Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario.

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1 LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA Il cndidto risolv uno di du problmi di qusiti sclti nl qustionrio.

2 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico PROBLEMA Si ABC un tringolo quiltro di lto. Dl vrtic A, intrnmnt l tringolo, si conduc un rtt r, ch orm l ngolo con il lto AB, sino B C, rispttivmnt, l proizioni ortogonli su r di vrtici B C.. Si clcoli il rpporto: BB CC lo si sprim in unzion di tn, controllndo ch risult:. Prscindndo dll qustion gomtric, si studi l unzion s n trcci il grico.. Si dtrminino l coordint dl punto in cui l curv incontr il suo sintoto si scriv l quzion dll tngnt d ss in tl punto.. Si dtrmini l r dll suprici pin, pprtnnt l II qudrnt, dlimitt dgli ssi crtsini, dll curv dl suo sintoto. Punto Considrimo l igur sgunt. RISOLUZIONE Applicndo il torm di tringoli rttngoli l tringolo ABB si h BB sin ; pplicndo lo stsso torm l tringolo ACC si h CC sin con. BB CC Di consgunz il rpporto vl

3 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv tn tn sin sin sin sin sin sin sin sin sin S tn si h: tn prtnto tn tn L limitzion gomtric sull ngolo può ssr riport sull vribil visto ch tn. Si h tn tn Punto Studimo dll unzion Dominio: R ; Intrszioni ss sciss: i. prtnto non ci sono intrszioni con l ss dll sciss; Intrszioni ss ordint: ; Simmtri: l unzion non è nè pri nè dispri; Positività: poichè si il numrtor ch il dnomintor dll unzion sono smpr positivi, si dduc ch ss è smpr positiv in tutto il dominio R; Asintoti vrticli: non v n sono in qunto il dominio è R;

4 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico Asintoti orizzontli: poichè lim si dduc ch l rtt di quzion è sintoto orizzontl dstro sinistro; Asintoti obliqui: trttndosi di unzion rzionl rtt, l prsnz dll sintoto orizzontl sclud l prsnz di qullo obliquo; Crscnz dcrscnz: l drivt prim è 8 6 ; qust ultim è positiv s il numrtor è positivo ssndo il dnomintor smpr positivo nl dominio prtnto l unzion è positiv s R, ngtiv pr,,. Di consgunz l unzion è strttmnt crscnt in strttmnt dcrscnt in, prsnt prtnto un minimo rltivo in mssimo rltivo in M, com mostr il qudro di sgni sottostnt. m, un Drivt prim: Concvità convssità: l drivt scond è - Qudro di sgni ; notimo ch,,, prtnto norm dl torm dgli zri l drivt scond si nnull in tr punti pprtnnti gli intrvlli,,,,,. Di consgunz l unzion prsnt tr lssi tngnt obliqu. Possimo clcolr l sciss di tr lssi pplicndo ll unzion h, il mtodo di Nwton-Rphson ch prmtt di clcolr lo zro in mnir ricorsiv ttrvrso l ormul

5 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv n n n n n n n 6 6 n n n n Dtrminimo lo zro, Poichè h. h llor il punto inizil d cui prtir con l lgoritmo è. Di sguito l tbll ch mostr i pssi dll lgoritmo: n n n n n n L soluzion, -, -,78 - -,78 -,78, -,78 -,77, -,77 -,77, -,77 -,77, crct è, 77. Dtrminimo lo zro,. Poichè h h llor il punto inizil d cui prtir con l lgoritmo è. Di sguito l tbll ch mostr i pssi dll lgoritmo: n n n n n n -, -,9 - -,9 -,76,9 -,76 -,76, -,76 -,76, L soluzion, crct è, 76. Dtrminimo lo zro,. Poichè h h llor il punto inizil d cui prtir con l lgoritmo è. Di sguito l tbll ch mostr i pssi dll lgoritmo:

6 6 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico n n n n n n L soluzion, Di sguito il grico,,76 -,76,7,,7,9,9,9,9,,9,9,,9,9, crct è, 9. Considrndo l limitzion gomtric il grico dll unzion di sguito rigurto in blu. è

7 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv 7 Notimo ch s si h BB CC coincidnt con l ltzz dl tringolo quiltro di lto ; s si h CC BB coincidnt con l ltzz dl tringolo quiltro di lto. In mbo i csi il rpporto BB CC tnd CC BB Intti pr sostituzion dirtt ritrovimo ch Punto L curv incontr il il suo sintoto nl punto in cui è soddistto il sgunt sistm

8 8 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico ovvro nl punto in cui è soddistt l quzion d cui si ricv di consgunz il punto di intrszion, C L rtt tngnt in, C h quzion m dov 8 m prtnto l quzion dll tngnt è Di sguito nllo stsso ririmnto crtsino il grico l unzion dll tngnt.

