefficiene di feedback; Se l equazione saica: βx + z può essere inerpreaa come una relazione d equilibrio, allora z può essere viso come errore di equilibrio

44 L inerpreazione dell ECM () Il coefficiene di feedback γ: < βx β + β x γz γz βx fa crescere più velocemene al empo quando - è al di soo del suo eorico valore di equilibrio βx - : > + ε z <

45 L inerpreazione dell ECM (3) Nella rappresenazione ECM: β + β x γz + ε le variabili sono ue I() (sazionarie): e x sono prime differenze di un processo I() e z è I() per la definizione di coinegrazione: πx z ~ I ( )

46 Come esare la coinegrazione Preliminarmene si verifica se le variabili sono I() usando il es ADF; Se le variabili sono I(), si sima la seguene relazione: βx + e se ne esa la sazionarieà dei residui mediane il es ADF con I valori criici di Engle and Yoo z Se i residui sono sazionari, le variabili sono coinegrae

47 Grazie per la vosra aenzione