Sezioni in c.a. La flessione semplice

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1 Sezioni in.a. La fleione emplie Teramo, febbraio 2004 Maro Muratore Sezioni in.a. La fleione emplie ARGOMENTI 1. Verifia di ezioni inflee 2. Progetto di ezioni inflee 3. Coniderazioni ulla duttilità 4. Differenze tra T.A. e S.L.U. 1

2 Verifia allo S.L.U. di ezione rettangolare Quando il legame tenioni-deformazioni non è lineare non è più poibile appliare le formule della Sienza delle otruzioni ma oorre rifari direttamente alle ondizioni di equilibrio tra tenioni e deformazioni N σ da M z da y σ M y da z σ z n 1 y N 1 N+N ε σ z n 2 y N 2 N+N ε σ Verifia allo S.L.U. di ezione rettangolare Quando il legame tenioni-deformazioni non è lineare non è più poibile appliare le formule della Sienza delle otruzioni ma oorre rifari direttamente alle ondizioni di equilibrio tra tenioni e deformazioni N σ da M z da y σ M y da z σ Fleione emplie retta Fleione ompota retta 2

3 Verifia a fleione di ezione rettangolare - Equilibrio Dati noti: Geometria della ezione Armature Equilibrio alla tralazione Inognite Diagramma di deformazione Momento reitente N N N ' h d n A u A ε ε ' σ N N z κ A ε N b Verifia a fleione di ezione rettangolare - Equilibrio Alle Tenioni Ammiibili? 3

4 Verifia a fleione di ezione rettangolare - Equilibrio Dati Geometria della ezione Armature Inognite Diagramma di tenione Momento reitente Equilibrio alla tralazione N N ' + N 0 + n A σ σ / n N N 3 h d z σ / n N A b Verifia a fleione di ezione rettangolare Contributo Cl 1) Contributo del aletruzzo ompreo la parte omprea ha un area b e la riultante delle tenioni di ompreione vale N α f b β d h d n A u A ε ε ' σ N N z κ A ε N b 4

5 Verifia a fleione di ezione rettangolare Contributo Cl 1) Contributo del aletruzzo ompreo Il oeffiiente di riempimento β dipende dal diagramma di deformazione. Se la deformazione maima nel l è inferiore a ε 1 In partiolare per ε ε 1 η 1.00 β0.666 y β η ε ε 1 1 η 3 σ σ N ε η ε κ 1 Verifia a fleione di ezione rettangolare Contributo Cl 1) Contributo del aletruzzo ompreo Il oeffiiente di riempimento β dipende dal diagramma di deformazione. Se la deformazione maima nel l è uperiore a ε 1 1 ε β 1 η 3 η ε 1 In partiolare per ε ε u η 1.75 β ε ε1 σ N2 d2 1 N1 d1 5

6 Verifia a fleione di ezione rettangolare Contributo A 2) Contributo dell armatura tea In ao di fleione l armatura tea è generalmente nervata (1) N σ A A f σ yd f h d n A u A ε ε ' σ N N yd z κ A ε N b Verifia a fleione di ezione rettangolare Contributo A 3) Contributo dell armatura omprea In ao di fleione l armatura omprea è peo nervata ( 1); dipende oprattutto da /d N σ A u A f yd σ f h d n A u A ε ε ' σ N N yd z κ A ε N b 6

7 Verifia a fleione di ezione rettangolare - Deformazioni Le tenioni σ e σ devono eere riavate dalle deformazioni ε ed ε tenendo onto della legge otitutiva elatia-perfettamente platia dell aiaio. ε χ ε χ ( ) ε χ ( d) h d n A u A ε ε ' σ N N z κ A ε N b Verifia a fleione di ezione rettangolare - Deformazioni Per un aegnata poizione dell ae neutro, il diagramma limite omporterà il raggiungimento della deformazione ε u al bordo ompreo oppure di ε u in orripondenza dell armatura tea. Nel primo ao i ha: Nel eondo ao i ha: ε u ε u χ χ d d 1 ξ ξ γ ε εu εu ε ε u ε u ξ d 1 ξ ξ γ ξ ε εu ε ε u ε u ε u ξ d 1 ξ Le deformazioni ε,ε,ε ono funzioni di 7