9 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv 9 Punto L rgion dlimitt, nl scondo qudrnt, d, dgli ssi crtsini dll sintoto obliquo è rigurt di sguito.

10 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico L su r è pri d S Poichè l unzion è scomponibil com l intgrndo divnt l intgrl è pri :,. ln rctn ln rctn ln d d S

11 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv PROBLEMA Dl trpzio ABCD si hnno l sgunti inormzioni: l bs mggior AB l bs minor DC misurno rispttivmnt m m, l ltzz dl trpzio misur m l tngnt dll ngolo BA ˆ D è ugul.. Si clcolino l r di quttro tringoli in cui il trpzio è diviso d un su digonl di sgmnti ch uniscono il punto mdio di qust con gli strmi dll ltr digonl.. Si dtrminino, con l iuto di un clcoltric, l misur, in grdi primi sssgsimli, dgli ngoli dl trpzio.. Ririto il pino dl trpzio d un convnint sistm di ssi crtsini, si trovi l quzion dll prbol Γ vnt l ss prpndicolr ll bsi dl trpzio pssnt pr i punti B, C, D.. Si dtrminino l r dll du rgioni in cui il trpzio è diviso d Γ. Punto Considrimo l igur sgunt. RISOLUZIONE I tringoli ACD ACB hnno stss ltzz, prtnto l loro r sono proporzionli ll rispttiv bsi, ovvro SACD SACB di consgunz SACD SABCD. SACB SABCD Si E il punto mdio dll digonl AC; i tringoli AED DEC hnno ugul r in qunto hnno du lti congrunti gli ngoli tr ssi comprsu supplmntri, prtnto

12 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico SAED AE ED sinaed ˆ EC ED sin AED ˆ SDEC. Stsso discorso vl pr i tringoli AEB CEB: SAEB AE EB sinaeb ˆ EC EB sin AEB ˆ SCEB Di consgunz SAED SDEC SACD SABCD SAEB SCEB SACB SABCD L r dl trpzio è S ABDC prtnto SAED SDEC SABCD SAEB SCEB SABCD Punto Pr ipotsi si s ch l tngnt dll ngolo BA ˆ D è ugul prtnto ˆ BAD rctn 68 di consgunz ADˆ C 8 68 ssndo il supplmntr di BA ˆ D. Poichè l tngnt BA ˆ D è ugul, dl torm di tringoli rttngoli si dduc ch il sgmnto AH misur ˆ DH DH AH tn BAD AH ; di consgunz il sgmnto KB misur KB tn BAD ˆ pplicndo il torm di tringoli rttngoli si dduc ˆ ˆ CK ABC tn ABC CK KB tn d cui ABˆ C rctn 7 KB B Cˆ D Di sguito il trpzio con gli ngoli clcolti.

13 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv Punto Considrimo un sistm di ririmnto con origin in, H. In qusto sistm di ririmnto i vrtici dl trpzio sono,,,, D C B A L prbol h quzion gnric c b. Imponndo il pssggio pr B,C D si h: c c b c b d cui c b c b b L quzion dll prbol prtnto è.

14 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico Punto L rgioni in cui l prbol divid il trpzio sono di sguito rigurt indict con,. L prbol intrsc l ss dll sciss non solo in B, m nch in I l cui coordint si ricvno risolvndo l quzion I di consgunz il punto I h coordint I,. L r dll rgion è pri ll r dl tringolo ADH cui v sottrtt l r dl sgmnto prbolico nll intrvllo, : B

15 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv 7 d ADH S S L r dll rgion è pri ll r dl sgmnto prbolico nll intrvllo, cui v ggiunt l r dl trpzio rttngolo DHBC: DHBC S d S Si noti ch S S coincidnt con l r dl trpzio ADCB.

