2 si da eguale peso alle misure senza tener conto dell incertezza, che in generale possono essere diverse.

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1 5 MEDIE PESTE Come combare msure separate? Esempo, msure Msura d : ± Msura d B: B ± B Se s effettua la meda artmetca: B s da eguale peso alle msure seza teer coto dell certezza, che geerale possoo essere dverse. Calcolamo la msura pù probable. Le msure sao dstrbute ormalmete, se X è l valore vero, le probabltà d otteere e B soo rspettvamete: P P ( X ) ( ) e ( B X ) B ( B ) e B 66

2 67 se le msure soo dpedet s ha ) ( ) ( ), ( χ e P P P B B B dove ( ) ( ) B B X X χ è la somma de uadrat: Per l prcpo della massma verosmglaza la mglor stma d X s ha uado la probabltà è massma e ud χ è mmo: 0 B B X X X χ da cu, rcavado X, s ottee: B B B best

3 defedo pes: s ha: w w B B best w w w w B B B Il valore stmato s avvca alla msura che pesa maggormete, coè uella che ha ua certezza more: w > w B Se s hao msure: < B ±, ±, ± 3,.., ± 3 best w w co w 68

4 69 ote: w proporzoale all verso del uadrato se B best B B w w propagado gl error s ottee: best w

5 6 METODO DEI MIIMI QUDRTI Regressoe leare. Esempo legge fsca: vv 0 at S sao fatte msure delle uattà e, se dsposte su u grafco put d coordate e mostrao u adameto leare, possamo cercare la retta d mglor accordo: B Suppoamo che: l certezza sulle sa trascurable le certezze sulle sao tutte ugual le msure sao dstrbute ormalmete co. Se gl error o soo tutt ugual l metodo può essere comuue applcato sosttuedo a valor le msure pesate sull errore. 70

6 7 Sao e B parametr della retta allora per og possamo calcolare l valore d corrspodete. La probabltà d otteere l valore osservato è: ( ), ) ( B B e P se abbamo effettuato coppe d msure dpedet:,,, ) ( )... ( ),..., ( χ e P P P B B B dove ( ) B χ La mglore stma per parametr e B s ottee per valor massm d probabltà e ud per valor mm d χ : ( ) 0 B χ

7 χ B ( B ) 0 da cu s ottee l sstema: B B le cu soluzo soo: ( )( ) ( )( ) dove B ( ) ( )( ) ( ) ( ) L certezza su e : o pù correttamete: ( B ) 7

8 ( B ) Il fattore - corregge la sottostma dovuta la fatto che, come mostrato prma, valor d e B redoo mma la sommatora. Dobbamo dvdere per - perché abbamo gà utlzzato dat per stmare parametr ( e B) e ud l umero d grad lbertà s è rdotto d. I geerale se s soo stmat ν parametr s hao -ν grad d lbertà dffereza tra l umero delle msure e l umero d parametr stmat. Se avessmo solo put msurat () la retta sarebbe uvocamete determata ma l certezza sarebbe massma, s deve ud avere el caso d grade la dffereza è trascurable. 0 0 Gl error su e B s ottegoo propagado l errore su : 73

9 B Regressoe leare pesata per error varabl Se gl error sulle msure o soo tutt ugual bsoga trodurre l peso d og msura: w la varable χ che deve essere mma per avere la massma probabltà d otteere le msure d, dveta: ( B ) ( ) w w w B χ 74

10 Dervado rspetto ad e rspetto B e uguaglado le dervate a zero s ottee l sstema d euazo da cu s rcavao coeffcet e B: ( w )( w ) ( w )( w ) B dove ( w )( w ) ( w )( w ) ( )( ) w w ( w ) Le certezze e B soo uesto caso: B w w 75

11 Il metodo de mm uadrat può essere esteso ad u geerco polomo d grado B C... H el caso s ha la regressoe parabolca: B C alogamete al caso precedete s ha la mglor stma per parametr, B e C uado è massma la probabltà d otteere valor osservat. Questa s ottee per valor mm d χ : χ ( ) B C dervado rspetto ad, B e C e poedo ugual a zero le dervate s ottegoo l euazo ormal: C B 76

