Teoremi di Green, Stokes e Gauss

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1 pprofondimenti Teoremi di Green, Stokes e Guss In quest sezione dimostrimo i Teoremi di Greendetto nche Formul di Guss-Green, di Stokes o del rotore e di Guss o dell divergenz. 1.1 Teorem di Green 1.1 Teorem di Green o formul di Guss-Green Sino Ω R 2 perto non vuoto, F : Ω R 2 un cmpo vettorile di clsse C 1, F f 1,f 2, Ω un perto limitto tle che Ω è il sostegno di un curv prmetric chius, semplice e regolre trtti γ :,b Ω. Supponimo che si orientmento positivmente. llor F dp f2 x x,y f 1 y x,y dxdy. imostrzione. Considerimo inizilmente lcuni csi prticolri e poi procedimo con il cso generle. 1 Supponimo che l insieme si dell form { } x,y R 2 : < x < b, αx < y < βx, dove α,β :,b R sono due funzioni di clsse C 1 tli che αx < βx per ogni x,b vedi Fig nlogmente si procede se è dell form { } x,y R 2 : < y < b, αy < x < βy, dove α,β :,b R sono due funzioni di clsse C 1 tli che αy < βy per ogni y,b. 1

2 2 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II y y βx γ 3 γ 4 γ 2 γ 1 y αx O b x Fig. 1.1: L insieme. Si h che imγ imγ 1 imγ 2 imγ 3 imγ 4, dove γ 1 t t,αt, t,b, γ 3 t γ 4 t γ 2 t b,t, t αb,βb, b+t b,βb+t b, t 0,1,,β+tα β, t 0,1. Poiché le quttro curve sono orientte in modo coerente con il verso di percorrenz ntiorrio indotto d γ su, si h che F dp γ F dp F dp + F dp + F dp + F dp γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 b βb Fγ 1 t γ 1tdt+ Fγ 2 t γ 2tdt+ αb Fγ 3 t γ 3tdt+ Fγ 4 t γ 4tdt 0 0 essendo F f 1,f 2, γ 1 t 1,α t, γ 2 t 0,1, γ 3 b, bβ t b+t b, γ 4 t 0,α β, si h b βb f 1 t,αt +α tf 2 t,αt dt+ f 2 b,tdt+ αb

3 1.1 Teorem di Green bf 1 b+t b, βb+t b + bβ b+t bf 2 b+t b, βb+t b dt α β f 2,β+tα β dt operndo le sostituzioni s b+t b e s β+tα β rispettivmente nel terzo e qurto integrle si ottiene b βb f 1 t,αt+α tf 2 t,αt dt+ f 2 b,tdt+ αb Si h che b β f 1 s,βs+β sf 2 s,βs ds f 2,sds. α b b b b f 1 t,αtdt f 1 s,βsds f 1 x,αxdx f 1 x,βxdx b f 1 x,βx f 1 x,αx dx essendo f 1 di clsse C 1 e quindi l funzione f 1 y continu, 1.2 b βx αx f 1 y x,ydy f 1 dx y x,ydxdy. Considerimo le funzioni G :,b R R R e ϕ :,b R definite d x,b, u,v R : Gx,u,v x,b : ϕx βx αx v u f 2 x,ydy, f 2 x,ydy, Evidentemente si h che ϕx Gx,αx,βx, per ogni x,b. Per il Teorem di derivzione sotto il segno di integrle 2 si h che G è derivbile rispetto x con x,b, u,v R: G x x,u,v v u f 2 x x,ydy. 2 Teorem di derivzione sotto il segno di integrle. Sino I,J due intervlli chiusi e limitti diref : I J R un funzione continu. Supponimo che f mmett derivt przile rispetto x e che l funzione f : I J R si continu. x llor l funzione g : I R definit d è derivbile e si h che x I : gx x I : g x J J fx,ydy f x x,ydy.

