Geometria Analitica nello Spazio

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1 Geometria Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015

2 Equazione della retta - forma parametrica Se sono dati il punto A(x 0, y 0, z 0 ) e il vettore v (v x, v y, v z ), il generico punto P (x, y, z) appartenente alla retta r per A e di v si ottiene dalla relazione OP = OA + AP che, tradotta in equazioni, restituisce x = x 0 + λ v x y = y 0 + λ v y z = z 0 + λ v z 2

3 Equazione della retta - forma cartesiana Eiminando λ dalle tre equazioni, otteniamo il sistema x x 0 v x = y y 0 v y y y 0 v y = z z 0 v z Questo sistema rappresenta la stessa retta in forma cartesiana. 3

4 Equazione del piano Come é noto, tre punti identificano univocamente un piano. Supponiamo assegnati i tre punti A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ) e C(x 3, y 3, z 3 ) che definiscono il piano α. Allora il generico punto P (x, y, z) α sará identificato da OP = OA + λ AB + µ AC cioé (x 2 x 1 )λ + (x 3 x 1 )µ = x x 1 (y 2 y 1 )λ + (y 3 y 1 )µ = y y 1 (z 2 z 1 )λ + (z 3 z 1 )µ = z z 1 4

5 Equazione del piano Il sistema scritto non é compatibile se le tre equazioni sono indipendenti; quindi deve risultare nullo il determinante della matrice completa A: x 2 x 1 x 3 x 1 x x 1 det y 2 y 1 y 3 y 1 y y 1 = 0 z 2 z 1 z 3 z 1 z z 1 Adesso si tratta di sviluppare questo determinante. 5

6 Equazione del piano Risulta: a {}}{{}}{ y 2 y 1 y 3 y 1 x 2 x 1 x 3 x 1 (x x 1 ) (y y 1 )+ z 2 z 1 z 3 z 1 z 2 z 1 z 3 z 1 quindi b c {}}{ x 2 x 1 x 3 x 1 + (z z 1 ) = 0 y 2 y 1 y 3 y 1 a(x x 1 ) + b(y y 1 ) + c(z z 1 ) = 0 6

7 Equazione del piano Possiamo ulteriormente lavorare sull equazione: {}}{ ax + by + cz + ( ax 1 by 1 cz 1 ) = 0 quindi, finalmente: ax + by + cz + d = 0 che è l equazione canonica del piano nello spazio. d 7

8 Il prodotto scalare in R 3 (e in R n ) É definito il prodotto scalare fra due vettori in R 3 (e in R n ) come in R 2 : Se v (v x, v y, v z ) e w = (w x, w y, w z ): v w := v x w x + v y w y + v z w z e in generale N v w := v k w k k=1 8

9 La norma di un vettore in R 3 (e in R n ) La nozione di prodotto scalare appena introdotta nello spazio R n consente di definire la norma o misura del vettore v come v := (v v) 1 2 Definizione ragionevole perché v : non risulta mai negativa. è nulla se e solo se v = 0. rispetta la disuguaglianza triangolare (in ogni triangolo la misura di un lato non supera la somma delle misure degli altri due). 9

10 L angolo fra due vettori in R n - Definizione Definiamo l angolo fra due vettori attraverso il suo coseno. In particolare: Definiamo coseno dell angolo θ compreso fra due vettori v e w la quantità cos θ := da cui risulta 1 cos θ 1 v w v v 10

11 L angolo fra due vettori in R n - Proprietà Se due vettori sono paralleli, w = λv con λ > 0, da cui cos( vw) = v w v v = v λ v v λv = λ v 2 λ v 2 = 1 Se due vettori sono antiparalleli, w = λv con λ < 0, da cui cos( vw) = v λv v λv = λ v 2 λ v 2 = 1 Si diranno ortogonali due vettori v e w per cui si ha v w = 0 É facile infatti verificare che il prodotto scalare misura il prodotto fra la lunghezza di un vettore e quella della proiezione su di esso dell altro; risulta allora naturale associare l angolo retto al caso in cui tale proiezione è nulla, cioè quando cos θ = 0 o v w = 0. 11

