Verificare speditamente le armature a flessione e al taglio, utilizzando la EN

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1 (*)ESEMPIO 9 (procedura di verifica). Sia data la travata a due campate analizzata all esempio 4 e riportata, per comodità di lettura, in figura La sezione trasversale della travata sia 30 cm x 50 cm e sia stata confezionata con un conglomerato C20/25 e con acciai nervati S440. La massima sollecitazione flettente di progetto è stata valutata attorno a M Sd = 15,5tm, tenendo conto di una traslazione del diagramma dei momenti flettenti pari a a l = z = 0,9 h 40 cm. Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!! Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_40.tif Figura Travata a due luci da verificare a flessione e al taglio. Diagramma del taglio riportato solo su metà campata. Verificare speditamente le armature a flessione e al taglio, utilizzando la EN SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato (C20/25): f cd = 113daN / cm 2 (tab. 9.3_b); f ck = 200 dan / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b); f ctm = 22daN / cm 2 f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.3_b); (tab. 9.3_b); acciai (S440): f yd = 3830daN / cm 2 (tab. 9.4_b); f yk = 4400 dan / cm 2 (tab. 9.4_b). Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: h h = c + staffe + long / 2 = (2,5cm)+ (0,8cm) + (2,0cm)/2 = 4, 50 cm. Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (50 cm) (4,50 cm) = 45,50 cm ; Per la verifica della armature a flessione, si veda procedimento all analogo esempio 4. Le armature ettivamente presenti sono: (F f ) = ( F f ) = 420 = 4(3,14 cm 2 ) = 12, 57 cm 2. Le armature longitudinali verificano le prescrizioni della Normativa. Infatti: F f = F f = 12,57 cm 2 b H 0, 04 = 60,0cm 2 ; Infine, calcolata la larghezza della sezione tesa, che per sezione rettangolare risulta b m = b = 30 cm, si ha: 663

2 F traz = 12,57 cm 2 0, 26 f ctm b m h = 0, 26 (2,2MPa) (30 cm) (45, 5cm) 1,77 cm2 f yk (440 MPa) 0, 0013b m h = 0,0013(30 cm) (45, 5cm) 1,77 cm 2. In particolare, nelle sezioni agli incastri, in virtù dell innesco di una resistenza ad arco-tirante l armatura minima longitudinale (barre disposte inferiormente alla casseratura e compresse rispetto al verso della sollecitazione flettente all incastro) deve essere: F f min = V (15500 dan ) Sd = f yd (3830 dan / cm 2 ) 4,05 cm 2. Risulta un quantitativo ettivo sufficiente: F f = 12,57 cm 2 > F f min = 4,05 cm 2. Calcolo minimi armature al taglio. A Dalla relazione: sw 0, 08 s [cm 2 / m] = 100 f [MPa] ck b m [cm]sin, min f yk [MPa] per le staffe (sin = 1 ), si calcola: A sw s min 0, 08 [cm 2 / m] = 100 (20 MPa) (440 MPa) (30 cm) 2,44 cm 2 / m. Inoltre, il passo massimo per le staffe deve essere: max = 0,75h (1+ cotg ) = 0,75(45, 5cm)34 cm. Il vincolo per la distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe in una sezione: 0,75h = 0,75 (45, 5cm) 34cm s trasv min 60 cm è inutile perché 34 cm > b m = 30 cm. Verifica armature al taglio Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone. Si assume: 1,0 < cotg < 2,5. Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa cotg = 2,5 (con e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per V Rd max il valore minimo: V Rd max = cw b m 0,9 h f cd 2, 5 0,138 0, 30 cw b m h f cd. Si calcola, intanto: = 0,6 1 f [MPa] (20 MPa) ck = 0,6 1 0, 55 ; e cw = 1,0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha: V Rd max = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 301 (30 cm)(45, 5cm) 0, 55(113daN / cm 2 ) dan. Risultando (vedere andamento del taglio su metà campata, in figura 11.40): V Sd = dan < V Rd max = dan, la verifica a non schiacciamento è positiva. Verifica sezione su taglio massimo V Sd = dan 1 2 b m h f cd = 1 2 (30 cm) (45,5cm) 0,55 (113daN / cm 2 ) dan Verifica staffatura 664