4 4 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II Essendo α e β derivbili, nche ϕ risult derivbile per composizione e, pplicndo l regol dell derivt przile dell funzione compost e il Teorem fondmentle del clcolo integrle, si h che per ogni x,b ϕ x G G x,αx,βx + x u x,αx,βx α x+ G v x,αx,βx β x Ne segue che βx αx f 2 x x,ydy +β xf 2 x,βx α xf 2 x,αx. βb αb β βb β f 2 b,tdt f 2,sds f 2 b,ydy f 2,ydy ϕb ϕ α αb α per il Teorem di Torricelli-Brrow b ϕ xdx b βx αx f 2 x x,ydy +β xf 2 x,βx α xf 2 x,αx dx Quindi f 2 x x,ydxdy + b f b 2 x x,ydxdy + β xf 2 x,βx α xf 2 x,αx dx b β sf 2 s,βsds α tf 2 t,αtdt. b 1.3 b βb β α tf 2 t,αtdt β sf 2 s,βsds+ f 2 b,tdt f 2,sds αb α Ne segue che b F dp b b f 2 x x,ydxdy. βb f 1 t,αt+α tf 2 t,αt dt+ f 2 b,tdt+ αb β f 1 s,βs+β sf 2 s,βs ds f 2,sds α b b b f 1 t,αtdt f 1 s,βsds+ α tf 2 t,αtdt β sf 2 s,βsds+ βb β + f 2 b,tdt f 2,sds αb α per 1.2 e 1.3 f 1 y x,ydxdy + f 2 x x,ydxdy f2 x x,y f 1 y x,y dxdy.

5 1.1 Teorem di Green 5 y 2 1 γ O x Fig. 1.2: L insieme Supponimo che l chiusur di si suddivisibile nell unione delle chiusure di due insiemi dell form considert nel cso precedente, d esempio si 1 2, dove 1 2 { } x,y R 2 : 1 < x < b 1, α 1 x < y < β 1 x, { } x,y R 2 : 2 < y < b 2, α 2 y < x < β 2 y, con α 1,β 1,α 2,β 2 soddisfcenti ipotesi conformi con il cso precedente nlogmente negli ltri csi. llor si h che 1 f2 x x,y f 1 y x,y f2 x x,y f 1 y x,y dxdy dxdy + per il cso precedente pplicto d 1 e 2 F dp + F dp f2 x x,y f 1 y x,y dxdy Gli integrli di line sui trtti dei bordi di 1 e 2 interni d in Fig. 1.2 l line trtteggit sono clcolti due volte, m cus del verso di percorrenz opposto indotto dlle curve che prmetrizzno questi trtti dei bordi di 1 e 2 l loro somm è null. Quindi si ottiene f2 x x,y f 1 y x,y dxdy F dp + F dp 1 2 γ F dp F dp.

6 6 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II 3 Cso generle: si dimostr che se è un insieme soddisfcente le ipotesi, llor l su chiusur è suddivisibile nell unione di un numero finito di chiusure di insiemi dell form considert nel punto 1. pplicndo il procedimento del punto 2 questi insiemi si giunge ll tesi.

7 1.2 Teorem di Stokes Teorem di Stokes 1.4 Teorem di Stokes o del rotore Sino Ω R 3 perto non vuoto, F : Ω R 3 un cmpo vettorile di clsse C 1, F f 1,f 2,f 3, R 2 un perto limitto connesso per rchi tle che è l unione di un numero finito di sostegni due due disgiunti di curve prmetriche chiuse, semplici e regolri trtti, e σ : Ω un clott regolre con σ orientmento positivmente. llor σ F dp σ rotf n, dove rotf è il rotore del cmpo F, definito formlmente d i j k x,y,z Ω : rotfx,y,z x y z. f 1 x,y,z f 2 x,y,z f 3 x,y,z imostrzione. imostrimo per semplicità il Teorem nell ipotesi ulteriore che σ si di clsse C 2. Per brevità espositiv, nel seguito dt un funzione ϕ ϕx 1,x 2,,x n denoteremo l derivt przile rispetto ll vribile x i con ϕ xi e l derivt przile rispetto lle vribili x i e x j con ϕ xi x j. Si γ :,b R 2 un curv prmetric semplice e regolre che prmetrizz il bordo di essendo σ di clsse C 2 esiste un prmetrizzzione regolre di. Ponimo η σ γ. Quindi η :,b Ω è un prmetrizzzione del bordo di Σ, dove Σ σ. Si h che σ F dp η F dp b Fηt η tdt essendo η t J σ γtγ t, dove J σ γt è l mtrice Jcobin di σ in γt b Fσγt J σ γtγ t dt. Considerimo il cmpo vettorile G : R 2 definito d Gu,v Fσu,vJ σ u,v. 3 Osservimo che Fσγt J σ γtγ t Gγt γ t. 3 Si intende il prodotto mtricile fr l mtrice 1 3 vettore rig Fσu,v e l mtrice 3 2 J σu,v.