12 Lo spazio metrico L insieme dei vettori di R n, con le operazioni di somma di vettori e prodotto per uno scalare (un numero reale nel nostro caso) e le proprietà che ben conosciamo, prende il nome di spazio vettoriale. Se in uno spazio vettoriale si introduce una norma, si parla allora di spazio vettoriale normato. Attraverso la norma è possibile definire una metrica: a questo punto si parla di spazio metrico. 12

13 Il versore normale al piano Definiamo direzione normale al piano α come quella del vettore che risulta perpendicolare a tutte le rette di α. Il versore ˆn in tale direzione, uscente dalla faccia positiva del piano, prende il nome di versore normale allo stesso. Il vettore ˆn normale al piano ax + by + cz + d = 0 ha componenti a, b, c. Infatti, P, Q α, il vettore P Q ha componenti (x Q x P, y Q y P, z Q z P ), e si ha P Q ˆn =(x Q x P, y Q y P, z Q z P ) (a, b, c) = =a(x Q x P ) + b(y Q y P ) + c(z Q z P ) = =ax Q + by Q + cz Q (ax P + by P + cz P ) = = d + d = 0 ( ) Il versore normale ha componenti a a 2 +b 2 +c 2, b a 2 +b 2 +c 2, c a 2 +b 2 +c 2 13

14 Piano per un punto di giacitura assegnata Il piano per A(x A, y A, z A ) di normale n (a, b, c) ha equazione a(x x A ) + b(y y A ) + c(z z A ) = 0 infatti il piano passa per A ed ha per normale n. 14

15 Condizione di parallelismo fra due piani Due piani a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 e sono paralleli se hanno la stessa giacitura, cioè la stessa direzione normale. Allora deve essere (a 1, b 1, c 1 ) = k(a 2, b 2, c 2 ) cioè Figura : Piani paralleli a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 15

16 Condizione di perpendicolarità fra due piani Due piani a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 e sono perpendicolari se lo sono le loro normali: (a 1, b 1, c 1 ) (a 2, b 2, c 2 ) = 0 dunque Figura : Piani ortogonali a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0 16

17 Condizione di complanarità fra due rette Due rette r ed s sono complanari, dunque non sghembe, se tutti i punti dell una appartengono ad un piano che contiene tutti i punti dell altra. Questo accade se e solo se due punti qualunque della prima retta appartengono allo stesso piano di due punti qualunque della seconda retta. Quindi il tutto si può ricondurre ad identificare due punti sulla prima retta e due sulla seconda, e poi a verificare che i quattro punti siano complanari. A quel punto, verificata la complanarità restano due possibilità: o sono parallele o sono incidenti. 17

18 Condizione di parallelismo fra due rette Figura : Rette parallele Due rette s ed s di parametri direttori l 1, m 1, n 1 ed l 2, m 2, n 2 rispettivamente, sono parallele se hanno la stessa direzione, cioè se (l 1, m 1, n 1 ) = k(l 2, m 2, n 2 ) cioè l 1 = m 1 = n 1 l 2 m 2 n 2 18

19 Condizione di perpendicolarità fra due rette Due rette s ed s di pararmetri direttori l 1, m 1, n 1 ed l 2, m 2, n 2 rispettivamente, sono perpendicolari se (l 1, m 1, n 1 ) (l 2, m 2, n 2 ) = 0 dunque l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 Figura : Rette perpendicolari 19

20 Condizione di parallelismo retta-piano La retta r di parametri direttori l,m,n è parallela al piano π di coefficienti a,b,c se è perpendicolare alla normale al piano, cioè se al + bm + cn = 0 20

