Approfondimenti e problemi sull argomento: Trasformazioni Termodinamiche

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1 pproondment e problem sull rgomento: rsormzon ermodnmhe roblem 1,,,4,: doltà med, utl per l preprzone ll esme roblem 6,7: d pproondmento, olttv roblem 1 Un peso d mss 8.6 Kg, dendo d un ltezz d 4 m grre l ruot plette d un lormetro, mednte un opportuno mensmo. Nel lormetro v sono g d qu, nzlmente ll tempertur d 16 o. Qul è l mssmo umento possble dell tempertur? roblem In un repente pret rgde ed dbthe nzlmente vuoto, vengono ntrodotte un grn numero d moleole (dell ordne del numero d vogdro) d un gs peretto monotomo, vent tutte l medesm velotà v = m/s. Spendo he l peso moleolre del gs vle 4 g/mole, s lol l tempertur del gs qundo sno rggunte le ondzon d equlbro termodnmo. roblem Un gs btomo ( = / ) può venre rreddto e ompresso portndolo dllo stto llo stto, trmte due perors dvers: (1) l suessone d trsormzon rppresentt dl trtto ondulto n gur, oppure () due proess onseutv ( ostnte) seguto d ( ostnte). ) lolre l vrzone d energ ntern tr gl stt e. b) lolre l lore eduto dl gs nel so s segu l perorso ondulto, spendo he l lvoro tto dll esterno sul gs n questo so vle J. Dt: n =, = 1 N/m, = 1. 1 N/m, = dm, = 4 dm. roblem 4 Un mpone d gs d.1 mol oup un volume d 1 dm ll pressone d 1. lolre l lvoro eseguto dl gs ne s n u, on proess d tpo qus-stto, esso ) s espnde sotermmente no d oupre l volume d dm ; b) rrv llo stesso stto nle per mezzo d un espnsone sobr segut d un rreddmento sooro; ) rrv llo stesso stto nle eseguendo prm l rreddmento sooro, e po l espnsone sobr. Dsutere rsultt ottenut. I b F

2 roblem Un gs monotomo vene sottoposto l lo d trsormzon n gur. L trsormzone è soor, l trsormzone è dbt, e quell è sobr. S lol l lore ssorbto Q, l lvoro tto W e l vrzone d energ ntern per sun delle trsormzon e per l ntero lo. Dt: n = 4, = K, = 6 K, = 4 K. roblem 6 Un lndro ontenente un gs e huso d un pstone moble vene tenuto mmerso n un lormetro ontenente un msel d gho e qu. Il pstone vene veloemente spnto verso l bsso omprmendo l gs d 1, e vene mntenuto n tle poszone no l rggungmento dell equlbro termo. Qund l pstone vene lzto molto lentmente, no tornre ll poszone d prtenz. Durnte questo lo d trsormzon s osserv he s ondono 1 g d gho. ppresentre l lo sul dgrmm - e dsutere l suessone delle vre trsormzon. Determnre l lvoro he è stto omputo dll esterno sul gs. (lore ltente d usone del gho L =. 1 J/Kg ) H O+gho roblem 7 vre l relzone unzonle tr pressone e volume d un gs dele nel so esso s sottoposto trsormzon dbthe.

3 Soluzon de roblem e pproondment sull rgomento: rsormzon ermodnmhe roblem 1 L energ potenzle grvtzonle pers dl orpo n dut vene trsert l moto delle plette (energ net) e po dsspt e ssorbt ome lore dll qu ontenut nel lormetro, us dell ttrto vsoso e delle turbolenze. L umento mssmo d tempertur dell qu s vrà se tutt l energ potenzle grvtzonle dvent lore, delmente senz perdte, oè se U g = Q, ovvero: m g h = m ( ) dove m è l mss del orpo, m è l mss dell qu, he h un lore speo = 4186 J/(Kg o H O ). vndo l umento d tempertur nle: m g h 8. Kg 9.8 m/s 4 m o = = = = 1. o m. Kg 4186J/(Kg ) erto non un umento d tempertur onsstente! L espermento orgnle d Joule er molto smle questo, m l lmte delle possbltà degl strument d msur dell epo, e ondotto on un estrem ur de prtolr n modo d evtre nhe l pù pol perdt d energ term. E nhe n questo modo er neessr un buon dose d onvnzone nelle legg ondmentl d onservzone per ottenere de rsultt senst! roblem er qunto l problem s poo relsto, l esperenz mostr he dopo un erto tempo qulunque sstem lsto se stesso rggunge l equlbro termodnmo, rtterzzto dll tempertur unorme su tutto l sstem. In questo so bbmo un gs peretto monotomo n un repente solto, per u l energ ntern s onserv. L energ nzle è dt dll energ net delle moleole, he hnno tutte l stess velotà: 1 U = N m v ( N è l numero d moleole, m l loro mss) ll equlbro termo l energ è dt dll ormul dell teor net per l gs monotomo: N m U = N k = n N k = n =. M. dove n è l numero d mol, N l numero d vogdro, e s rord he n = (N m)/.m., essendo (N m) l mss totle delle moleole e.m. l peso moleolre (espresso n Kg!). Le due energe devono essere ugul, per u rvmo lmente l tempertur d equlbro: 1 N m v. M. ( m/s) 4 1 Kg N m v = = = = 64 K. M. 8.1J/K