8 8 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II Inftti, Fσγt J σ γtγ t f 1 σγt,f 2 σγt,f 3 σγt σ 1,u γt σ 1,v γt γ σ 2,u γt σ 2,v γt 1 t γ 2 σ 3,u γt σ 3,v γt t per l proprietà ssocitiv del prodotto mtricile σ 1,u γt σ 1,v γt γ f 1 σγt,f 2 σγt,f 3 σγt σ 2,u γt σ 2,v γt 1 t γ 2 σ 3,u γt σ 3,v γt t }{{} Gγt Gγt γ t. Quindi σ F dp b b Fσγt J σ γtγ t dt Gγt γ t G dp γ e pplicndo il Teorem di Green l cmpo vettorile G g 1,g 2 si ottiene 1.5 g2 u u,v g 1 v u,v dudv, dove g 1 u,v f 1 σu,vσ 1,u u,v+f 2 σu,vσ 2,u u,v+f 3 σu,vσ 3,u u,v, g 2 u,v f 1 σu,vσ 1,v u,v+f 2 σu,vσ 2,v u,v+f 3 σu,vσ 3,v u,v.

9 1.2 Teorem di Stokes 9 Si h che g 2 u u,v g 1 v u,v f 1,x σu,vσ 1,u u,v+f 1,y σu,vσ 2,u u,v+f 1,z σu,vσ 3,u u,v σ 1,v u,v+ +f 1 σu,vσ 1,uv u,v+ + f 2,x σu,vσ 1,u u,v+f 2,y σu,vσ 2,u u,v+f 2,z σu,vσ 3,u u,v σ 2,v u,v+ +f 2 σu,vσ 2,uv u,v+ + f 3,x σu,vσ 1,u u,v+f 3,y σu,vσ 2,u u,v+f 3,z σu,vσ 3,u u,v σ 3,v u,v+ +f 3 σu,vσ 3,uv u,v+ f 1,x σu,vσ 1,v u,v+f 1,y σu,vσ 2,v u,v+f 1,z σu,vσ 3,v u,v σ 1,u u,v+ f 1 σu,vσ 1,vu u,v+ f 2,x σu,vσ 1,v u,v+f 2,y σu,vσ 2,v u,v+f 2,z σu,vσ 3,v u,v σ 2,u u,v+ f 2 σu,vσ 2,vu u,v+ f 3,x σu,vσ 1,v u,v+f 3,y σu,vσ 2,v u,v+f 3,z σu,vσ 3,v u,v σ 3,u u,v+ f 3 σu,vσ 3,vu u,v essendo σ di clsse C 2 le derivte seconde miste delle sue componenti sono uguli e si ottiene f 1,x σu,vσ 1,u u,v+f 1,y σu,vσ 2,u u,v+f 1,z σu,vσ 3,u u,v σ 1,v u,v+ + f 2,x σu,vσ 1,u u,v+f 2,y σu,vσ 2,u u,v+f 2,z σu,vσ 3,u u,v σ 2,v u,v+ + f 3,x σu,vσ 1,u u,v+f 3,y σu,vσ 2,u u,v+f 3,z σu,vσ 3,u u,v σ 3,v u,v+ f 1,x σu,vσ 1,v u,v+f 1,y σu,vσ 2,v u,v+f 1,z σu,vσ 3,v u,v σ 1,u u,v+ f 2,x σu,vσ 1,v u,v+f 2,y σu,vσ 2,v u,v+f 2,z σu,vσ 3,v u,v σ 2,u u,v+ f 3,x σu,vσ 1,v u,v+f 3,y σu,vσ 2,v u,v+f 3,z σu,vσ 3,v u,v σ 3,u u,v 1.6 f 3,y σu,v σ 2,u u,vσ 3,v u,v σ 3,u u,vσ 2,v u,v + f 2,z σu,v σ 2,u u,vσ 3,v u,v σ 3,u u,vσ 2,v u,v + +f 1,z σu,v σ 3,u u,vσ 1,v u,v σ 1,u u,vσ 3,v u,v + f 3,x σu,v σ 3,u u,vσ 1,v u,v σ 1,u u,vσ 3,v u,v + +f 2,x σu,v σ 1,u u,vσ 2,v u,v σ 2,u u,vσ 1,v u,v + f 1,y σu,v σ 1,u u,vσ 2,v u,v σ 2,u u,vσ 1,v u,v.