3 Nel primo tratto da filo pilastro fino alla sezione z * = 65 cm è presente una staffatura in ragione di 18 / 10 con un taglio massimo di calcolo pari a V Sd = dan. La staffatura si dimostra sufficiente, in quanto (assunto = 45 e con f 1s = 28 = 2(0, 50 cm 2 ) ): V Rds = f 1s 0, 9h f yd = 2 (0, 50 cm2 ) 0,9 (0,455 m) (3830 dan / cm 2 ) dan, (0,10 m) risulta: V Rds = dan > V Sd = dan. Nei rimanenti tratti verso la campata ( z * > 65 cm, con V Sd (z * ) = dan ), la staffatura presente in ragione di 18 / 20 è insufficiente se si assume = 45 : V Rds = f 1s 0, 9h f yd = 2 (0, 50 cm2 ) 0,9 (0,455 m) (3830 dan / cm 2 ) 7800 dan. (0, 20 m) Infatti, risulta: V Rds = 7800 dan < V Sd = dan. Essendo però per cotg = 2,5 verificata la V Rd max > V Sd, ponendo V Rds = V Sd = dan, si calcola il valore ettivo di cotg : V cotg = Sd (12100 dan)(20 cm) = 1,54. f 1s 0,9 h f yd (1,0cm 2 )0,9 (45, 5cm)(3830daN / cm 2 ) Risultando cotg = 1,54 compreso all interno dell intervallo cotg [1,0; 2,5], la staffatura 18 / 20 è idonea e le sezioni, dalla z * = 65 cm in poi, possono dirsi verificate. Andrà comunque constatato che le armature longitudinali coprano il diagramma dei momenti flettenti traslato in funzione del valore cotg = 1,54. La staffatura 18 / 20 con passo più ampio verifica i minimi di armatura: f 1s = 2 (0, 50cm2 ) (0,20 m) = 20 cm < max = 34 cm. = 5,0cm 2 / m > A sw s min = 2,44 cm 2 / m ; Nota. Quest ultima verifica poteva condursi anche sfruttando direttamente il concetto di grado di assorbimento del taglio (vedere fine paragrafo ): V Sd (12100 dan) = V Rds, =45 (7800 dan ) 1,55 = cotg [1,0; 2, 5]. Se fosse stato presente, ad esempio, un passo maggiore (25 cm), si sarebbe calcolato immediatamente: (25 cm) cotg = 1,54 1,93 < 2,5 ; (20 cm) quindi, diminuisce l armatura per le staffe ma aumenta l armatura per le barre longitudinali; aumentano le tensioni oblique di compressione nell anima della trave: tendendo a valori prossimi a 2,5, ad aumenti progressivi dei carichi, ci si avvicina alla rottura per fragilità. Mantenendo una staffatura abbondante ( il più possibile prossimo a 1), si conferisce al conglomerato compresso anche il mantenimento di una buona cerchiatura. (*)ESEMPIO 10 (progetto condizionato). Sia data la travata dell esempio precedente. Si progetti l armatura di cucitura al taglio mediante una staffatura con staffe a due bracci del diametro di 8 mm. Si mantengano le medesime ipotesi sui materiali e sulle armature longitudinali. Si tenga presente quanto verificato nell esempio 9. Si rispettino le indicazioni e le prescrizioni sui minimi di armatura date nella EN

4 SOLUZIONE. La sezione da asse pilastro in cui la sollecitazione tagliante assume il valore di 7800 dan si calcola in virtù della linearità del taglio. In particolare, detta con z ** la sezione da asse pilastro in cui risulta appunto V Sd (z ** ) = 7800 dan, si calcola: z ** = z 1 V (z ** ) (7800 dan) Sd = (300 cm) 1 V Sd (15600 dan) = 150 cm ; essendo z = 300 cm la distanza dell annullamento della sollecitazione tagliante, rispetto all asse del pilastro. Inoltre, il massimo taglio di progetto che può coprire una staffatura in ragione di 18 / 15 è la seguente (mantenendo = 45 ): V Rds = f 1s 0, 9h f yd = 2 (0, 50 cm2 ) 0,9 (0,455 m) (3830 dan / cm 2 ) dan, (0,15 m) a cui corrisponde una sezione distante da filo pilastro pari a: z = z 1 V (z) (10400 dan) Sd = (300 cm) 1 V Sd (15600 dan) = 100 cm. Arrotondando sia per sicurezza che per semplicità di disposizione dei passi delle staffe in cantiere, i due valori calcolati, rispettivamente, a z ** = 170 cm e z = 110 cm, è possibile adottare le seguenti staffature (mantenendo per le staffe il diametro di 8 mm): da filo pilastro fino alla sezione z * = 110 cm : 18 / 10 ; (risultando V Rds = dan > V Sd = dan > V Sd (z) = dan); dalla sezione z ** = 110 cm fino alla sezione z ** = 170 cm : 18 / 15 ; (risultando V Rds = dan > V Sd (110 cm) > 7800 dan); nelle rimanenti sezioni in campata: 18 / 20 ; (risultando V Rds = 7800 dan > V Sd (170 cm)). Le staffature adottate rispettano i minimi prescritti dalle Norme (vedere esempio precedente). Si riporta, di seguito nella figura 11.41, una proposta di carpenteria esecutiva della travata a due campate progettata. Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!! Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_41.tif Figura Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata. 666