4 roblem er lolre l vrzone d energ tr gl stt e possmo pplre l prmo prnpo dell termodnm ll suessone d proess not (l proesso rppresentto dll lne ondult non è molto utle non vendo molte normzon su d esso). er prm os trovmo le temperture de vr stt dll equzone d stto de gs (on ovvmente =, = ): 1 N/m 1 m = = = 6 K ; n 8.1J/K = 61 K ; = 41K ) roesso : è sooro ( ostnte) per u l lvoro è nullo e = Q = n ( ) = n ( ) = 674 J negtvo perhé s trtt d un rreddmento (l pressone e l tempertur dmnusono). roesso : è sobro ( ostnte = ) qund = Q W = n ( ) ( ) = 7J dove bbmo usto orrettmente l lore speo pressone ostnte = + = 7 /, e l lvoro è lolto pressone ostnte. nhe quest vrzone d energ ntern è negtv perhé l proesso è un ompressone. onludendo l vrzone d energ ntern totle è: = + = 19 J In reltà s potev rrvre pù rpdmente l rsultto tenendo onto he l energ ntern è solo unzone dell tempertur (e non dpende dlle dverse trsormzon); on l ormul (1) U = n bbmo: = n ( ) = n ( ) = 11 J ugule l rsultto preedente ( prte gl nevtbl error d tronmento del rsultto de lol on l loltre d tvolo). b) onosendo l vrzone d energ, e spendo he l lvoro tto dl gs è W = - J (pohé l dto ornto dl problem è l lvoro tto dll esterno sul gs) l prmo prnpo onsente d trovre l lore ssorbto dl gs nel perorso ondulto: Q = + W = 11J J = 11J per u l lore eduto dl gs rsult essere +11 J. roblem 4 ) rttndos d un espnsone soterm dllo stto nzle I I b (d pressone e volume spet) llo stto nle F, l urv rppresenttv è l trtto d perbole n gur, e l su tempertur s rv dll equzone d stto de gs: F 1 N/m 1 1 m = = = 1K n.1 8.1J/K mentre l pressone nello stto nle, spendo he l volume dello stto nle è = 1 m, s rv lmente dll legge = ostnte (oppure pplndo nor l equzone d stto):

5 = = N/m Il lvoro tto dl gs s trov on l ormul (7) gà dmostrt negl ppunt W ln.1 8.1J/K 1K ln = n = = 48J 1 b) Il lvoro è tto dl gs solo nel prmo trtto, l proesso sobro (ll pressone ostnte ) d, pohé nel trtto sooro ( ostnte) l lvoro è ovvmente nullo. Qund on l (6) s h W ( ) = 1J b = ) ome prm, l lvoro rgurd solo l perorso sobro, m n questo so qund: W = ( ) = 4J Osservmo he rsultt ottenut mostrno he l lvoro eettuto dl gs per pssre dllo stto nzle llo stto nle è dverso per tre perors, e noltre vle W > W > W b n ordo ol sgnto geometro dell ntegrle urv rppresenttv nel pno -. W = d, e oè l re sotto l trtto d roblem Il lo d trsormzon è perorso n senso orro e qund spettmo he l lore totle ssorbto Q s postvo, ome l lvoro totle tto W. rttmo or le sngole trsormzon. ) roesso, sooro ( ostnte); s h W =, e nhe U = Q = n = n ( ) = 1496 J b) roesso, dbto ; per denzone Q =, mentre U = W. er proedere, o lolmo drettmente l lvoro eseguto dl gs durnte un espnsone dbt (utlzzndo l relzone tr e he s rverà nel roblem 7), oppure rordmo he l energ ntern è unzone dell sol tempertur, e onosmo le temperture nzl e nl per questo proesso. Qund, per questo gs monotomo: = n = n ( ) = 7 J negtv perhé s trtt d un espnsone dbt. Il lvoro tto è llor W = +7 J. ) roesso, sobro ( ostnte); n questo so tutt e tre le grndezze d trovre sono dverse d zero. Il lore ssorbto lo trovmo lmente ol lore speo pressone ostnte, = / per l gs monotomo: Q = n = n ( ) = 188 J negtvo perhé l tempertur del gs è dmnut. Il prmo prnpo dà un relzone tr le due nognte U e W, m bbmo neesstà d un ulterore normzone per rsolvere l problem. orrmo l tto he l proesso totle è lo, e qund l su vrzone d energ ntern totle è zero: + + = on rsultt lolt ne ltr proess trovmo qund:

6 = = 77 J e dl prmo prnpo l lvoro tto n questo proesso: W = Q = 1 J. Inne, bbmo gà ermto he l vrzone totle d energ ntern sul lo è zero; l lore totle ssorbto srà nvee: Q = Q + Q + Q = + 8 J e l lvoro totle tto W = W + W + W = + 8 J ; s ver qund he n un proesso lo l lvoro eseguto è ugule l lore totle ssorbto. roblem 6 L prm trsormzone (d 1 ) è un ompressone veloe ; questo vuol dre he non s ls bbstnz tempo l gs per smltre ll esterno, perdendo lore, l umento d energ revuto dl lvoro meno W 1 d ompressone del pstone. Il proesso è qund d onsderrs dbto, e l gs s rtroverà l volume nle (mnore d 1 ) on un tempertur mggore d quell nzle 1 = o dell msel gho-qu. Suessvmente s ttende lo stblrs dell equlbro termo tenendo l volume ostnte; s trtt qund d un rreddmento sooro n u l gs dmnuse l su tempertur no o, resttuendo un qunttà d lore Q l lormetro. Inne, nell terz se l pstone vene lzto lentmente e qund s permette l rstblrs ontnuo dell equlbro termo; dto he l tempertur è ontrollt dl sstem gho-qu, s trtt d un espnsone soterm, n u l gs prelev un qunttà d lore Q dl lormetro ed esegue ll esterno l lvoro W. Il rtorno ll poszone d prtenz grntse he l gs torn ll ondzone nzle, e qund l su vrzone d energ ntern è null. Sull bse d quest desrzone possmo rppresentre grmente l lo d trsormzon sul pno -, rordndo he l urv dbt è pù rpd d un nlog soterm. Sono nhe segnt smbolmente lor smbt, Q usente dl gs e Q entrnte. S può osservre he l lo vene perorso n senso ntorro; questo vuol dre he l lvoro totle eseguto dl gs è negtvo e qund l lvoro totle eseguto dl pstone, W ext = W 1 W seondo le denzon dte, è postvo. Q 1 Questo tto gust l osservzone he n un lo s h l usone d un qunttà d gho: ntt essendo l lormetro solto termmente, l uno smbo d energ on l esterno vvene ttrverso l pstone. Il sstem omplessvo h qund un umento d energ per ogn lo pr W ext he provo lo soglmento del gho (vene mmgzznto ome lore ltente d usone). S trov qund he l lvoro del pstone vle W ext = m L =.1 Kg. 1 J/Kg = 996 J Un ultm osservzone è he dovrà essere Q > Q, oè l lore eduto l lormetro durnte l seond se deve essere mnore del lore reuperto dl gs nell terz se. Q roblem 7 er rvre l legge delle trsormzon dbthe d un gs peretto rorrmo l rmo rnpo dell ermodnm nell ormulzone mrosop, supponendo per sempltà he l proesso s d tpo qus-stto. Dto he l sstem non può smbre lore on l mbente esterno s vrà dq = e qund du = dw

7 er l lvoro usmo l denzone (4); per l energ ntern l ormul (1) he vle per tutt gs del ottenendo: n n d = d n d = d dove s è sosttuto = n / on l equzone d stto de gs. sstemndo l ormul: d d = dove snstr bbmo solo l vrble empertur, mentre destr solo l vrble olume ( prte le ostnt); possmo qund ntegrre quest ormul derenzle, d uno stto nzle (, ) uno stto nle (, ) per ottenere un relzone tr le vrbl n questone. L unzone prmtv n entrmb membr è l logrtmo nturle (ln): d = d ln = ln = + ln = ln dove s sono uste le propretà de logrtm. ohé logrtm sono ugul se lo sono loro rgoment bbmo l ormul: = = dove bbmo runto nseme le vrbl dello stto nzle e quelle dello stto nle. Quest è un relzone tr le vrbl d quest stt spet. M dto he gl stt nzle e nle sono ompletmente rbtrr, lo stesso rsultto deve vlere per qulss stto he prte del proesso dbto, oè deve essere: = ostnte e quest è un prm relzone unzonle tr le vrbl d stto. Usndo d nuovo l equzone d stto per sostture ( = / n ) s trov l relzone on le vrbl e : n = ost 1 + = ost L esponente d può essere srtto n orm mglore se s rord l ormul (1): p = = γ oè l esponente non è ltro he l rpporto tr l lore speo pressone ostnte on quello volume ostnte, ndto on l letter γ su molt lbr. ossmo onludere he l legge delle trsormzon dbthe è γ = ostnte he è un orm molto smle ll legge delle trsormzon soterme ( = ost ). M per proess dbt l esponente d è mggore d 1 (ntt p sempre mggore d, ved l (1)) e qund un umento d volume bbss l pressone ben d pù he n un orrspondente trsormzone soterm: l urv rppresenttv d un proesso dbto nel pno - rsult pù rpd rspetto ll urv soterm. dbt Isoterm