10 10 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II Inoltre si h che σ rotf n rotfσu,v Nu,vdudv, dove i j k rotfσu,v x y z f 1 σu,v f 2 σu,v f 3 σu,v f 3,y σu,v f 2,z σu,v, f 1,z σu,v f 3,x σu,v, f 2,x σu,v f 1,y σu,v e Quindi i j k Nu,v σ u u,v σ v u,v σ 1,u u,v σ 2,u u,v σ 3,u u,v σ 1,v u,v σ 2,v u,v σ 3,v u,v σ 2,u u,vσ 3,v u,v σ 3,u u,vσ 2,v u,v σ 3,u u,vσ 1,v u,v σ 1,u u,vσ 3,v u,v. σ 1,u u,vσ 2,v u,v σ 2,u u,vσ 1,v u,v rotfσu,v Nu,v f 3,y σu,v f 2,z σu,v, f 1,z σu,v f 3,x σu,v, f 2,x σu,v f 1,y σu,v σ 2,u u,vσ 3,v u,v σ 3,u u,vσ 2,v u,v σ 3,u u,vσ 1,v u,v σ 1,u u,vσ 3,v u,v σ 1,u u,vσ 2,v u,v σ 2,u u,vσ 1,v u,v f 3,y σu,v σ 2,u u,vσ 3,v u,v σ 3,u u,vσ 2,v u,v + f 2,z σu,v σ 2,u u,vσ 3,v u,v σ 3,u u,vσ 2,v u,v + +f 1,z σu,v σ 3,u u,vσ 1,v u,v σ 1,u u,vσ 3,v u,v + f 3,x σu,v σ 3,u u,vσ 1,v u,v σ 1,u u,vσ 3,v u,v + +f 2,x σu,v σ 1,u u,vσ 2,v u,v σ 2,u u,vσ 1,v u,v + f 1,y σu,v σ 1,u u,vσ 2,v u,v σ 2,u u,vσ 1,v u,v Ne segue che σ rotf n g 2 u u,v g 1 v u,v. rotfσu,v Nu,vdudv 1.6 g2 u u,v g 1 v u,v dudv 1.5 σ F dp

11 1.2 Teorem di Stokes 11 che è l tesi. 1.7 Teorem Sino Ω R 3 un perto non vuoto, F : Ω R 3 un cmpo vettorile di clsse C 1, Ω un perto con bordo tle che Ω. llor il flusso si uscente che entrnte del rotore del cmpo F dl bordo di è zero, cioè rotf n 0. imostrzione. È sufficiente dimostrre che il flusso uscente è nullo. Si x 0,y 0,z 0. Osservimo che Σ 1 Σ 2, dove Σ 1 {x,y,z : z z 0 }, Σ 2 {x,y,z : z z 0 }. Si h che Σ 1 Σ 2 {x,y,z : z z 0 } è in generle l unione di un numero finito n di linee chiuse in R 3, ossi Σ 1 Σ 2 Γ i, dove Γ i è un line chius in R 3, per ogni i1 i 1,,n. Per semplicità espositiv supponimo che Σ 1 Σ 2 Γ, con Γ line chius in R 3. z N 2 Σ 2 γ 2 Γ N 1 γ 1 Σ 1 y x Se orientimo Σ 1 e Σ 2 secondo il verso uscente d, si h che rotf n rotf n+ rotf n. Σ 1 Σ 2