12 3 B C 3 B C 4 Rsolvedo uesto sstema s ottegoo le stme per parametr, B e C. I lea d prcpo a ualuue fuzoe f() può essere applcato l metodo, pratca o sempre l sstema d euazo ormal è rsolvble maera semplce o è mpossble. Regressoe espoezale Cosderamo s abba ua relazoe espoezale tra le varabl e B e dobbamo determare le costat e B. La relazoe espoezale può essere learzzata: z l l B S può verfcare la relazoe leare tra valor d e uell d z grafcado scala sem-logartmca dat,. 77

13 Poedo l s calcolao coeffcet e B tramte ua regressoe leare de dat (,z ), essedo z l logartmo d. Ife s calcola e. S ot che l potes fatta per la regressoe leare che gl error su fossero tutt ugual o è pù valda, fatt: dz z d a rgore bsogerebbe applcare l metodo de mm uadrat pesat, spesso però s applca l metodo ormale essedo la varazoe d z pccola. 78

14 79 7 COVRIZ E CORRELZIOE Suppoamo che per msurare la uattà (,) s msuro coppe d valor, da cu s possoo rcavare valor d: ( ), ssumamo d avere pccole certezze e che tutt umer, sao vc rspettvamete a e allora s può approssmare: ( ) ( ) ( ) ( ),, dove le dervate soo calcolate el puto, e soo ud tutte ugual. S ha: ( ) ( ) ( ),

15 80 Essedo l secodo e l terzo terme ull s ha: ( ), L devazoe stadard degl valor è ( ) e sosttuedo le relazo precedet ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Defedo covaraza d e la uattà :

16 ( )( ) (s ot che ha dmeso d ua varaza ( )) s ottee: Questa espressoe forsce la devazoe stadard d sa che le msure sao o o sao dpedet e dstrbute ormalmete. Se le gradezze soo dpedet, dopo molte msure, la covaraza tede a zero. ( ) La covaraza dpede dal sego de term ( ). Ess possoo essere etramb sempre postv (sovrastma), etramb sempre egatv (sottostma) o sempre dscord, solo se o soo dpedet. Se vece soo dpedet l prodotto d uest term potrà essere postvo o egatvo e ud la somma per u gra umero d valor sarà ulla. e 8

17 8 Qud per msure e dpedet s ha: Se le msure e o soo dpedet s ha 0 le msure e soo correlate. S può dmostrare che vale la dsuguaglaza d Schwarz: da cu s ha:

18 83 coè ud costtusce u lmte superore per l certezza d sa che gl error su e sao o o sao dpedet e ormalmete dstrbut.

19 Coeffcete d correlazoe Cosderamo due varabl msurate e Voglamo verfcare se esste ua relazoe leare tra esse: B Possamo per esempo applcare l metodo de mm uadrat e po cooscedo l errore verfcare se put gaccoo suffcetemete vc alla retta d regressoe. Se o cooscamo l errore dobbamo agre dversamete. 84

20 otamo che ua relazoe leare mplca che le varabl sao correlate (ache se geerale possoo essere legate da ua relazoe o ecessaramete leare). Defamo l coeffcete d correlazoe: r ( )( ) ( ) ( ) dalla dsuguaglaza d Schwarz s ha: r fatt se vale la relazoe leare: per og (, ) allora s ha ache: B B e ud, sottraedo membro a membro: B ( ) 85

21 per ualuue, e sosttuedo r: r B ( ) ( ( ) ) B B B ± Se B>0 allora r, se B<0 allora r-, el caso d correlazoe leare. ella pratca, se le varabl soo correlate learmete r per grade se le varabl o soo correlate r 0 per grade se r la correlazoe è egatva. SIGIFICTO QUTITTIVO DI r Sa P ( r ro) la probabltà che msure d varabl o correlate dao u coeffcete d correlazoe r pù grade d u partcolare r o. Questa probabltà può essere rcavata, per esempo da tabelle: 86

22 ota: per r 0 s ha 0 perché r è ua varable cotua e ud la probabltà d otteere esattamete u valore è ulla se P è grade le varabl o soo correlate se P è pccolo le varabl soo correlate l crescere d la probabltà che le msure o correlate dao r r o dmusce, fatt per more d ualuue r o ). s ha 0 r ( ud P ( r r o ) 5% correlazoe sgfcatva P ( r r o ) % correlazoe altamete sgfcatva 87

