Sommario. Facoltà di Economia. Obiettivo. Quando studiarla? Lezione n 7. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla?

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1 Corso d Statstca acoltà d Ecooma a.a. - La cocetrazoe Quado studarla? Obettvo Dagramma d Lorez apporto d cocetrazoe rea d cocetrazoe Esemp Sommaro Lezoe 7 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola Quado studarla? Obettvo X: carattere quattatvo tra le utà statstche Trasferble Iteressa msurare se e quato l carattere rsulta equamete suddvso tra le utà del collettvo o vece rsulta cocetrato poche utà statstche. Es: l reddto è u carattere trasferble (tra gl dvdu, come lo soo l patrmoo, l umero d azo d ua certa azeda (tra gl azost e fazamet rcevut dalle rego talae (tra le rego stesse. o soo vece trasferbl caratter come l età o l testà delle precptazo da ua zoa all altra. Charamete og stuazoe reale sarà termeda tra due stuazo estreme che chameremo d equrpartzoe e d cocetrazoe massma. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 3 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 4

2 Cas estrem Equdstrbuzoe: tutte le utà statstche possedoo la stessa quattà del carattere X Utà statstche:,,, -, Quattà posseduta: µ, µ,, µ, µ Tre mod per valutare la cocetrazoe Curva d cocetrazoe (o d Lorez-G apporto d cocetrazoe Massma cocetrazoe: Il carattere è posseduto ella sua totaltà da ua sola utà statstca: rea d cocetrazoe Utà statstche:,,, -, Quattà posseduta:,,,, x µ Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 5 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 6 Curva d cocetrazoe. Ordamo le quattà del carattere (testà possedute dalle utà statstche seso o decrescete:. Defamo: x x... x (frequeze cumulate delle utà pù povere X X Q (quattà relatve d carattere delle utà pù povere µ X Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 7 Curva d cocetrazoe (, Q appresetamo le le coppe u grafco cartesao e cogugamole. La spezzata così otteuta è la curva d cocetrazoe. Esempo: 7 Curva d Lorez,9 Q,8,7,6,5,4,3,,,,4,6,8 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 8

3 lcue osservazo: Curva d cocetrazoe La spezzata parte da ( e terma, Q (, (, Q (, Essedo Q la spezzata è sempre al d sotto della bsettrce. La bsettrce è tale per cu Q e rappreseta qud l caso d equrpartzoe: quato pù la curva s dscosta dalla bsettrce tato maggore è la cocetrazoe del carattere. Il geerco puto (, Q della spezzata s può terpretare el seguete modo: l ( % pù povero d carattere possede l (Q% del carattere totale. d esempo se l grafco precedete fosse rferto al reddto avremmo che l 6% pù povero della popolazoe possede crca l 3% del reddto totale. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 9 Il rapporto d cocetrazoe Itutvamete la dstaza vertcale tra la bsettrce e la spezzata d cocetrazoe, par a ( Q, aumeta all aumetare della cocetrazoe del carattere q,9,8,7,6,5,4,3,, Curva d Lorez,,4,6,8,8,6,4 Curva d Lorez,,4,6,8 Equrpartzoe (7 Massma cocetrazoe (7 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola, Il rapporto d cocetrazoe Cocetramoc qud su tale dstaza: bbamo vsto che geerale vale Q,,..., Metre: I caso d equdstrbuzoe: Q,,..., I caso d massma cocetrazoe: Q,,...,- e Q. U modo aturale per msurare la cocetrazoe è qud quello d costrure u dce basato sulla somma d tal dffereze... Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola Il rapporto d cocetrazoe la somma delle dffereze (-Q, dvsa per l valore massmo che tal dffereze possoo assumere è ota come rapporto d cocetrazoe d G: ( Q ( Q S ha partcolare vale el caso d equrpartzoe ed el caso d massma cocetrazoe. Osservazoe: esste u legame tutvo tra cocetrazoe e la dspersoe d u carattere. Ifatt pù u carattere è cocetrato maggore è la sua dspersoe. l cotraro el caso d equrpartzoe l carattere preseta ua sola modaltà: dspersoe ulla. I effett s può mostrare che vale la seguete relazoe: µ µ Qud può essere vsto ache come u dce d varabltà relatva, quato corrspode alla dffereza semplce meda dvsa per l suo massmo (µ. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola

4 Data la successoe d modaltà d X: Esempo Pe calcolare aztutto s ordao le x seso o decrescete ( ad esempo X 6 perché l utà pù povera possede 6 e po s trovao corrspodet valor d e Q (ad esempo /7.49 e Q 6/34,494 ovvero: l utà pù povera rappreseta l 4% del totale e possede crca l 5% del carattere totale. S ot che: Esempo (cotua ( Q ( Q Q e qud s può calcolare l valore d a partre dalle sole testà cumulate x Q ( -Q 6,49,494,935,857,4,75 Q, ,486,85,434, ,574,84, ,743,4753,39 6 8,857,7, Totale 34 3,698 x Q 6,494,4 3 3,85 4 3,84 5 6, ,7 7 9, 34,83 Q Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 3 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 4 q,9,8,7,6,5,4,3,, rea d cocetrazoe Dagramma d Lorez etta d equdstrbuzoe rea d cocetrazoe Spezzata d cocetrazoe p,,4,6,8 L area tra la curva d cocetrazoe e la retta d equdstrbuzoe prede l ome d area d cocetrazoe el caso d equrpartzoe l area è d cocetrazoe è par a zero; al crescere della cocetrazoe l area cresce seza ma superare l valore ½. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 5 rea d cocetrazoe Ua msura dell area d cocetrazoe può essere otteuta sottraedo all area del tragolo la somma delle aree degl trapez delmtat da put (,Q per,,,. q,9,8,7,6,5,4,3,, Dagramma d Lorez,,4,6,8 p rea del trapezo: ½ x Somma delle bas x altezza q q + Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 6 p p + ( ( Q + Q LTEZZ B. MGG+ B. MIOE

5 rea d cocetrazoe U dce d cocetrazoe s può otteere dvdedo l area d cocetrazoe per l valore assuto da tale area el caso d cocetrazoe massma: I max Poché s dmostra che: 4µ ( max max ( Q + bbamo I. Ovvero rtrovamo l rapporto d cocetrazoe d G che s può qud calcolare ache dvdedo l area d cocetrazoe per l suo valore massmo. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 7 Q rea d cocetrazoe U altro dce d cocetrazoe s può otteere osservado che l area d cocetrazoe massma è approssmatvamete uguale ad ½ per grade. Possamo qud rapportare l area d cocetrazoe a questo valore: ( ( Q + Q ɶ ( ( Q Q + ~ I geerale < co due dc che tedoo a cocdere per grade. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 8 Dat raggruppat ora abbamo cosderato dat o raggruppat, suppoamo ora d avere ua dstrbuzoe d frequeza, per cu abbamo k valor dstt x,..., x k ordat modo o decrescete co,..., k umerostà. Defamo: Q p x k x x µ + p p px + px p x µ S tratta charamete delle verso poderate d e Q vste precedeza co la dffereza che ora l dce va rferto alle class. Le ultme uguaglaze dao la formula per frequeze relatve. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 9 Dat raggruppat Curva d cocetrazoe: uedo le coppe (, Q s ottee la stessa curva d cocetrazoe che s otterrebbe lavorado co dat utar. L uca dffereza è che ora per otteere la spezzata s devoo cogugere k put e o pù put. Ioltre usado la formulazoe co le frequeze relatve è possble costrure la curva ache el caso cu s cooscoo solo le frequeze relatve p. rea d cocetrazoe: la curva d cocetrazoe è la stessa qud l valore d ~ e d Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola

6 Dat raggruppat apporto d cocetrazoe d G: Calcolado l rapporto d cocetrazoe co le coppe (, Q s ottee l dce: k ( k Q Che è, geerale, dverso da. Questo perché è dversa la stuazoe d massma cocetrazoe e due cas: usado le frequeze relatve la massma cocetrazoe s ha quado tutto l carattere è coteuto ella k-esma classe, e qud da k utà statstche (e o da ua sola. Ovvamete se s cooscoo solo le frequeze relatve è l uco dce calcolable. Dat raggruppat tervall S pes ad u carattere cotuo come l reddto: se è grade è poco pratco costrure la curva d cocetrazoe (o l rapporto o l area a partre da reddt dvdual: s procede pertato ad accorpare gl dvdu class d reddto. questo puto però sorge l problema d valutare la cocetrazoe per ua varable cotua (per tervall. Il modo pù semplce d procedere cosste el dscretzzare la varable cotua cocetrado tutta la massa su put med degl tervall per po procedere come e cas precedet. el caso cu s dspoga dell ammotare totale d carattere u tervallo s può sfruttare questa formazoe per dscretzzare gl tervall modo coerete co tale ammotare totale. Es: ell tervallo [5,5 d umerostà s sa che l carattere totale è par a 6. E preferble dscretzzare l tervallo su X 6. S ot che devoo essere ote le umerostà degl tervall per poter procedere questo modo. Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola Esempo:Cocetrazoe per dstrbuzo d frequeze k S utlzza la formula: ɶ ( ( Q + Q eddto [x, x + umero d dpedet eddto Dscr. X D X D Q - - Q +Q - ( - - ( Q +Q Total 7 7 D X ~ Esempo: Cocetrazoe per dstrbuzo d frequeze k S utlzza la formula: ɶ ( ( Q + Q I questo caso s sfrutta u formazoe aggutva: la coosceza dell ammotare complessvo del carattere per og classe ( X ; atturato zede mmotare fatturato X ' Q Q + Q - X + ( ( Q Q Totale ~ Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 3 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 4

7 Cofroto Tra Dstrbuzo S rportao d seguto le dstrbuzo de fazamet cocess da u sttuto bacaro per l acqusto della prma casa a gova coppe resdet Campaa ed Sardega: Sardega azamet (mglaa d Euro Totale Campaa azamet (mglaa d Euro Totale a I quale regoe rsulta pù elevata la cocetrazoe de fazamet cocess? b Cofrotare grafcamete dvers lvell d cocetrazoe de fazamet elle due rego Cocetrazoe de fazamet Sardega Sardega azamet (mglaa d Euro p x x X q p + - p q + + q (p + - p (q + + q Totale ~ k ( p p ( q+ + q Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 5 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 6 Cocetrazoe de fazamet Campaa Campaa azamet (mglaa d Euro p x x X q p + - p q + +q (p + - p (q + +q Totale ~ k ( p p ( q+ + q Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 7 ~ sar.468 ~. 4 La cocetrazoe è pù cam elevata Sardega q p Equdstrbuzoe Sardega Campaa La curva d Lorez coferma questo rsultato Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 8

8 eplogo La cocetrazoe può essere calcolata solo su u carattere quattatvo trasferble Le due stuazo lmte soo: Equdstrbuzoe: tutte le utà statstche possedoo la stessa quattà del carattere X Massma cocetrazoe: Il carattere è posseduto ella sua totaltà da ua sola utà statstca Le due quattà essezal per l calcolo della cocetrazoe soo: :frazoesultotaledelleprmeutàpùpovere Q :frazoedelcaratterepossedutodalleprmeutà. IEPILOGO DELLE OMULE PE IL CLCOLO DELL COCETZIOE ( Q q ( µ ~ ( p X + p ( q+ + q Solo per dstrbuzo utare Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 9 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 3 IEPILOGO DELLE OMULE PE IL CLCOLO DELL COCETZIOE ~ DOVE µ ( p + p ( q+ + q Per dstrbuzo d frequeze assolute p x ( ( X Q k X x ( ( Per dstrbuzo utare e d frequeze assolute ormule d traszoe ~ ~ k Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola 3