12 12 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II Evidentemente Γ Σ 1 Σ 2. Sino γ 1 l curv prmetric chius, semplice e regolre trtti cheprmetrizz Γ insensontiorrio rispettol vettore normlen 1 uscente d Σ 1 e γ 2 l curv prmetric chius, semplice e regolre trtti che prmetrizz Γ in senso ntiorrio rispetto l vettore normle N 2 uscente d Σ 2. Poiché N 1 e N 2 inducono versi di percorrenz opposti su Γ, si h che γ 1 e γ 2 inducono versi opposti su Γ. Per le proprietà degli integrli di line di un cmpo vettorile F dp F dp. γ 1 γ 2 pplicndo il Teorem di Stokes lle superfici Σ 1 e Σ 2 si h che rotf n F dp, rotf n F dp. Σ 1 γ 1 Σ 2 γ 2 Quindi rotf n rotf n+ rotf n F dp + F dp 0. Σ 1 Σ 2 γ 1 γ Osservzione Il Teorem di Green ltro non è che il Teorem di Stokes in due dimensioni. Inftti, sino F : Ω R 2, e γ γ 1,γ 2 soddisfcenti le ipotesi del Teorem di Green supponimo per semplicità espositiv che γ si regolre; se fosse solo regolre trtti, ptto di fre qulche piccol modific, si riotterrebbe lo stesso risultto. z x N γ y Fig. 1.3: L insieme visto come sottoinsieme di R 3. Considerimo il cmpo vettorile Gx,y,z f 1 x,y,f 2 x,y,0 e l clott regolre σ : R 3 definit d σx,y x,y,0. In prtic G è il cmpo F cui è stt

13 1.2 Teorem di Stokes 13 ggiunt l terz componente null mentre σ è l superficie che descrive l insieme visto come sottoinsieme di R 3 ovvero σ prmetrizz il grfico dell funzione identicmente null definit sull insieme. Si osserv che imσ domg. Poiché γ induce su un verso di percorrenz ntiorrio rispetto l versore fondmentle dell sse z vedi Fig. 1.3, nche σ σ, che prmetrizz, deve indurre lo stesso orientmento. Un vettore normle nello spzio tridimensionle imσ che induc un orientmento ntiorrio su rispetto l versore fondmentle dell sse z è Nx,y σ σ x,y x,y 0,0,1. x y pplicndo il Teorem di Stokes G e σ si ottiene 1.9 σ G dp σ rotg n. Un prmetrizzzione equivlente di σ è η :,b R 3 definit d ηt γt,0 γ 1 t,γ 2 t,0. Ne segue che b b Inoltre σ σ G dp η G dp b Gηt η tdt f 1 γt,f 2 γt,0 γ 1 t,γ 2 t,0 dt b f 1 γt,f 2 γt γ 1t,γ 2t dt Fγt γ tdt rotg n b rotgσx,y Nx,ydxdy rotf 1 x,y,f 2 x,y,0 0,0,1dxdy Quindi 1.9 divent F dp che è l formulzione del Teorem di Green. b f2 x x,y f 1 y x,y dxdy. Gγt,0 γ t,0dt f 1 γtγ 1 t+f 2γtγ 2 t dt γ F dp rotgx,y,0 0,0,1dxdy F dp. 0,0, f 2 x x,y f 1 y x,y 0,0,1dxdy f2 x x,y f 1 y x,y dxdy