23 Esempo: 3 r o 0.7 s ha P ( r r o ) 5% o possamo dre che le varabl sao correlate 3 r o 0.9 s ha P ( r r o ) 9% o possamo dre che le varabl sao correlate 6 r o 0.7 s ha P ( r r o ) % o è suffcete per dre che le varabl sao correlate. 0 r o 0.7 s ha P ( r r o ) 0.% la correlazoe è altamete sgfcatva. 88

24 LCUE PRECISZIOI SUI COCETTI DI COVRIZ E CORRELZIOE Per varabl aleatore dpedet la covaraza e ud ache l coeffcete d correlazoe, soo ull. Tuttava o è vero l cotraro: la covaraza e la correlazoe possoo essere ulle ma le varabl dpedet: Idpedeza delle varabl mplca correlazoe ulla Correlazoe ulla o mplca ecessaramete dpedeza delle varabl S può formulare l seguete Teorema: Codzoe ecessara ma o suffcete affché due varabl sao dpedet è che esse o sao correlate Il coeffcete d correlazoe o può essere preso ud come dcatore assoluto d dpedeza tra due varabl, esso può dcare se tra le varabl c è dpedeza leare: se r ± esste dpedeza leare (postva o egatva) Cosderamo l seguete esempo. 89

25 Sao U e V due varabl co la stessa dstrbuzoe d probabltà, sao XUV e YU-V, per esempo U sa l laco d u dado e V l laco d u secodo dado, allora: ud: u v e u v u v 0 0 ( )( ) 0 La covaraza (e ud ache l coeffcete d correlazoe) è ulla ma le varabl (X e Y) o soo dpedet. Ife s ot che se la correlazoe tra due varabl o è leare l coeffcete d correlazoe r perde d sgfcato, ud o può essere utlzzato per determare l grado d legame tra le varabl stesse. I uest cas s deve far uso del rapporto d correlazoe emprca d Pearso. 90

26 8 DISTRIBUZIOE BIOMILE Suppoamo d lacare 3 dad e volere calcolare la probabltà d otteere ν 0,,, 3 ass. La probabltà d otteere ua asso co u dado è /6, ud la probabltà d otteere 3 ass co 3 dad (3, euvalete ad effettuare 3 lac d u uco dado) è: ( ) 0.5% p 3, 3 6 La probabltà d otteere ass (ν ) 3 lac (eveto ) è per esempo: p 6 (,, ).3% o essedo 5/6 la probabltà d o otteere u asso. Lo stesso rsultato s può però otteere ache co (,o, ) e (o,, ). Qud s ha: (, 3) 3 6.9% p

27 aalogamete s può calcolare la probabltà d otteere u solo asso 3 lac (34.7%) e essu asso 3 lac (57.9%). S abbao prove dpedet co: p probabltà d successo -p probabltà d successo La probabltà d otteere ν success prove: B, p ( ) ( )...( ) 3... p 9

28 93 dove ( )!!!... 3 ) )...( ( è l coeffcete bomale. Lo svluppo bomale è ( ) p p 0 ν la dstrbuzoe bomale è: ν p p B ) (,

29 Esempo: calcolamo la probabltà d trovare ass 3 lac:, p 6 3, 5, 6 P p probabltà d otteere tutt success prove - probabltà d otteere success tutte le rmaet prove ν l umero d dvers ord cu s possoo otteere success prove. Propretà della dstrbuzoe bomale Dalla svluppo bomale essedo p s ha la codzoe d ormalzzazoe. 94

30 95 Valor medo: p ν ed essedo ( ) ( ) ( ) ( )!!!!!! ν ν e ud ( ) p p p 0 ν avedo posto m- e kν- Devazoe stadard: S può dmostrare che per ua ualuue dstrbuzoe vale la relazoe:

31 96 ( ) fatt ( ) ( ) ( ) ( ) Qud possamo calcolare la varaza della dstrbuzoe bomale come segue: ( ) 0 p p ν dove l prmo terme a destra dell uguale, poedo ( ) dveta:

32 97 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p p 0!!!!!!!!! avedo posto m- e kν-, ud ( ) ( ) ( ) p p p p p ( ) p p p Se p/ (esempo laco d ua moeta) l umero medo d success è propro /, oltre la dstrbuzoe è smmetrca: ) ( ) (,/ /, B B Esempo: S lac 4 volte ua moeta (4) possamo faclmete calcolare le probabltà che escao ν

33 98 test ( ) , ν ν ν ν p e 4 lac, essedo p/ : per esempo: ( ) , 4 p

34 S può dmostrare che per grade la dstrbuzoe bomale tede alla dstrbuzoe Gaussaa: B ( ) G ( ), p X, co X p p 99

35 p/4 00

36 Possamo ora gustfcare l affermazoe per cu ua msura soggetta a molt pccol error casual è dstrbuta ormalmete. Se X è l valore vero assumamo che le msure sao affette solo da error casual dpedet, co sorget d errore. Se uest error hao la stessa dmesoe fssata ε allora per og sorgete s può avere co uguale probabltà (/) ua sovrastma o ua sottostma d X: Xε o X-ε ugualmete probabl Se le sorget soo s può avere: Xε, X (gl error s aullao) oppure X-ε I geerale per sorget, se dao error postv (-) egatv s ha: Xε - (-)ε X(-)ε La probabltà d otteere uesto rsultato è dato dalla dstrbuzoe bomale P ν error postv) B, ( ) ( / 0

37 Propagado l errore s ha: ε ε essedo p ( p) 4 poedo e ε 0 modo che ε rmaga fta, la dstrbuzoe bomale s approssma alla dstrbuzoe gaussaa co cetro X e larghezza. Ioltre poché 0 ε la dstrbuzoe dscreta tede ad ua dstrbuzoe cotua che è apputo la gaussaa. 0

38 Verfca d potes Esempo: verfca dell effcaca d ua scola Se effettuamo 0 prove uate volte s deve verfcare che gl sc trattat co la uova scola sao pù veloc, perché s possa dre che la scola è veramete effcace? Ipotes statstca: Ipotes ulla:la uova scola o provoca alcu effetto Se l potes ulla è corretta la probabltà d vcere per uo sc trattato rspetto ad uo o trattato è p/ La probabltà che gl sc trattat ottegao ν success è: P ν vttore 0 corse) B 0 ( ) (,/ ν! 0! ( 0ν )! 0 la probabltà che gl sc trattat vcao 0 corse è ud 0.%. Se gl sc trattat vcessero tutte le 0 corse sarebbe molto mprobable che l potes ulla sa corretta. 03

39 Suppoamo che le vttore sao 8 su 0 corse. La probabltà d 8 o pù vttore è: P(8 o pù vttore 0 corse) P(8 vttore)p(9 vttore)p(0 vttore) 5.5% S hao possbltà: a) l potes ulla è corretta ma per caso è captato u eveto mprobable b) l potes ulla è falsa: la scola è effcace S fssa u lmte, p.e. l 5% (rsultato sgfcatvo) o % (rsultato altamete sgfcatvo) al d sotto del uale rfutamo l potes ulla (alteratva b). el ostro caso 5.5% l rsultato o è sgfcatvo e o è suffcete per cocludere che la scola fuzoa. Se avessmo otteuto 0 vttore (P0.%) l rsultato sarebbe altamete sgfcatvo e potremmo cocludere che la scola fuzoa. 04

40 PROCEDIMETO GEERLE prove dpedet co due sole possbltà: successo o successo potes: s assume u valore per la probabltà d successo p l umero medo d success prove è p se l umero d success ν è vco a p allora o c è ragoe d dubtare che l potes sa corretta. se l umero d success ν è sesblmete pù grade d p, calcolamo la probabltà, secodo l potes, d otteere ν success o pù. Se uesta probabltà e more del lvello d sgfcatvtà (5% o %), l valore osservato è mprobable e ud l potes deve essere rgettata. se l umero d success ν è sesblmete pù pccolo del valore medo p, dovremo calcolare la probabltà d otteere ν success o meo e procedere maera aaloga. S ot che alcu cas la probabltà rlevate è la probabltà a due code d otteere u rsultato che dffersca dalla meda attesa d tato uato l valore realmete otteuto o pù. 05

