AI VERTICI DI UN QUADRATO DI LATO 2L SONO POSTE 4 CARICHE UGUALI Q. DETERMINARE: A) IL CAMPO ELETTRICO IN UN PUNTO P DELL ASSE.

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1 ESERCIZIO 1 AI VERTICI DI UN UADRATO DI LATO SONO POSTE 4 CARICHE UGUALI. DETERMINARE: A) IL CAMPO ELETTRICO IN UN PUNTO P DELL ASSE. 4 caiche uguali sono poste ai vetiti di un quadato. L asse di un quadato è quell asse passante pe il cento O del quadato e pependicolae al quadato stesso. La disposizione delle caiche è appesentata in figua: P asse del quadato O Pe la isoluzione del poblema icodiamo il pincipio di sovapposizione: ciascuna caica faà sentie la popia influenza nel punto P indipendentemente dalle alte caiche pesenti. Ne segue che possiamo consideae il contibuto di ciascuna caica nel punto P come se le alte caiche non ci fosseo, e poi sommae i singoli contibuti ottenuti. Semplifichiamo la geometia del sistema. Le caiche sono disposte ai vetici di un quadato. Fissato un punto geneico P sull asse che dista R dal cento, le 4 caiche avanno tutte la stessa distanza dal punto P dell asse.

2 P R O Il poblema pesenta una geometia 3D abbastanza complessa. Come possiamo icondulo ad una geometia bidimensionale? Poiché possiamo avvaleci del pincipio di sovapposizione, possiamo consideae il contibuto di due caiche nel punto P, poi quello delle alte due e sommae i due contibuti che otteemo. uesta semplificazione ci consente di consideae il piano passante pe il punto P e pe due caiche diametalmente opposte: P Piano consideato O

3 Nel piano consideato in figua, indico con il campo elettico geneato dalla caica 1 nel punto P e con il campo elettico geneato dalla caica 2 nel medesimo punto P. Non si può pescindee dalla natua vettoiale del poblema, in quanto, come discende dalla definizione della foza di Coulomb sappiamo che la diezione della foza è dietta lungo la congiungente delle due caiche: 1 E Piano consideato 2 E Dalla teoia di Coulomb sappiamo che il campo elettico geneato da una caica puntifome ad una distanza è pai a: quindi, detto: il vesoe paallelo a il vesoe paallelo a si ha: Se calcoliamo i moduli, si ottiene (le caiche sono uguali ed entambe distano dal punto P):

4 E Ovveo: (1) - E Il campo elettico geneato da 1 nel punto P ha lo stesso modulo del campo elettico geneato da 2 nel punto P, ma diezioni divese. A questo punto è utile intodue un sistema di ifeimento catesiano con cento nel punto O e asse y paallelo all asse che congiunge le due caiche 1 e 2. Dalla geometia del poblema si intuisce che entambi i vettoi e fomano lo stesso angolo α con l asse delle x. Possiamo quindi scompoe i due campi lungo l asse x e lungo l asse y del sistema di ifeimento scelto. Denotando con: il vesoe paallelo all asse x il vesoe paallelo all asse y si ottiene: 1 y senα α E cosα Piano consideato E 2 senα E cosα E x Sommiamo vettoialmente i due contibuti:

5 = Utilizzando la (1): ( ) ( ) uesto è il contibuto dovuto a due sole caiche. Ripetendo gli stessi passaggi pe le alte due caiche diametalmente oppostte, pe ovvie agioni di simmetia si otteà il medesimo isultato. In conclusione, il campo elettico geneato da 4 caiche uguali in un punto P dell asse avà la seguente espessione: (2) In base al sistema di ifeimento scelto, l asse x coincide con l asse del quadato. Pe tale motivo è conveniente iscivee in funzione della distanza R del punto P dal cento O. Consideiamo il tiangolo in figua: P R α O L Dal teoema di Pitagoa: ( ) (3) Dalla tigonometia: Usiamo la (3):