14 14 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II 1.3 Teorem di Guss 1.10 Teorem di Guss o dell divergenz Sino Ω R 3 un perto non vuoto, F : Ω R 3 un cmpo vettorile di clsse C 1, F f 1,f 2,f 3, Ω un perto con bordo tle che Ω. llor il flusso uscente del cmpo F dl bordo di è dto d F n divfx,y,zdxdydz, dove divf è l divergenz del cmpo F, definit d x,y,z Ω : divfx,y,z f 1 x x,y,z+ f 2 y x,y,z+ f 3 z x,y,z. imostrzione. imostrimo il Teorem nel cso prticolre in cui è un insieme convesso 4 nelle tre direzioni degli ssi coordinti. obbimo dimostrre che 1.11 f 1,f 2,f 3 n f1 x x,y,z+ f 2 y x,y,z+ f 3 z x,y,z dxdydz. Essendo F f 1,f 2,f 3 f 1,0,0+0,f 2,0+0,0,f 3, è sufficiente dimostrre che 1.12 f 1,0,0 n f 1 x x,y,zdxdydz, ,f 2,0 n f 2 y x,y,zdxdydz, ,0,f 3 n f 3 z x,y,zdxdydz. Inftti, sommndo 1.12, 1.13 e 1.14 si ottiene Provimo In modo simile si provno nche 1.12 e Per semplicità espositiv supponimo che, essendo un perto con bordo convesso nell direzione di z, si bbi che è dell form { } x,y,z R 3 : x,y, αx,y z βx,y, dove R 2 è un comptto e α,β : R sono di clsse C 1 con αx,y βx,y per ogni x,y. 5 4 Un insieme R 3 è convesso se per ogni X,Y e per ogni t 0,1 si h che X+tY X,

15 1.3 Teorem di Guss 15 z Σ 3 z βx,y Σ 2 x Σ 1 z αx,y y Fig. 1.4: Un possibile semplice rppresentzione dell insieme. Quindi Si h che Σ 1 Σ 2 Σ 3 con Σ 1 { } x,y,z R 3 : x,y, z αx,y, { } Σ 2 x,y,z R 3 : x,y, αx,y z βx,y, { } Σ 3 x,y,z R 3 : x,y, z βx,y. 0,0,f 3 n 0,0,f 3 n+ 0,0,f 3 n+ 0,0,f 3 n. Σ 1 Σ 2 Σ 3 Essendo Σ 1 il grfico dell funzione α : R, si h che Σ 1 σ 1 dove σ 1 x,y x, y, αx, y. Quindi 0,0,f 3 n Σ 1 0,0,f 3 σ 1 x,y N 1 x,ydxdy, ovvero se il segmento che unisce X e Y è tutto contenuto in. n m 5 In generle si h che α α i i e β β jh j, dove i,h j sono comptti di R 2 i1 i1 n m tli che i H j, i p e H j H q hnno l più in comune solo prti dei loro bordi, e j1 α i : i R e β j : B j R sono funzioni di clsse C 1 definite rispettivmente su i e B j perti di R 2 tli che i i e H j B j. j1