41 9 DISTRIBUZIOE DI POISSO S vogla calcolare la probabltà d effettuare ν cotegg d evet u tervallo d tempo defto, se l umero d espermet è grade e la probabltà p degl evet è pccola (evet rar), allora la dstrbuzoe bomale può essere approssmata dalla dstrbuzoe d Posso: P ( ) e! è u parametro postvo. Caratterstche della dstrbuzoe: Codzoe d ormalzzazoe: ( ) e! 0 0 essedo P 06

42 !! 3 e Valor medo ( ) 0 0! e P ( ) e e e 0! avedo posto e kν- ed essedo... 3!! 3 e

43 08 Devazoe stadard utlzzado l'uguaglaza ( ) s ha ( ) ( ) 0 0 0!!!! e e e e essedo ( ) e 0! avedo posto e k ν-.

44 egl espermet d coteggo la devazoe stadard è uguale alla radce del valor medo. Esempo, decadmet radoattv U campoe d toro radoattvo emette partcelle alfa ad u tasso d.5 al muto Quale è la probabltà d osservare ν partcelle per ν 0,,, 3, 4 e per ν 5 mut? Il valore atteso è l prodotto tra l tasso medo e l perodo (T m.).5 3 S ot che o sgfca che c aspettamo d trovare 3 partcelle ualsas sgola prova ma, P ( partcelle) ( ) P e 3 3 3! 09

45 da cu, per ν 3 P 3 3 3! 3 ( 3) e 3 0. % ud s troverà 3 solo el % de cas. S ha: ν P ( ) 3 5% 5% % % 7% 0

46 ( ) 00% P ( 0) P ( ) P ( ) P ( 3) P ( 4) 9% P Utlzzado l prcpo della massma verosmglaza s dmostra che se effettuamo u espermeto d coteggo ua volta trovado come rsultato ν s ha: best e ud, come rsultato possamo scrvere ± ν Se vece rpetamo l'espermeto volte s ha: best S può mostrare che per s ha: ( ) ( ) P G X, co

47 X

48 30 TEST DEL CHI-QUDRTO (χ ) Suppoamo d voler cofrotare la dstrbuzoe d ua sere d msure co ua dstrbuzoe teorca attesa. S abbao msure ed tervall co k,,.., Sa O k l umero d osservazo che cadoo ell tervallo k- esmo Sa E k l umero d msure ell tervallo atteso secodo la dstrbuzoe teorca Defamo la varable χ : χ k ( O E ) k E k k Se Se χ l accordo è accettable χ >> l dsaccordo è sgfcatvo 3

49 Ifatt, se rpetessmo tate volte la sere d msure, allora l umero d msure og tervallo euvarrebbe ad u espermeto d coteggo co dstrbuzoe d probabltà d Posso. Il valore medo e la devazoe stadard sarao ud: O e O k k E k Se l accordo è buoo c s aspetta che la dffereza tra valor osservat e valor attes sa paragoable alla dmesoe attesa delle fluttuazo: e ud k ( O ) k Ek Ek E ( O E ) k E k k χ Per trovare E k s moltplca la probabltà corrspodete all'tervallo k-esmo per l umero totale d msure : 4

50 E k P k Esempo dstrbuzoe ormale. S abbao 40 dat msurat da cu s stmao parametr: X ( X ) 5

51 P P 68% P P P 4 ( 0068) % 3% P 0. 6 P P 4 S ha: χ ( O E ) (.6) ( 3.6) (.4) ( 0.4) 6.4 k k E 3.6 k k

52 CSO DI U VRIBILE COTIU Sa f() la dstrbuzoe attesa, allora b P ( a < < b) f ( ) d a ud per l k-esmo tervallo, l umero atteso d msure dopo msure total è E k P( a k < < a k ) a k a k f ( ) d CSO DI U VRIBILE DISCRET el caso d ua varable dscreta può o essere ecessaro defre gl tervall possamo fatt cosderare valor putual d probabltà. Tuttava alcu cas può essere utle raggruppare rsultat dvers u uco tervallo, come ell esempo mostrato tabella. 7

53 S osserv che geerale gl tervall devoo essere scelt modo tale da avere E k 5 Ioltre l umero d tervall (e d cosegueza l umero totale d msure) o deve essere troppo pccolo. ltre forme d χ I geerale s può defre ua varable χ come: 8

