Capitolo 0. Considerazioni preliminari. 0.1 scalari, vettori e tensori

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1 Capitolo 0 Coiderazioi prelimiari 0.1 calari, vettori e teori Nel campo cietifico, coì come ella vita quotidiaa, accade peo di defiire delle quatità per mezzo di u umero (di olito reale) eguito da u uità di miura e queta iformazioe da ola è ufficiete a caratterizzare completamete la gradezza i oggetto. e, per eempio, i dice che la temperatura i u certo puto dello pazio vale T = K o c è più alcua ambiguità ul valore della temperatura i quel puto. È bee preciare che la temperatura itea come gradezza fiica eite i quel puto idipedetemete dalle uità i cui viee eprea; al cotrario la ua miura aume igificato olo ell ambito di u itema di uità pecificato. i può per eempio dire che la temperatura T = K arà T = 100 o C, paado dall uità Kelvi ai gradi cetigradi (Celiu) metre crivere T = 50 eza alcua uità è u epreioe priva di igificato. Le quatità caratterizzate da u uico umero eguito da uità di miura predoo il ome di calari: il valore della reiteza elettrica di u coduttore, la vicoità ciematica di u fluido o la deità di u olido oo tutte gradezze calari. Ci oo altre quatità per le quali u olo valore (co uità di miura) o è ufficiete a caratterizzare la gradezza. e per eempio i dice che ua peroa, partedo da u puto prefiato, i è potata di 5 metri o è poibile dire dove è fiita la peroa a meo di pecificare ache, la retta lugo cui è avveuto lo potameto, oia la direzioe, ed il eo di percorreza della retta, il vero. I uo pazio a tre dimeioi, defiire tutte quete iformazioi richiede l aegazioe di 3 quatità calari, tutte eguite da uità di miura, che, ell eempio i oggetto, oo tre potameti lugo tre direzioi prefiate. Riferedoci alla figura 1a, le direzioi oo defiite da tre ai mutuamete ortogoali (, y, z) metre i veri e le uità di miura oo dati da tre egmeti orietati u oguo degli ai (verori) che defiicoo gli potameti uitari i ogi direzioe. I queto coteto i può crivere = ˆ+ y ŷ + z ẑ oppure =(, y, z ) co =1m, y = z = 2 m, caratterizzado coì completamete lo potameto di 5 metri precedetemete itrodotto. Ache i queto cao è utile preciare che lo potameto i quato tale o dipede è dal itema di riferimeto è dalle uità di miura metre i tre umeri, y ed 5

2 6 CAPITOLO 0. CONIDERAZIONI PRELIMINARI a) z b) z ^z ^ z ^y y y k θ k k^ ^ m^ y m Figura 1: Vettore e ue compoeti i due itemi di riferimeto. z dipedoo da etrambi. Per eempio, uado lo teo itema di riferimeto di figura 1 ma paado dai metri ai pollici (iche) riulterebbe =39.37 i, y = z =55.67 i. Al cotrario e i cotiuae ad uare i metri ma i decrivee lo potameto ella tera di figura 1b riulterebbe = kˆk + m ˆm + ˆ co k = m =0med =5m. Come è evidete dal cofroto tra le figure 1a e 1b le due tere di riferimeto hao l origie i comue e gli ai formao tra loro degli agoli. Detto c ij il coeo dell agolo che uo degli ai della prima tera (i =, y, z) forma co uo degli ai della ecoda tera (j = k, m, ) da emplici cotruzioi geometriche i ricava = c k k + c m m + c ed aaloghe per y e z, (1) k = c k + c ky y + c kz z ed aaloghe per m ed. (2) e le gradezze, y ed z el cambiameto di riferimeto i traformao i k, m ed (o vicevera) eguedo le relazioi (1), (2) allora lo potameto i dice che èu vettore e la tera di valori (i tre dimeioi) che lo defiicoo i qualuque itema di riferimeto oo le ue compoeti. La velocità di u oggetto i qualuque itate, l accelerazioe di gravità o il campo magetico i u puto oo dei vettori metre ua tera di umeri coteete l età del ottocritto, la temperatura odiera a Budapet e la ditaza media terra lua o è evidetemete u vettore i quato cambiado itema di riferimeto o i traforma ecodo le leggi (1), (2). Ritorado ulla figura 1 è evidete che il cocetto di itema di riferimeto è alla bae della defiizioe di vettore e o c è alcu obbligo ello cegliere uguali le uità di miura lugo gli ai, i verori mutuamete ortogoali o il loro orietameto cotate ello pazio. I liea di pricipio, ifatti, qualuque tera di fuzioi vettoriali fuzioi dello pazio che o riultio i alcu puto complaari può eere utilizzata come itema di riferimeto