21 Condizione di perpendicolarità retta-piano Una retta r è perpendicolare al piano π se ha la direzione del suo versore normale. Se sono l,m,n i parametri direttori della retta ed a,b,c i coefficienti dell equazione del piano, allora occorre e basta che sia a l = b m = c n 21

22 Distanza fra due punti La distanza fra due punti A e B è data dalla norma del vettore AB, cioè δ AB = AB = = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 Figura : Distanza fra due punti che prende il nome di teorema di Pitagora tridimensionale. 22

23 Il prodotto vettoriale - Definizione Dati i due vettori v e w, si definisce il loro prodotto vettoriale come v w = î ĵ ˆk v x v y v z w x w y w z = = (v y w z v z w y )î + (v z w x v x w z )ĵ + (v x w y v y w x )ˆk Si tratta adesso di capire che caratteristiche ha questo vettore e perché si è scelto di definirlo in questa maniera. 23

24 Il prodotto vettoriale - Conseguenze della definizione Alcune conseguenze dirette: Il prodotto vettoriale è anticommutativo: v w = w v. Vale v, v v = 0 É distributivo rispetto alla somma: a (b + c) = a b + a c É compatibile col prodotto per uno scalare: λa b = a λb Non è associativo (quindi chiamarlo prodotto è in qualche modo fuorviante: il prodotto è tipicamente associativo). 24

25 Il prodotto vettoriale - Direzione Dimostriamo che il prodotto vettoriale a = v w è ortogonale a entrambi i vettori, e quindi al piano che li contiene. Infatti, sviluppando, v (v w) = v (v y w z v z w y )î+ + (v z w x v x w z )ĵ + (v x w y v y w x )ˆk v x v y w z v x v z w y + v y v z w x v y v x w z + v z v x w y v z v y w x = 0 e analogamente per w (v w) = 0 25

26 Il prodotto vettoriale - Modulo Dimostriamo che è v w 2 = (1 cos 2 θ) v 2 w 2 = v 2 w 2 (v w) 2 Primo membro: (v y w z v z w y ) 2 + (v z w x v x w z ) 2 + (v x w y v y w x ) 2 = = vyw 2 z 2 + vzw 2 y 2 + vzw 2 x 2 + vxw 2 z 2 + vxw 2 y 2 vyw 2 x+ 2 2v y v z w y w z 2v x v z w x w z 2v x v y w x w y 26

27 Il prodotto vettoriale - Modulo (cont.) Secondo membro: (vx 2 + vy 2 + vz)(w 2 x 2 + wy 2 + wz) 2 (v x w x + v y w y + v z w z ) 2 = = vxw 2 x 2 + vxw 2 y 2 + vxw 2 z 2 + vyw 2 x 2 + vyw 2 y+ 2 +vyw 2 z 2 + vzw 2 x 2 + vzw 2 y 2 + vzw 2 z+ 2 vxw 2 x 2 vyw 2 y 2 vzw 2 z+ 2 2v y v z w y w z 2v x v z w x w z 2v x v y w x w y Che è uguale al primo membro. Resta così dimostrato che v w = 1 cos 2 θ v w La funzione 1 cos 2 θ prende il nome di sin θ. 27

28 Il prodotto vettoriale - Modulo (cont.) che, dopo opportune semplificazioni, è (vx 2 + vy 2 + vz)(w 2 x 2 + wy 2 + wz) 2 (v x w x + v y w y + v z w z ) 2 = = vxw 2 x 2 + vxw 2 y 2 + vxw 2 z 2 + vyw 2 x 2 + vyw 2 y+ 2 +vyw 2 z 2 + vzw 2 x 2 + vzw 2 y 2 + vzw 2 z+ 2 vxw 2 x 2 vy 2 2v y v z w y w z 2v x v z w x w z 2v x v y w x w y uguale al primo membro. Resta così dimostrato che v w = 1 cos 2 θ v w La funzione 1 cos 2 θ prende il nome di sin θ. 28