54 χ k valore osservato valore atteso devazoe stadard S può per esempo verfcare la regressoe del tpo f(): sa l certezza su k trascurable e uella sulle k ota e uguale a k, allora χ k k ) k f ( k umero d grad d lbertà S defsce umero d grad d lbertà d l umero d dat msurat meo l umero d parametr da determare da dat: el caso del d-c χ precedetemete studato corrspode al umero d tervall e c è l umero d parametr calcolat da dat per otteere valor attes (vcol) 9

55 Se s usa la relazoe k O k s ha c Se s stmao parametr della dstrbuzoe gaussaa X e allora c3 Deve sempre essere d S può dmostrare che l valor medo del ch-uadro tede al umero d grad d lbertà: χ ( atteso ) d Qud se l rsultato del test dca che s ha: χ >> d allora l esto è egatvo. S ot che poché χ d c 0

56 se c cresce, χ dmusce, accordo co l fatto che parametr soo stat calcolat co dat e ud l accordo deve mglorare. S defsce ch-uadro rdotto la varable: ~ χ χ d per uato vsto precedeza s ha: Qud se trovamo ~ χ ( atteso) ~ χ o dobbamo dubtare della dstrbuzoe attesa, se vece ~ >> χ allora è mprobable che la dstrbuzoe attesa sa corretta.

57 Probabltà del χ Dobbamo defre uato maggore d uo deve essere l chuadro rdotto perché l potes sa scartata. Esempo ~ χ.8 è suffcetemete maggore d uo per scartare l potes? Suppoamo d aver calcolato ~χ 0 (osservato), s può calcolare ~χ la probabltà d otteere u valore maggore o uguale d 0, ell potes che le msure sao dstrbute secodo la dstrbuzoe attesa: P( ~ χ ~ χ 0 )

58 ~χ se uesta probabltà è alta allora l valore 0 è accettable e o v è motvo d rgettare la dstrbuzoe attesa. Il lvello d accettazoe (sgfcatvtà) è scelto a pror, per esempo 5% (o %). Se P( ~ χ ~ χ 0 ) 5% allora s deve rgettare l potes. La probabltà P è fuzoe del umero d grad d lbertà e s può rcavare dalle tabelle. 3

59 S osserv che: Il calcolo d ueste probabltà tratta umer osservat O k come varabl cotue che soo dstrbute gaussaamete attoro a valor attes E k. O k è u varable dscreta dstrbuta secodo la dstrbuzoe d Posso Questa dstrbuzoe è be approssmata da uella d Gauss se umer goco o soo troppo pccol. Per uesto l coteggo atteso per og tervallo E k o deve essere troppo pccolo (almeo 5) e così pure l umero d tervall. 4

60 ESEMPI SUL TEST DEL χ Esempo Dstrbuzoe gaussaa Per calcolare valor attes E k s soo utlzzat 3 parametr X,, e l umero totale del campoe, ud d8-35 ~ χ 8 5 k ( O E ) k E k k 3.5 Essedo maggore d s sospetta che le altezze o seguao la dstrbuzoe gaussaa. 5

61 Dalle tabelle s ha: ~ P ( χ 3.5) 5 0.5% ud è molto mprobable che le altezze sao dstrbute ormalmete. Possamo rfutare l potes d dstrbuzoe ormale al lvello d sgfcatvtà dell %. Esempo Se dad soo buo s deve otteere ua dstrbuzoe bomale. S hao 4 tervall e vcolo (l umero totale d dat, essu parametro da determare co dat). 6

62 Il umero atteso E k e dato dal prodotto d 00 dat total per la probabltà data dalla dstrbuzoe bomale B 5,/6 (ν). ~ χ 4 3 k ( O E ) k E k k 4.6 ~ P ( χ 4.6) 3 0.7% se dad soo buo. Qud s coclude che dad soo uas certamete o buo. 7

63 Esempo 3 Dstrbuzoe d Posso per cotegg. umer d partcelle d ragg cosmc osservat 00 tervall dstt Cotegg ν muto accadmet umero tervallo k essuo 7 Uo 7 Due 9 3 Tre 0 4 Quattro 6 5 Cue 8 Se Sette 6 Otto o pù 0 totale 00 O k E k L aals de umer della secoda coloa suggersce mmedatamete d raggruppare tutt cotegg per ν 5. Per calcolare umer attes E k, s è stmato l parametro della dstrbuzoe d Posso come (s dmostra faclmete che uesta è la mglor stma); oltre s è usato l umero totale delle osservazo. Qud grad d lbertà soo d6-4. S ha: ~ χ 6 4 k ( O E ) k E k k