8 Verifia a fleione di ezione rettangolare - Proedura In generale, quindi, i potrebbe proedere per tentativi: - aegnando una poizione per l ae neutro, - individuando il orripondente diagramma limite - individuando il relativo tato tenionale - alolando le tre forze N,N,N. Se la omma algebria di quete è nulla la poizione dell ae neutro è eatta Equilibrio alla tralazione Verifia a fleione di ezione rettangolare Momento reitente Determinata la poizione dell ae neutro i può alolare il momento reitente: M Rd N z h d n A u A ε ε ' σ N N z κ A ε N b 8

9 Verifia a fleione di ezione rettangolare Momento reitente Il valore del oeffiiente k dipende dal diagramma limite di deformazione. Se la deformazione maima nel l è inferiore a ε 1 In partiolare per ε ε 1 η 1.00 κ0.375 y κ ε ε η 1 η σ / 4 σ / 3 N ε η ε κ 1 Verifia a fleione di ezione rettangolare Momento reitente Il valore del oeffiiente k dipende dal diagramma limite di deformazione. Se la deformazione maima nel l è uperiore a ε η 6 η ε κ η 2 1 ε 1 1 In partiolare per ε ε u 3 η ε σ η ε1 κ0.416 N2 d2 1 N1 d1 9

10 ESEMPIO N 1 Verifia a fleione emplie di una ezione rettangolare L iola Lahea (ACITREZZA) Foto Amatray Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Dati noti: Geometria: 3050 Armature: A 4φ20 A 4φ14 (FeB44k) Inognite? M rd? h d n A u A ε ε ' σ N N z κ A ε N b 10

11 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro: 1 tentativo Anzihé proeder a ao, è utile individuare una prima poizione di tentativo dell ae neutro on qualhe ragionamento. Una ezione orrettamente progettata per la fleione avrà un diagramma limite quai iuramente riadente nei ampi 2 o 3, per i quali l armatura tea è nervata N f yd A kn Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro:1 tentativo Per quanto riguarda l armatura omprea, non i può dire on altrettanta iurezza he anh ea ia nervata. Se foe oì, i avrebbe N 1 f yd A kn Infine, e la deformazione del aletruzzo raggiungee il valore limite ε u il oeffiiente di riempimento β varrebbe e la forza N arebbe proporzionale ad N / α f d b β kn/m 11

12 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro: 1 tentativo In queto ao i potrebbe riavare immediatamente la poizione dell ae neutro he garantie l equilibrio alla tralazione ' N + N + N 0 N + N N / N m Si aegna ome primo tentativo 8.94 m. N + N ' Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro: 1 tentativo Il orripondente diagramma limite di deformazioni deve annullari in orripondenza dell ae neutro e raggiungere il valore limite: - al bordo uperiore (ε ε u ) - o nell armatura inferiore (εε u 0.010). Nel primo ao i avrebbe: χ ε u / / m -1 ε ( ) (valore non aettabile) 12

13 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro: 1 tentativo La riultante delle tenioni di ompreione vale 1 N kn Inoltre l armatura omprea non è nervata e i ha σ ε E MPa 1 N kn La ondizione di equilibrio alla tralazione non è ripettata N N + N kn + Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro: 2 tentativo La riultante delle tenioni normali è poitiva, ioè di trazione. Oorre quindi aumentare il valore di in modo da aumentare il ontributo delle tenioni di ompreione. Supponendo he non varino né N né β, i potrebbe aumere ome nuovo valore di N + N N / pre m /

14 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro: 2 tentativo Con queta poizione dell ae neutro il diagramma limite di deformazione non può orripondere al raggiungimento della deformazione limite in orripondenza dell armatura inferiore, perhé i avrebbe χ ε u /( d) m -1 ε (valore non aettabile) Il diagramma limite riade in ampo 3, β0.810 ed entrambe le armature (tea e omprea) ono nervate: N kn N kn N kn N N + N kn + Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione dell ae neutro: oluzione In queto ao la riultante delle tenioni normali è negativa, ioè di ompreione, ed oorre ridurre il valore di. Proedendo on ulteriori tentativi i trova: m ε χ m β 0. N kn ε σ MPa N kn ε σ MPa N kn N N + N kn 0 14