3 0.1. CALARI, VETTORI E TENORI 7 i uo pazio tridimeioale. Ci oo ifatti cai i cui riulta impoibile cegliere dei verori il cui orietameto i matega cotate (i pei alle coordiate cilidriche o feriche) oppure ituazioi i cui le uità di miura oo divere a ecoda della direzioe (el cao delle traiettorie dei velivoli i cui gli potemeti lugo la uperficie terretre vegoo miurate i kilometri metre le variazioi di quota i metri). e tuttavia i uao le tee uità di miura per i tre ai ed i verori, mutuamete ortogoali, mategoo il loro orietameto cotate ello pazio, allora i parla di itema di riferimeto Carteiao e molti argometi pooo eere itrodotti i maiera otevolmete emplificata. Poiché lo copo di queti apputi è olo quello forire qualche rudimeto da queto puto i poi limiteremo la dicuioe ai itemi di riferimeto Carteiai ed a quatità ivi defiite; i rammeti però che tale celta oltre a o eere l uica poibile i qualche cao o è emmeo la più aturale è la più coveiete. F F F Figura 2: Varie cofigurazioi di forza applicata alla tea uperficie co diveri orietameti Dopo aver itrodotto le gradezze calari ed i vettori oerviamo che eitoo delle quatità che eceitao di maggiori iformazioi dei vettori per poter eere caratterizzate. i pei allo tato di forzo ell itoro di u puto: poiché uo forzo è ua forza (quatità vettoriale) divia per ua uperficie, aremmo tetati di peare che ua volta aegato il vettore forza e l area della uperficie ache lo forzo è defiito. Dagli chemi di figura 2, tuttavia, è evidete che co la tea forza e la tea area i pooo immagiare ifiite ituazioi differeti a ecoda dell orietameto relativo tra la forza e la ormale alla uperficie. Cotemplado tutte le poibili combiazioi tra le compoeti della ormale alla uperficie (3) e le compoeti della forza (3) i coclude che lo tato di forzo è caratterizzato da ove quatità che oo le ue compoeti (i tre dimeioi). Ache i queto cao vale l oervazioe che lo forzo i quato etità fiica va ditito dalle ue compoeti che aumoo igificato olo ell ambito di u itema di uità di miura ed ua tera di riferimeto. Le igole compoeti dello forzo pooo eere idicate da u imbolo eguito da due pedici (per eempio il primo riferito alla compoete delle forza ed il ecodo alla ormale alla uperficie u cui agice) T ij, i, j =, y, z e pooo quidi eere raccolte, i tre dimeioi, i ua matrice 3 3. Aalogamete ai vettori le

4 8 CAPITOLO 0. CONIDERAZIONI PRELIMINARI igole compoeti i devoo traformare otto u cambiameto di riferimeto eguedo regole del tipo T y = c i c yj T ij i, j = k, m, ed aaloghe per le altre compoeti (3) T km = c ik c jm T ij i, j =, y, z ed aaloghe per le altre compoeti (4) i cui T ij e T ij oo, ripettivamete, le compoeti dello forzo ei itemi, y, z e k, m,. Tutte le gradezze co proprietà aaloghe a quelle dello forzo le cui compoeti i modificao i u cambiameto di riferimeto ecodo le relazioi (3), (4) vegoo detti teori del ecodo ordie. Ciò implica che ua qualuque matrice 3 3 i geerale o arà u teore a meo che o oddifi le relazioi (3), (4). U modo alterativo per peare alla defiizioe di teore è ricoiderare la defiizioe di forzo come ua forza divia per ua uperficie ed aociare alla uperficie u vettore diretto come la ua ormale. i arebbe quidi tetati di calcolare il teore degli forzi T come T = f/; purtroppo i algebra vettoriale l operazioe di diviioe tra due vettori o è defiita e quidi l epreioe T = f/ è priva di igificato. Tuttavia a livello di chema metale i può immagiare che i teori del ecodo ordie iao quatità defiite proprio per riolvere l ambiguità itrodotta dall operazioe di diviioe tra due vettori. L operatore, detto abla, rivete u importaza particolare ell algebra dei vettori e dei teori i quato può eere applicato ad etrambi (oltre che agli calari) elevadoe o dimiuedoe l ordie teoriale geerado coì vettori da calari, teori da vettori e vicevera Divergeza Dato u vettore di compoeti (, y, z ) la divergeza di tale vettore i idica co e dà come riultato ua quatità calare defiita come = + y + z. (5) I modo aalogo i può calcolare la divergeza di u teore T il cui riultato arà u vettore di compoeti T = ( T + T y + T z, T y + T yy + T yz, T z + T zy + T ) zz. (6) Da queti eempi i può otare come l operatore divergeza dimiuica di u uità l ordie teoriale della quatità a cui viee applicato per cui retituice uo calare e applicato ad u vettore ed u vettore e applicato ad u teore del ecodo ordie.