16 6 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico QUESTIONARIO Qusito E dto il sttor circolr AOB, di cntro O, rggio r mpizz. Si inscriv in sso il rttngolo PQMN, con M d N sul rggio OB, Q sull rco P su OA. Si dtrmini l ngolo Considrimo l igur sgunt. QOB ˆ, inchè il primtro dl rttngolo si mssimo. Applicndo il torm di sni l tringolo QOP si h: sin QO QP sinqop ˆ r QP QO r sin sinqpo ˆ sinqop ˆ sinqpo ˆ sin QO OP sinoqp ˆ sin r OP QO r sin sinqpo ˆ sinoqp ˆ sinqpo ˆ sin Applicndo il torm di tringoli rttngoli l tringolo NOP si h: r NP OPsin sin r sin Di consgunz il primtro dl rttngolo PQMN è: r p sin r sin r sin sin Sviluppndo i clcoli, tnndo conto dll ormul di sottrzion pr il sno si h: p r sin sin sin r sin L mssimizzzion dl primtro l ttuimo mdint drivzion:

17 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv 7 r r p tn sin Poichè l gomtri dl problm impon, in suddtto intrvllo l unzion no è smpr positiv, il sgno dll drivt prim dipnd dl ttor tn, prtnto tn tn r p ovvro, visto ch il ttor è smpr positivo nll intrvllo,, l drivt prim è positiv in,rctn ngtiv in, rctn il primtro è mssimo pr 9. rctn. S Il primtro mssimo è pri, quindi, : rctn r r r p tn rctn Drivt prim: r p tn - Qudro di sgni

18 8 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico Qusito Quli sono i polidri rgolri? Prchè sono dtti solidi pltonici?. Un polidro si dic rgolr qundo l su cc sono poligoni rgolri congrunti i suoi ngoloidi sono congrunti. Prtnto gli ngoli dll cc di ogni suo ngoloid dvono ssr ngoli di poligoni rgolri dvono ssr lmno tr. Inoltr, pr un noto torm di gomtri solid, in ogni ngoloid l somm dgli ngoli dll cc è minor strttmnt di 6. S l cc dl polidro sono tringoli quiltri, l ngolo di ogni cci è di 6, quindi si possono vr ngoloidi di tr cc (si ottin il ttrdo), di quttro cc (si ottin l ottdro), di cinqu cc (si ottin l idro) m non di più, prché l loro somm srbb mggior o ugul 6 ciò è impossibil pr il suddtto torm. S l cc dl polidro rgolr sono qudrti, l ngolo di ogni cci è di 9, quindi si può vr solo l ngoloid di tr cc (si ottin il cubo). S l cc dl polidro rgolr sono pntgoni rgolri, l ngolo di ogni cci è di 8, quindi si può vr l ngoloid di tr cc (si ottin il dodcdro) m non di più. S l cc dl poligono rgolr sono sgoni rgolri, l ngolo di ogni cci è di quindi non si possono vr polidri rltivi prché l somm dgli ngoli di tr cc è 6 il ch è impossibil. Anlogmnt non è possibil truir polidri rgolri vnti pr cc poligoni rgolri con più di si lti. Quindi i polidri rgolri sono : ttrdro, ottdro, idro, cubo, dodcdro. Vngono chimti pltonici in qunto Plton nl suo dilogo Timo ssoci il ttrdro, lottdro, il cubo, lidro rispttivmnt qulli ch rno llor ritnuti i quttro lmnti ondmntli: uoco, ri, trr cqu. Il dodcdro, non rlizzbil unndo opportunmnt tringoli rttngoli (com invc vvin pr i polidri citti), vniv invc ssocito ll immgin dl mo intro. Qusito Si scriv l quzion dll tngnt l grico dll unzion: log nl punto P di ordint. Si può procdr in du modi, o prtndo dirttmnt dll unzion log o invrtndo qust ultim pr riportrl ll orm clssic. Il lgm tr l drivt di un unzion l su invrs in un punto, è il sgunt:

19 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv 9 Prtimo dll unzion log. Il punto, è log,,. L drivt dll unzion è pri log log log d d d d prtnto. Di consgunz l quzion dll tngnt è pri ln ln S invrtimo l unzion log, si h log L drivt di è prtnto log log log log Di consgunz l quzion dll tngnt è pri ln coincidnt con qull già prcdntmnt trovt. Di sguito il grico di dll tngnt di quzion ln.