16 16 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II dove N 1 x,y è un vettore normle l pino tngente Σ 1 in σ 1 x,y uscente d. Essendo N 1 x,y α x x,y, α y x,y,1 α α x,y, x y x,y, 1, si ottiene 0,0,f 3 n 0,0,f 3 σ 1 x,y N 1 x,ydxdy Σ 1 α α 0,0,f 3 x,y,αx,y x,y, x y x,y, 1 dxdy f 3 x,y,αx,ydxdy. Essendo Σ 3 il grfico dell funzione β : R, si h che Σ 3 σ 3 dove σ 3 x,y x,y,βx,y. Quindi 0,0,f 3 n Σ 3 0,0,f 3 σ 3 x,y N 3 x,ydxdy, dove N 3 x,y è un vettore normle l pino tngente Σ 3 in σ 3 x,y uscente d. Essendo N 3 x,y β x x,y, β y x,y,1, si ottiene 0,0,f 3 n 0,0,f 3 σ 3 x,y N 3 x,ydxdy Σ 3 0,0,f 3 x,y,βx,y β x x,y, β y x,y,1 dxdy f 3 x,y,βx,ydxdy. Infine, osservimo che Σ 2 è l porzione del cilindro retto generto dlle rette prllele ll sse z pssnti per il bordo di. Quindi in ogni punto di Σ 2 il vettore normle N 2 l pino tngente Σ 2 in tle punto è ortogonle un di queste rette e di conseguenz è ortogonle l versore k 0,0,1. In prticolre N 2 0,0,f 3 0. Ne segue che se σ 2 : 2 R 3 è un prmetrizzzione di Σ 2, llor In definitiv 1.15 Considerimo or 0,0,f 3 n 0,0,f 3 σ 2 u,v N 2 u,vdudv 0. Σ 2 2 0,0,f 3 n 0,0,f 3 n+ 0,0,f 3 n+ 0,0,f 3 n Σ 1 Σ 2 Σ 3 f 3 x,y,βx,y f 3 x,y,αx,y dxdy. f 3 z x,y,zdxdydz.

17 1.3 Teorem di Guss 17 Integrndo per fili prlleli ll sse z, si h che che è f βx,y 3 z x,y,zdxdydz f 3 αx,y z x,y,zdz dxdy f 3 x,y,βx,y f 3 x,y,αx,y dxdy ,0,f 3 n, 1.16 Osservzione Il Teorem di Green ltro non è che il Teorem di Guss in due dimensioni. Inftti, sino F f 1,f 2, e γ γ 1,γ 2 soddisfcenti le ipotesi del Teorem di Green supponimo per semplicità espositiv che γ si regolre; se fosse solo regolre trtti, ptto di fre qulche piccol modific, si riotterrebbe lo stesso risultto. Un vettore normle imγ nel punto γt è Nt γ 2 t, γ 1 t. Inftti, essendo γ t il vettore tngente imγ in γt, si h che Nt γ t γ 2t, γ 1t γ 1t,γ 2t γ 2tγ 1t γ 1tγ 2t 0. Il versore ssocito è nt Nt Nt γ 2 t, γ 1 t γ. t y γt γ t γ 1t γ 2t γ 1t γ 2t Nt O x Fig. 1.5: L insieme e i vettori tngenti e normli.

18 18 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II Osservimo vedi Fig. 1.5 che questo versore è esterno d. Considerimo il cmpo vettorile G f 2,f 1. nche G è di clsse C 1 e pplicndo il Teorem di Green l cmpo G si ottiene f1 G dp x x,y+ f y x,y dxdy divfx,ydxdy, dove divfx,y f 1 x x,y+ f 2 x,y è l divergenz del cmpo vettorile F. Considerimo or l integrle curvilineo di prim specie dell funzione f F n lungo y il bordo di orientto positivmente. Si h che b F nds F nds Fγt nt γ t dt b b γ f 1 γt,f 2 γt f 2 γt,f 1 γt 1.17 segue che 1.18 γ 2 t, γ 1 tdt b b Nt Fγt Nt b γ 1 t,γ 2 tdt Gγt γ tdt F nds γ t dt f 1 γtγ 2 t f 2γtγ 1 t dt divfx,ydxdy, γ G dp G dp. che è l versione bidimensionle del Teorem dell divergenz, dove l integrle di sinistr che è un integrle curvilineo di prim specie rppresent il flusso uscente del cmpo F dl bordo di. Un conseguenz dirett dei teoremi di Green e Guss è l cosidett Formul di integrzione per prti negli integrli multipli, che estende l ben not Formul di integrzione per prti negli integrli definitivi di funzioni reli di un vribile lle funzioni di più vribili. Un prim formulzione vettorile per i cmpi di R 3 è l seguente Teorem Formul di integrzione per prti per i cmpi vettorili in R 3 Sino Ω R 3 un perto non vuoto, F : Ω R 3 un cmpo vettorile di clsse C 1, g : Ω R un funzione di clsse C 1, Ω un perto con bordo tle che Ω e n il versore normle uscente d. llor, posto x x 1,x 2,x 3, si h che gx Fxdx 1 dx 2 dx 3 dove divf è l divergenz del cmpo vettorile F. 6 gf ndσ gxdivfxdx 1 dx 2 dx 3,