5 0.1. CALARI, VETTORI E TENORI Gradiete Coideriamo ora uo calare p che ia fuzioe dello pazio; le variazioi di p lugo le 3 direzioi ortogoali arao date dal vetttore p = ˆ p p + ŷ + p (7) ẑ, che cotituice il gradiete di p. e applichiamo il gradiete ad u vettore =(, y, z ) otteiamo ua quatità co 9 termii = y z che ha le proprietà di u teore. Di uovo da queti eempi cocludiamo che l applicazioe del gradiete ad ua gradezza retituice ua quatità co u ordie teoriale aumetato di ua uità Rotore U ulteriore modo per applicare l operatore abla è moltiplicarlo vettorialmete co u vettore. Il riultato arà ach eo u vettore defiito el eguete modo: = y z y z ( y, z, y ). (9) Tale operazioe prede il ome di rotore ed il riultato, eedo u vettore, ha lo teo ordie teoriale dell elemeto u cui agice Due importati teoremi Il maggior vataggio ell itroduzioe di vettori e teori (e di tutti gli operatori ad ei applicabili) è di redere le relazioi tra gradezze del tutto idipedeti dal itema di riferimeto e quidi molto più maeggevoli e geerali. Ciò apparirà chiaramete quado verrao itrodotte le equazioi di coervazioe e di bilacio per u fluido oppure quado e e vogliao crivere le relazioi otteute i u particolare itema di riferimeto.nella derivazioe delle equazioi meioate i ricorre a due teoremi che vegoo qui brevemete ricordati. ia V u determiato volume e ia la uperficie che lo delimita co la ormale ucete dalla uperficie e defiita i ogi puto di ea. e a è u vettore o u teore i defiice fluo di a u la quatità a d. e la uperficie è regolare (o può eere decompota i u umero fiito di uperfici regolari) e e a è differeziabile co derivate cotiue allora riulta adv = a d. (10) V (8)

6 10 CAPITOLO 0. CONIDERAZIONI PRELIMINARI Queta relazioe è molto utilizzata per traformare itegrali di volume i itegrali di uperficie o vicevera quado ciò poa emplificare la trattazioe. L epreioe (10) va otto il ome di teorema della divergeza o teorema di Gree o di Gau o di Otrogradky (o di qualche combiazioe di queti omi prei a coppie) e può ache eere applicato ad ua fuzioe calare f ella forma V fdv = fd. ia ora ua uperficie delimitata da u cotoro chiuo C e ia C orietato i modo tale che percorredolo el vero poitivo i abbia empre a iitra. ia ioltre la ormale alla uperficie e ia diretta dalla parte dell oervatore che percorredo C i vero poitivo la vede putare dalla ua parte. e di uovo è regolare (o può eere decompota i u umero fiito di uperfici regolari) e e a è u vettore differeziabile co derivate cotiue u allora vale la eguete relazioe ( a) d = C a dl, (11) i cui dl è l elemeto di C orietato el vero poitivo. La relazioe (11) è detta teorema di toke o teorema della circuitazioe (o teorema della circolazioe, i ambito fluidodiamico) e viee uato per traformare degli itegrali di uperficie i itegrali di liea.