20 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico Qusito Un solido h pr bs l rgion R dlimitt dl grico di log dll ss sull intrvllo,. In ogni punto di R distnz dll ss, l misur dll ltzz dl solido è dt d h. Qul srà il volum dl solido? Ogni szion dl solido h r prtnto il volum dl solido è pri Applicndo l intgrzion pr prti si h: A log V A d log d V log d log

21 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv Qusito Un ro civil viggi in volo orizzontl con vlocità tnt lungo un rott ch lo port sorvolr Vnzi. D uno squrcio nll nuvol il comndnt vd l luci dll città con un ngolo di dprssion di 7. Tr minuti più trdi ricompiono nuovmnt l luci, qust volt prò l ngolo di dprssion misurto è di. Qunti minuti srnno ncor ncssri prchè l ro vng trovrsi sttmnt sopr l città? Considrimo l igur sgunt. Si s ch Q A ˆP 7 Q B ˆP. Applicndo il torm di tringoli rttngoli l tringolo AOQ si h OQ AO tn8 HQ AO tn 77.,, pplicndolo l tringolo BHQ si h Di consgunz OH AO tn8 AO tn77 AOtn 8 tn77 Il trtto AB è AB. stto prcorso un vlocità mtro v scondo tnt in minuti, ovvro in 8 scondi, qusto signiic ch l lunghzz di AB è AB v 8 8 v mtri di consgunz AO tn 8v 8 tn77 PBQ si ricv BP PQ tn77. Applicndo il torm di tringoli rttngoli v tn77 8 tn77 8 tn vlocità di volo è tnt, pr prcorrr i, v v, v mtri. Poichè l, v mtri pr trovrsi sopr Vnzi,,. 6 sono ncssri, scondi ovvro,minuti

22 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico In ltrntiv vrmmo potuto rgionr in qusto modo. Pr il torm sui tringoli rttngoli PQ PB tn PA tn7 tn7 7 tn tn AB PA PB PQ tn PQ ; di connsgunz PB AB tn tn7 tn7. Poichè l vlocità è tnt i trtti AB PB vngono prcorsi in tmpi ch sono proporzionli ll lunghzz di trtti, ovvro T : T AB PB d cui si ricv AB PB : tn7 tn7 PB : TPB TAB, minuti com prcdntmnt trovto. AB tn Qusito 6 Si considri l curv d quzion. L curv h sintoti? In cso rmtivo, s n dtrminino l quzioni. Il dominio dll unzion è R in qunto trttsi di un unzion rdic con sponnt dispri, di consgunz non sistono sintoti vrticli. Poichè lim lim orizzontli. Controllimo l prsnz di sintoti obliqui. Si h: dducimo ch non sistono gli sintoti m lim lim q lim prtnto l rtt Anlogmnt lim lim lim è sintoto obliquo dstro. m lim lim q lim prtnto l rtt lim lim lim è sintoto obliquo sinistro.

23 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv In conclusion l unzion prsnz solo un sintoto obliquo, dstro sinistri, di quzion. Qusito 7 Un cubo di lgno di pioppo (dnsità,8 g cm ) d un ttrdro rgolr di cristllo (dnsità,g cm ) hnno ntrmbi lo spigolo l cm. Qul di du h l mss mggior? Il cubo di lto l cm h volum V Cubo l cm di consgunz un mss M Cubo VCubo,8 8, grmmi. Il ttrdro di lto l cm h volum di consgunz un mss V Ttrdro l cm M Ttrdro VTtrdro, 9 grmmi. Di consgunz l mss dl ttrdro è mggior di qull dl cubo.

24 N. D Ros, L prov di mtmtic pr il lico Qusito 8 Tommso h truito un modllo di ttrdro rgolr vuol colorr l cc, ognun con un color divrso. In qunti modi può rlo s h disposizion colori? E s invc si oss trttto di un cubo? Avndo disposizion un ttrdro rgolr colori, è possibil colorr l cc in! modi.!6! S bbimo disposizion un cubo colori, è possibil colorr l 6 cc in! modi. 6!6! Prtnto non dirnz s si trtt di un ttrdro o cubo in qunto vl l proprità binomil n n. k n k Qusito 9 Si clcoli il vlor mdio dll unzion: nll intrvllo. L unzion clcolr il suo vlor mdio in,. Il vlor mdio richisto è pri : è dinit in, d è continu in, V M, 78 d d Qusito Si controlli s l unzion tn sin 7,, prtnto è possibil, nll intrvllo chiuso, vriic l ipotsi dl torm di Roll, in cso rmtivo, si clcoli l sciss di punti ov si nnull l drivt prim. Il torm di Roll può ssr ì nuncito. Si :, b R. S è continu in, b, drivbil in, b b, llor c, b: c. Nl cso in sm, l ipotsi dl torm di Roll non sono soddistt in qunto, nll intrvllo chiuso,, l unzion tn sin 7 non è dinit in in

25 Lico scintiico di ordinmnto sssion suppltiv corrispondnz dl qul l unzion tngnt, di consgunz tn sin 7 divrg.,