64 ~ P ( χ 0.35) 4 85% Qud o c è motvo d dubtare della dstrbuzoe d Posso attesa. S ot che l valore atteso per l ch-uadro rdotto è ud l fatto che l rsultato sa more d uo è solo ua fluttuazoe dal valore medo e o dà ua evdeza maggore che la dstrbuzoe sa uella d Posso. 9

65 3 TEST DI STUDET Sa X ua varable casuale dstrbuta come l χ co grad d lbertà ed u ua secoda varable casuale, dpedete dalla prma e avete dstrbuzoe ormale stadardzza (valor medo ullo e varaza ). Cosderamo la uova varable casuale t defta attraverso la: t u X S può dmostrare che la fuzoe destà d probabltà relatva alla varable casuale t e data dalla f ( t ) ; che s chama dstrbuzoe d Studet ad grad d lbertà. T t Il coeffcete T è ua costate che vee fssata dalla codzoe d ormalzzazoe. 30

66 Se vee fatto tedere all fto l deomatore della fuzoe tede a t e e duue la dstrbuzoe d Studet tede alla dstrbuzoe ormale co meda 0 e varaza. che la forma della fuzoe d Studet rcorda molto uella ormale, soltato, rspetto a dat che seguao uesta dstrbuzoe, valor elevat dello scarto soo relatvamete pù probabl. (Per >35 la dstrbuzoe d Studet s può approssmare co la dstrbuzoe ormale co meda 0 e varaza ). La dstrbuzoe d Studet è smmetrca, ud tutt momet d orde dspar (compreso l valor medo) soo ull; metre la varaza della dstrbuzoe è VR ( t) (se >) 3

67 Idcado co la meda artmetca d u campoe d dmesoe, estratto a caso da ua popolazoe co dstrbuzoe ormale, avete valore medo e varaza e co s la stma della devazoe stadard otteuta dal campoe stesso: s ( ) e cosderado che la varable casuale ( ) s è dstrbuta come l χ ad - grad d lbertà e oltre u segue la legge ormale co meda 0 e varaza, s ha che la varable casuale u t s s ( ) segue la dstrbuzoe d Studet ad - grad d lbertà. 3

68 Quado la dmesoe del campoe o è suffcetemete grade da poter utlzzare l approssmazoe ormale (pccol campo), è ecessaro usare le dstrbuzo esatte delle varabl campoare d cu c s serve per effettuare l test. S vogla effettuare l cofroto tra dvers campo, pù precsamete tra due mede campoare (α,), stmado la varaza della popolazoe bas a dat stess. Idchamo co α l umero d msure, co α la meda del campoe e co S α la varaza campoara: S α ( ) α α α S hao due campo: Campoe : S,, S Campoe :,, 33

69 H Voglamo verfcare l potes ulla: o : che valor med sao ugual, coè due campo provegoo dalla stessa popolazoe. La dffereza tra le mede campoare segue la dstrbuzoe d Studet ella varable: t ν ( ) S co u umero d grad d lbertà che per l potes ulla dveta: ν t ν S La stma campoara della varaza, dcata co S S, s ottee tramte la seguete espressoe: ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) S 34

70 Il test è blaterale (a due code), prefssato l lvello d sgfcatvtà ad esempo al 5% se l valore assoluto della varable t ν d Studet è maggore del valore crtco corrspodete al 5% co ν grad d lbertà (rcavable dalle tabelle), s deve rfutare l potes, altrmet s accetta l potes ulla. Esempo: S abbao campo: 0, 79.0, S 0.7 0, 8.0, S 0.47 co ν 8 grad d lbertà. Essedo s ha: S S S e ud 35

71 t ν S S 7.75 Il valore crtco al lvello del 5% co ν 8 è: t crt. ud l potes ulla che campo provegao dalla stessa popolazoe deve essere rfutata, due campo soo compatbl. 36

72 TBELLE 37

73 38

74 39

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