15 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione del momento reitente La poizione della riultante delle tenioni di ompreione nel aletruzzo i trova ad una ditanza k dal bordo uperiore: ε η > 1 ε κ η 6 η η Si trova k0.400, ioè k 4.04 m (dal bordo ompreo). Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare Determinazione del momento reitente La riultante delle tenioni di ompreione di trova: N k + N N + N ioè a 4.02 m (dal bordo ompreo) Il braio della oppia interna è z d m ed il momento limite della ezione è ' ' M Rd N z knm 15

16 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare in aenza di ε u Dati noti: Geometria: 3050 Armature: A 4φ20 A 4φ14 (FeB44k) Inognite? M rd? h d n A u A ε ε ' σ N N z κ A ε N b Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare in aenza di ε u Determinazione dell ae neutro: 1 tentativo Si proede ome nel preedente eempio N N N / α f f yd A f yd A d 1 b β kn kn kn/m N + N N / m

17 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare in aenza di ε u Per le ipotei fatte il diagramma limite di deformazioni deve raggiungere il valore limite al bordo uperiore: ε ε u , χ ε u / m -1 Le oneguenti deformazioni nelle armature ono ε ( ) ε ( ) Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare in aenza di ε u Entrambe le armature (tea e omprea) ono quindi nervate N kn N kn La riultante delle tenioni ul aletruzzo è N kn N + N + N 0.1kN 0 17

18 Eempio -Verifia a fleione di ezione rettangolare in aenza di ε u La poizione dell ae neutro ipotizzata è quella effettivamente neearia per l equilibrio ε u 1 3η 6 η η 1.75 > 1 κ ε η Il braio della oppia interna è: z m Il momento limite della ezione è M Rd N z knm Verifia a fleione di ezioni generihe Sezioni rettangolari Sezioni quai rettangolari Sezioni non rettangolari Equilibrio alla tralazione N ' + N + N 0 18

19 Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Teatro greo di Taormina Foto Roario Trifirò Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Si aegni un qualiai diagramma limite di deformazioni, individuato dalla ditanza dell ae neutro dal bordo uperiore. h d n ε σ N C κ z N T b A ε 19

20 Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie La forza di ompreione vale NC α fd b β ed è appliata ad una ditanza κ dal bordo ompreo d n ε σ N C κ z N T b A ε Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie La ondizione di equilibrio alla rotazione ripetto all armatura tea i rive 2 M NC ( d κ) bd βξ 1 κξ α f ( ) d d n ε σ N C κ z N T b A ε 20

21 Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Ponendo: d r n 1 i ha: βξ( 1 κξ) α f M bd 2 d r 2 ε σ d r b r N C M b κ z M d 2 N T b A ε Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Per onferire alla ezione una buona duttilità può aumeri ome diagramma di deformazioni di riferimento un diagramma aratterizzato dall attingimento di ε u nel l ompreo ε 1% nell aiaio teo. 21

22 Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Utilizzando tale diagramma (per brevità hiamato C ), per il quale è ξ0.259, β0.810, κ0.416, per un aletruzzo di lae R k 25 MPa i ha r T.A T.A ( ) T.A T.A r βξ T.A ( 1 ) κξ σ T.A ESEMPIO N 2 Progetto a fleione di una ezione rettangolare a emplie armatura Il atello (ACICASTELLO) Foto Franeo Raiti 22

23 Eempio-Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Dati di partenza: - momento flettente M d 200 knm - diagramma di deformazioni C Inognite - dimenioni della ezione b, h - armatura A ε σ N C κ n h d z N T ε b A Eempio-Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Utilizzando il diagramma C, per il quale è: - ξ0.259, - β0.810, - κ0.416 Per un aletruzzo di lae R k 25 MPa i ha r r 1 β ξ (1 κ ξ ) α f d ( )

24 Eempio - Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Si aume per l elemento infleo una larghezza b 30 m T.A. d M r b T.A h d m 200 knm 0.30 m 200/ knm 0.57 m T.A m Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Progetto dell armatura Per quanto riguarda il progetto delle armature, l equilibrio alla rotazione ripetto al punto di appliazione di N fornie l epreione M A z f yd ε on σ N z ζ d C ζ 1 κ ξ h d n κ z b A ε N T 24