29 Il prodotto vettoriale - Proprietà Figura : La regola della mano destra Restano quindi dimostrati alcuni fatti: Il prodotto vettoriale è un vettore ortogonale al piano degli altri due. Il modulo è il prodotto dei moduli per il seno dell angolo tra essi compreso. Il verso positivo è quello destrorso, che si individua mediante la regola della mano destra. 29

30 Il prodotto vettoriale - Interpretazione geometrica L espressione a b sin θ rappresenta il doppio dell area del triangolo determinato dai vettori a e b. Figura : Il prodotto vettoriale Ma allora si ha a b = area del parallelogramma di lati a e b. Figura : Il prodotto vettoriale 30

31 Il prodotto misto Definiamo il prodotto misto a x a y a z a (b c) = b x b y b z c x c y c z Figura : Il prodotto misto che, preso in modulo, consente di calcolare il volume del parallelepipedo identificato dai tre vettori. 31

32 La distanza fra un punto e una retta Stiamo cercando P P, cateto del triangolo AP P, di ipotenusa AP. Allora P P = AP sin P AP, dunque δ P,r = AP b dove b è il versore della retta r ed A è un qualsiasi punto su r. Figura : Distanza fra un punto e una retta 32

33 La distanza fra un punto e un piano É sufficiente prendere un punto B π a caso e poi osservare che la distanza cercata è la proiezione di BP sulla normale al piano, per cui δ P,π = P B ˆn Figura : Distanza tra un punto e un piano 33

34 la distanza fra due rette Se le rette sono incidenti, la distanza è 0. In tutti gli altri casi (sghembe o parallele), la distanza si calcola proiettando scegliendo un punto P ed uno Q a caso su ciascuna retta, e poi calcolando il modulo del prodotto scalare δ r,s = P Q ˆn Figura : Distanza fra due rette Come trovare il versore normale ad entrambe le rette? Se conosciamo due vettori a e b che hanno le direzioni delle due rette, allora ˆn = a b a b 34

35 La distanza fra una retta e un piano Molto semplice: se la retta interseca il piano la loro distanza è nulla. In caso contrario, se la retta è parallela al piano, basta prendere a caso un punto A su di essa e calcolare la distanza tra A e il piano: δ A,π = AB ˆn Figura : Distanza fra una retta e un piano 35

36 La distanza fra due piani Ancora una volta, se i piani sono incidenti la distanza è nulla. Altrimenti, cioè se sono paralleli, si prende un punto a caso A sul primo ed uno B sul secondo e si calcola δ π1,π 2 = AB ˆn Figura : Distanza fra due piani 36

37 Il teorema delle tre perpendicolari E data una retta r normale al piano π e chiamiamo H il piede di r su π. Sempre su π prendiamo una retta arbitraria t. Per H conduciamo la retta s perpendicolare a t. Allora il piano α delle rette r ed s è perpendicolare a t. Figura : Il teorema delle tre perpendicolari 37

38 Il teorema delle tre perpendicolari - Dimostrazione Scegliamo la retta r coincidente con l asse z e π sia il piano Oxy, di equazione z = 0. La retta arbitraria t passa per P (x P, y P, 0) ed ha parametri direttori (l, m, 0). Per H, conduciamo s t, quindi i suoi parametri saranno (m, l, 0). Un vettore n perpendicolare sia ad r che ad s è normale ad α: î ĵ ˆk n = = l î + m ĵ m l 0 quindi n (l, m, 0). Ma si tratta proprio degli stessi parametri direttori di t. Quindi t risulta normale al piano α, che è quanto si voleva dimostrare. 38

39 Il teorema di Carnot Figura : Il teorema di Carnot Dato il triangolo qualunque ABC, calcoliamo il quadrato della lunghezza del lato BC: BC 2 = w v 2 = = w w + v v 2v w = = v 2 + w 2 2 v w cos θ = = AB 2 + AC 2 2AB AC cos θ che è proprio l espressione del teorema di Carnot. 39