19 1.3 Teorem di Guss 19 imostrzione. Considerimo il cmpo vettorile H : Ω R 3 definito d H gf. pplicndo il Teorem di Guss d H si h che 1.20 divhxdx 1 dx 2 dx 3 H ndσ. Posto F f 1,f 2,f 3, si h che H gf 1,gf 2,gf 3 e quindi per ogni x Ω divhx gf 1 x 1 x+ gf 2 x 2 x+ gf 3 x 3 x g xf 1 x+gx f 1 x+ g xf 2 x+gx f 2 x+ g xf 3 x+gx f 3 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 g x, g x, g f1 x f 1 x,f 2 x,f 3 x +gx x+ f 2 x+ f 3 x x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Sostituendo in 1.20 si h gx Fx+gxdivFx. gx Fx+gxdivFx dx 1 dx 2 dx 3 gf ndσ. d cui segue immeditmente l tesi. Un formulzione nlog per i cmpi vettorili di R 2 è l seguente 1.21 Teorem Formul di integrzione per prti per i cmpi vettorili in R 2 Sino Ω R 2 perto non vuoto, F : Ω R 2 un cmpo vettorile di clsse C 1, F f 1,f 2, Ω un perto limitto tle che Ω è il sostegno di un curv prmetric chius, semplice e regolre trtti γ :,b Ω. Supponimo che si orientmento positivmente. llor, posto x x 1,x 2, si h che gx Fxdx 1 dx 2 gf nds gxdivfxdx 1 dx 2, dove divfx f 1 x+ f 2 x è l divergenz del cmpo vettorile F e n è il x 1 x 2 versore normle uscente d. 7 6 L integrle gf ndσ è il flusso uscente del cmpo vettorile gf dl bordo di. 7 L integrle gf nds è il flussouscente del cmpovettorile gf dl bordo di, ovverol integrle curvilineo di prim specie dell funzione gf n lungo il bordo di.

20 20 S. Lncelotti, Lezioni di nlisi Mtemtic II imostrzione. Si pplic 1.18 l cmpo vettorile H gf e poi si procede come nell dimostrzione del teorem precedente. questi teoremi scendono immeditmente le Formule di integrzione per prti negli integrli doppi e tripli Teorem Formul di integrzione per prti negli integrli tripli Sino Ω R 3 un perto non vuoto, f,g : Ω R due funzioni di clsse C 1, Ω un perto con bordo tle che Ω e n il versore normle uscente d. llor, posto x x 1,x 2,x 3, per ogni i 1,2,3 si h che g xfxdx 1 dx 2 dx 3 f gn i dσ gx f xdx 1 dx 2 dx 3, x i x i dove n i è l componente i-esim del versore normle n. 8 imostrzione. Per ogni i 1,2,3 si pplic il Teorem 1.19 l cmpo vettorile F vente l componente i-esim ugule f e le ltre nulle Teorem Formul di integrzione per prti negli integrli doppi Sino Ω R 2 un perto non vuoto, f,g : Ω R due funzioni di clsse C 1, Ω un perto limitto tle che Ω è il sostegno di un curv prmetric chius, semplice e regolre trtti γ :,b Ω e n il versore normle uscente d. llor, posto x x 1,x 2, per ogni i 1,2 si h che g xfxdx 1 dx 2 f gn i ds gx f xdx 1 dx 2, x i x i dove n i è l componente i-esim del versore normle n. 9 imostrzione. Per ogni i 1,2 si pplic il Teorem 1.21 l cmpo vettorile F vente l componente i-esim ugule f e l ltr null. 8 L integrle f gn idσ è l integrle di superficie dell funzione rele f gn i sul bordo di. 9 L integrle f gn ids è l integrle curvilineo di prim specie dell funzione rele f gn i lungo il bordo di.