25 Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Progetto dell armatura Faendo riferimento al diagramma di deformazioni C, i ha ζ e i può quindi anora uare l epreione approimata A 09. M d f Alle tenioni ammiibili la formula è analoga A M 0.9dσ yd Eempio - Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Si ha : ς f MPa ( FeB44k) yd A y M z f z m 0.50 T.A. 200/ knm 200 knm m 0.50 m MPa d S yd T.A. 255 MPa T.A m 2 25

26 Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Sezione a doppia armatura In maniera analoga, per ezione a doppia armatura i può giungere alle formule M bd r 2 2 d r M b b r M d 2 r dipende dal rapporto u tra armatura omprea ed armatura tea. 1 u 1 γ r k r 1+ k 1 u 2 k 1 u 1 κ ξ S.L.U. per fleione emplie Il oeffiiente r o r I valori dipendono otanzialmente - dal tipo di aletruzzo - dalla perentuale u di armatura omprea; - dal rapporto γ tra opriferro ed altezza utile (ha influenza olo per ezioni molto bae) Il tipo di aiaio non interviene direttamente, perhé il limite di deformazione ε u è uguale per tutti gli aiai, ma può omportare olo modete variazioni ulla tenione dell armatura omprea (σ σ ). 26

27 S.L.U. per fleione emplie Confronto tra i oeffiienti r o r : S.L.U. Caletruzzo R k 25 MPa Aiaio α f d MPa FeB44k f yd MPa ξ κ ξ γ per u 0 r u 0.25 r u 0.50 r ESEMPIO N 3 Progetto a fleione di una ezione rettangolare a doppia armatura 27

28 Eempio - Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Dati di partenza: - momento flettente M 200 knm - diagramma limite di deformazioni C Inognite - dimenioni della ezione b, h - armatura A ε σ N C κ n h d z ε N T b A Eempio - Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Utilizzando il diagramma C, per il quale è ξ0.259, β0.810, κ0.416, per un aletruzzo di lae R k 25 MPa i ha r r 1 β ξ (1 κ ξ ) α f d ( ) Si aume un' armaturain ompreione del 25% : k 1 u r k r

29 Eempio - Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Utilizzando il diagramma C, per il quale è ξ0.259, β0.810, κ0.416, per un aletruzzo di lae R k 25 MPa i ha Caletruzzo R k 25 MPa α f d MPa Aiaio FeB38k FeB44k f yd MPa f yd MPa ξ ξ κ ξ κ ξ γ per u 0 r u 0.25 r u 0.50 r Eempio - Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Si aume per l elemento infleo una larghezza b 30 m M 200 knm d r 0.19 b 30m h d m 0.49 m 29

30 Progetto di ezione rettangolare allo S.L.U. per fleione emplie Progetto dell armatura Per quanto riguarda il progetto delle armature, l equilibrio alla rotazione ripetto al punto di appliazione di N fornie l epreione M A z f yd on z ζ d ζ 1 κ ξ + u ( κ ξ γ) Con buona approimazione M A 09. df yd Eempio - Progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Si ha : ς f MPa ( FeB44k) yd y z m 0.41 A M z f 200 knm m MPa S d yd L armatura omprea è: A u A m ' S 13.0m

31 Feta di S.Agata (CATANIA) Foto Roario Trifirò Alune rifleioni ulla duttilità della ezione Un parametro fondamentale nel valutare il modo in ui la ezione giunge al ollao è la duttilità, definita ome rapporto tra la rotazione ultima e la rotazione orripondente allo nervamento dell armatura tea Una ezione he preenti una rottura duttile dà hiari egnali di preavvio (elevata feurazione, notevole inremento della deformazione) he poono mettere in allarme e onentire interventi prima del rollo. In zona imia la apaità di deformari platiamente permette di diipare on ili iteretii 31

32 Eempio - Duttilità della ezione Sezione 3050 M d 300 knm Cl Rk25 MPa Aiaio FeB44k Si ono prei in eame più ai, orripondenti al raggiungimento dello tato limite in ampi diveri, ottenuti utilizzando quattro perentuali di armatura omprea: u0.6 u0.3 u0.08 u0 Eempio - Duttilità della ezione CASO 1 (u0.6) ε m χ M nervamento SLU A 11.5 m 2 ezione u0.6 A 19.2 m χ ε m ε

