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2 Esercizio a) Applicando il principio di conservazione dell energia delle particelle: E + E E + E i k i p k p si ottiene E E qv k p. All istante iniziale le particelle cariche hanno energia cinetica E i 0, da cui si ricava che l energia cinetica magnetico vale: k Ek di ogni particella carica che raggiunge con velocità v la regione in cui è presente campo E mv k qv, qv v. m Nella regione in cui è presente campo magnetico, essendo B perpendicolare alla velocità, il moto delle particelle è circolare uniorme, con accelerazione centripeta a cp costante ottenuta dall espressione della orza di Lorentz: F macp qvb. La orza di Lorentz non compie lavoro sulla particella, quindi non ne modiica l energia cinetica e il modulo della velocità. b) L accelerazione centripeta di un corpo in moto circolare uniorme è legata al raggio dell orbita: a v cp qv m per cui si ottiene:

3 4V 8V m D. vb B q c) Per ar compiere a particelle cariche negativamente la stessa traiettoria indicata nella igura dell esercizio bisogna utilizzare una dierenza di potenziale V negativa e un campo magnetico B entrante nel piano del oglio.

4 Esercizio a) Sia X l asse che ha per direzione quella della retta che unisce le due cariche. La coordinata x indichi la posizione della carca q 3. La carica q si trovi nell origine di X, mentre la carica q si trovi nel punto di coordinata x d. La orza totale che agisce su q 3 è la somma vettoriale delle orze di Coulomb dovute all interazione elettrostatica di q 3 con q e q, considerate singolarmente. Tale orza ha componente non nulla solo nella direzione X. Tale componente F X ha la seguente espressione (valida in modulo e segno indipendentemente dal segno delle cariche): F X q q3 q q3. 4πε 0 x ( x d) b) l punto x in cui la orza si annulla è dato da: F X 0 q x q ( x d) 3 x 4 d 3 oppure x d. La seconda soluzione corrisponde ad una posizione che non si trova sul segmento che congiunge le cariche q e q e va quindi scartata poiché in quel punto l espressione di F X di cui al punto a) non è più valida. n x la carica q 3, vincolata a muoversi lungo il segmento congiungente q e q, si trova in un punto di equilibrio stabile quando q, q e q 3 hanno lo stesso segno, mentre l equilibrio è instabile quando q, q hanno segno opposto a q 3. Questo perché nel primo caso per ogni piccolo spostamento dalla posizione di equilibrio la orza totale tende a riportare la carica in x, mentre nel secondo ad allontanarla ulteriormente; essendo la orza elettrostatica conservativa, ciò corrisponde al atto che il punto x è un punto di minimo relativo dell energia potenziale nel primo caso e di massimo relativo nel secondo. c) L energia potenziale elettrica di q 3 posta nel punto di coordinata x è la somma delle energie potenziali dovute all interazione con le cariche q e q prese singolarmente. L espressione dell energia potenziale E p di q 3 è quindi pari a (indipendentemente dal segno delle cariche): E p 4πε0 qq3 qq3 + x x d 4 qq3. πε0 d

5 Esercizio 3 a) Due sere suicientemente distanti esercitano eetti di mutua induzione trascurabili. Quindi le due sere si portano ad un potenziale pari rispettivamente a: V V 4πε, 4πε o Q, o Q con Q pari alla carica e pari al raggio della sera. Collegando le due sere con un ilo conduttore, si impone la condizione V V, da cui si ottiene: Q Q. Da si ottiene Q Q. b) Sia q la carica prelevata dal traseritore. Sapendo che 00q Q e che V elettr. 5 V q/c F, si ricava Q C. c) Mettendo a massa l armatura interna della gabbia di Faraday si scherma l armatura esterna dalla carcica contenuta all interno della gabbia. Pertanto, l elettrometro misurerebbe una dierenza di potenziale nulla ra le due armature.

6 Esercizio 4 a) Per simmetria, le linee di orza del campo magnetico B generato dal ilo rettilineo sono delle circonerenze con centro sul ilo stesso e giacenti in piani ad esso perpendicolari. Applicando il teorema della circuitazione si ricava che il modulo B del campo magnetico generato dal ilo ha il seguente valore: B πr, dove r è la distanza dal ilo. l campo magnetico B, in corrispondenza della spira, è diretto dall osservatore verso la pagina ed è perpendicolare al piano della spira stessa. due lati della spira perpendicolari al ilo sono percorsi da correnti di verso opposto. Le orze applicate a ciascuno di essi hanno stesso modulo, sono parallele al ilo rettilineo e hanno versi opposti l una rispetto all altra. La loro risultante è quindi nulla. La orza esercitata su ciascuno dei due lati della spira paralleli al ilo vale: F s L B, ovvero F L F L s πd π s ( d + L) per il lato più vicino al ilo, per il lato più lontano dal ilo. Tali orze sono perpendicolari al ilo. Nei due lati della spira la corrente ha verso opposto. La risultante delle orze agenti sulla spira è diretta verso il ilo e ha modulo pari a: F tot L s N π d d + L

7 b) Con i versi delle correnti indicati in igura il lato della spira viene attratto dal ilo (correnti concordi), mentre quello più lontano ne viene respinto. Siccome la orza è inversamente proporzionale alla distanza, la spira viene attratta dal ilo. c) Per il principio di azione e reazione, la orza che la spira esercita sul ilo è uguale in modulo e direzione ma opposta in verso a quella che il ilo esercita sulla spira.

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