6 ( ) (4) L espessione pe della (2) diventa, utilizzando (3) e (4): ( ) ( ) * ( ) + (5) B) IL CAMPO ELETTRICO AL CENTRO DEL UADRATO. Pe deteminae il campo elettico al cento del quadato, ovveo nel punto O, possiamo utilizzae l espessione (5) che espime sull asse in funzione della distanza R del punto P da O. in O significa che il punto P deve coincidee con il punto O, ovveo che R = 0. Se nella (5) poniamo R = 0, discende immediatamente che: ( ) Il campo elettico nel cento del quadato è quindi nullo. C) IL PUNTO P DELL ASSE IN CUI IL CAMPO ELETTRICO E MASSIMO L espessione (5) è una funzione del campo elettico ispetto alla distanza R dal cento del quadato, con una natua vettoiale. D alto canto, il campo sull asse giace solo lungo l asse del quadato: questo ci consente di dimenticae la natua vettoiale del campo, in quanto al vaiae del punto P sull asse, la diezione e il veso dell non cambiano. uindi consideo solo il modulo: ( ) * ( ) +

7 è una funzione scalae di R. Pe deteminae il punto dell asse in cui è massimo, utilizziamo un isultato noto dell analisi matematica sulle funzioni scalai: i punti di massimo di una funzione ispetto ad una vaiabile si calcolano ponendo la deivata pima della funzione ispetto alla vaiabile uguale a zeo. Nel nosto caso dobbiamo deivae ispetto a R e poi poe il isultato uguale a zeo. ( * ( ) + ) * ( ) + * ( ) + [ {* ( ) + } ] * ( ) + * ( ) + [ * ( ) + ] Poniamola oa uguale a zeo. Consideando che non può essee nullo, si ha: Conviene iscivela nel modo seguente: * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( ) + Raccogliamo * ( ) + a fatto comune: * ( ) + [ * ( ) + ]

8 * ( ) + * + (6) Consideo il fattoe * ( ) + : * ( ) + * ( ) + e non può essee nullo. uindi la (6) equivale a: Il campo elettico saà massimo nel punto P dell asse che dista L dal cento del quadato, ovveo metà della lunghezza del lato del quadato stesso. D) IL POTENZIALE IN UN PUNTO P DELL ASSE E noto che una caica puntifome genea in un punto P distante da un potenziale V pai a: Nel nosto caso, le 4 caiche ai vetici del quadato sono identiche e distano tutte da un fissato punto P dell asse. Avvalendoci del pincipio di sovapposizione, il potenziale V p geneato dalle 4 caiche in un punto P dell asse distante dalle 4 caiche saà la somma scalae (peché il potenziale pe definizione ha una natua scalae) dei 4 contibuti indipendenti. (7)

9 ( ) dove nell ultimo passaggio si è utilizzato il isultato (3). E) SE UNA CARICA q 0 E POSTA NEL CENTRO DEL UADRATO, CALCOLARE L ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA E IL LAVORO W PER PORTARE q 0 AD UNA DISTANZA INFINITA. E noto che l enegia potenziale elettostatica U ta due caiche identiche distanti l una dall alta è pai a: Pe un sistema di N caiche, l enegia potenziale elettostatica del sistema è data dalla somma dell enegia potenziale elettostatica di tutte le coppie di caiche che posso consideae, pendendo ciascuna coppia una volta sola. Calcoliamo l enegia elettostatica del nosto sistema : Se indichiamo con: l enegia elettostatica ta la caica i e la caica i, possiamo scivee l enegia potenziale elettostatica del nosto sistema come:

10 Dalla figua e utilizzando la (7) si evince che: uindi: (8) Se aggiungo una caica q 0 nel cento del quadato, l enegia potenziale elettostatica, del nuovo sistema la posso calcolae sommando a, i 4 contibuti deivanti dall inteazione di q 0 con le 4 caiche. 1 4 q Se indichiamo con: l enegia elettostatica ta la caica i e la caica q 0, alloa il contibuto all enegia elettostatica ( ) dato dalla caica saà: ( ) Dalla figua si evince che: e quindi: ( )

11 L enegia potenziale elettostatica del nuovo sistema saà pai a : ( ) (9) E noto che, detto: l enegia potenziale elettostatica di un sistema nello stato iniziale l enegia potenziale elettostatica di un sistema nello stato finale il lavoo è pai a: ( ) (10) Il poblema ci chiede di valutae il lavoo pe potae la caica dal cento del quadato sino ad una distanza infinita. Possiamo utilizzae la fomula appena scitta pe calcolae il lavoo. Lo stato iniziale del sistema consiste nella caica elettostatica del sistema saà pai a (9): al cento del quadato: l enegia potenziale ( ) Lo stato finale del sistema consiste nella caica a distanza infinita dalle 4 caiche : il sistema è quindi costituito dalle sole 4 caiche e l enegia potenziale elettostatica è data dalla (0): Utilizzando la (10) e queste due ultime consideazioni si ottiene: ( ) ( ( )) ( )

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