33 Eempio - Duttilità della ezione CASO 2 (u0.3) ε m χ M nervamento SLU ezione u A 6.2 m 2 A 20.6 m 2 χ ε m ε Eempio - Duttilità della ezione CASO 3 (u0.08) ε m χ M SLU ezione u A 1.9 m 2 A 23.5 m 2 χ ε m ε

34 Eempio - Duttilità della ezione CASO 4 (u0) ε m χ M SLU ezione u χ A 0 A 50.0 m 2 ε m ε Duttilità della ezione E la quantità di armatura tea preente nella ezione a determinare in quale ampo i avrà il ollao le ezioni poono eere denominate - ezioni ad alta duttilità, o ezioni a debole armatura, quando i raggiunge la deformazione limite nel ampo 2; - ezioni a media duttilità, o ezioni a media armatura, quando i raggiunge la deformazione limite nel ampo 3; - ezioni a baa duttilità, o ezioni a forte armatura, quando i raggiunge la deformazione limite nel ampo 4. In fae di progetto è empre bene mirare ad ottenere una buona duttilità e quindi a rientrare nel ampo 2 o al più nel ampo 3. 34

35 Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie Confronto tra i oeffiienti: oniderazioni Il oeffiiente r SLU è ira il 20% più piolo di r TA. Il valore di alolo del ario F d (e quindi di M d ) è maggiore di ira il 40-50% ripetto a F k (e quindi di M k ) Il prodotto (r 2 M d ) aume in entrambi i ai all inira lo teo valore l altezza d alolata mediante la formula è otanzialmente la tea in entrambi i ai. Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie ALLO S.L.U. Per Md200kNm - per una ezione a emplie armatura r d 0.57 ALLE T.A. Mk 200/ knm - per una ezione a emplie armatura r d

36 Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 2 - Contributo dell armatura omprea Il ontributo dell armatura omprea è invee ira doppio ripetto al ao delle tenioni ammiibili (nel eno he u0.50 allo SLU equivale ira a u1.00 alle TA). Ciò è dovuto al fatto he nel ao di tato limite ultimo l armatura omprea lavora al maimo, o quai ( 1) mentre nel metodo delle tenioni ammiibili ea ha un tao di lavoro molto più bao di quello ammiibile ( ). Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 2 - Contributo dell armatura omprea SLU l armatura omprea lavora al maimo T.A. l armatura omprea ha un tao di lavoro molto più bao di quello ammiibile ( 1) ( ) u0.50 allo SLU u1.00 alle T.A. 36

37 Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie ALLO S.L.U. Per Md200kNm ALLE T.A. Mk 200/ knm - per una ezione on il 25% di armatura omprea r d per una ezione on il 25% di armatura omprea r d 0.57 Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 3 Margini progettuali I valori propoti per il oeffiiente r ono tati alolati on riferimento a ben preii diagrammi di tenione o deformazione. Coa ambia nei due metodi faendo variare il tao di lavoro dell armatura? 37

38 Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 3 Margini progettuali (T.A.) Alle T.A., i utilizzano i valori limite delle tenioni σ e σ. Se i ua σ < σ la parte omprea aumenta l altezza neearia diminuie. La riduzione di tenione rende neearia una quantità di armatura maggiore proporzionata al vantaggio he potrebbe omportare la riduzione di ezione Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 3 Margini progettuali (T.A.) Ad eempio Se σ 0.5 σ A 2 A d 0.85 d i può ridurre l altezza olo del 15%. I margini di manovra del progettita ono limitati. 38

39 Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 3 Margini progettuali (T.A.) In alternativa per ridurre d i può aumentare A. Anhe queto non è troppo vantaggioo: per u 1 d 0.70 d u0 (Riduzione del 30%) A tot 3 A,u0 (e i tiene onto anhe dell effetto della riduzione dell altezza) I margini di manovra del progettita ono limitati. Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 3 Margini progettuali (S.L.U.) Nel ao dello tato limite ultimo, i è mirato a raggiungere ontemporaneamente: ε ε u ε ε u Se ε ε u σ f yd (almeno fino a ε yd ) Cree, anhe notevolmente, il ontributo del aletruzzo ompreo 39

40 Confronto ul progetto di una ezione rettangolare a fleione emplie 3 Margini progettuali (S.L.U.) Se: A 2 A A parità di ezione i trova Mrd 1.80 Mrd Si può ridurre l altezza di oltre il 30%. Veduta u Iola Bella Foto Giueppe Aordino 40