5 Come si può notare dal semidiagramma della sollecitazione tagliante (riportata solo su metà della prima campata), le armature di cucitura al taglio disposte coprono completamente il diagramma del taglio. Verifica prescrizioni di Normativa. Verifica sezione sul taglio massimo: V Sd = dan 1 2 b m h v f cd = 0,5 (30 cm) (45, 5cm) 0, 55(113daN / cm 2 ) dan. Il metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse impone di verificare per ogni staffatura che: f 1s 0,5 cw b m sin f cd f yd = 0, 5 cw b m f cd f yd. Si esegue la verifica per la sola staffatura con passo minore 18 / 10. La verifica è positiva, risultando: f 1s = (1,0cm2 ) = 0,1cm 2 / cm < 0, 51 0,55 (30 cm) (113daN / cm2 ) (10 cm) (3830daN / cm 2 ) 0,24 cm2 / cm. Verifiche prescrizioni generali. Verifica percentuale minima armature al taglio Si verifica la staffatura con passo maggiore: 18 / 20. Si ha: A w = sw s b m sin = f 1s b m sin (90 ) = 2(0, 50 cm2 ) 0, (20 cm) (30 cm) Risultando: w = 0,00167 wmin = 0,08 f [MPa] 0,08 (20 MPa) ck = 0,0008. f yk [MPa] (440 MPa) Verifica distanze minime armature trasversali. Si esegue la verifica sul tratto staffato con passo massimo (18 / 20 ): s st = 20 cm s lmax = 0,75h (1+ cotg ) = 0,75(45, 5cm) 34 cm. Verifica massima distanza trasversale tra i bracci delle staffe. Deve risultare: 0,75h 34 cm s s max = 60 cm. Utilizzando staffe a due bracci di diametro 8 mm su una larghezza della sezione pari a b = 30 cm e avendo previsto un ricoprimento delle armature trasversali di 2,5 cm, risulta una distanza tra i bracci delle staffe (asse-asse) pari a: d s = b 2 c staffa = (30 cm) 2(2,5cm) (0,8cm) 24 cm. Risultando d s = 24 cm < s s max = 34 cm, la staffatura adottata rispetta la prescrizione di Normativa. (*)ESEMPIO 11 (progetto condizionato). Sia data una travata a due campate di luce L = 6,0 m e di sezione 30 cm x 50 cm. La travata sia sottoposta alle seguenti massime sollecitazioni di progetto: M Sd = 12 tm = 1,210 6 dancm (agli incastri e in mezzeria); V Sd = 10 t = dan (taglio nullo alla distanza di z = 300 cm da asse pilastro). 667

6 Sapendo che il massimo ricoprimento previsto per le armature più esterne è pari a c = 2,5 cm, valutare speditamente le armature longitudinali e le armature trasversali, utilizzando per i ferri delle staffe barre di diametro 8 mm. I materiali utilizzati siano: C20/25 per il conglomerato e S440 per gli acciai nervati. Si ipotizzi che in cantiere siano disponibili, per le sole armature longitudinali, barre del diametro di 12 mm e 16 mm. Si seguano le indicazioni e le prescrizioni sui minimi di armatura date nella EN SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato (C20/25): f cd = 113daN / cm 2 (tab. 9.3_b); f ck = 200 dan / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b); f ctm = 22daN / cm 2 f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.3_b); (tab. 9.3_b); acciai (S440): f yd = 3830daN / cm 2 (tab. 9.4_b); f yk = 4400 dan / cm 2 (tab. 9.4_b). Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: h h = c + staffe + long / 2 = (2,5cm)+ (0,8cm) + (1,6cm)/2 = 4,10 cm. Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (50 cm) (4,10 cm) = 45,90 cm ; Per la procedura di calcolo delle armature longitudinali, si rimanda all esempio 6. In particolare, le armature disposte nella figura verificano i minimi e le prescrizioni da Normativa. Si riporta di seguito, per comodità di lettura nella figura 11.42, il semidominio di progetto delle sezioni così progettate. 668

7 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_42.tif Figura Semidominio resistente delle sezioni progettate. Come si può notare, il punto della sollecitazione di progetto (n Sd ; m Sd ) (0,00; 0,18) è perfettamente allineato alla retta che separa i campi di rottura 2 e 3. Pertanto, la rottura è in condizioni di massima duttilità ( c = 3,5 con f = 10 ). Verifica armature al taglio Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone. Si assume: 1,0 < cotg < 2,5. Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa cotg = 2,5 (con e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per V Rd max il valore minimo: V Rd max = cw b m 0,9 h f cd 2, 5 0,138 0, 30 cw b m h f cd. Si calcola, intanto: 669

8 = 0,6 1 f [MPa] (20 MPa) ck = 0,6 1 0, 55 ; e cw = 1,0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha: V Rd max = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 301 (30 cm)(45,9cm)0,55 (113daN / cm 2 ) dan. Risultando V Sd = dan < V Rd 2 = dan, la verifica a non schiacciamento è positiva. Progetto e verifica staffatura Tenendo conto che a rottura, nei pressi degli incastri, le lesioni sono a 45, si assume per il progetto delle armature longitudinali cotg = 1. Si calcola, quindi, il passo minimo delle staffe nei pressi degli incastri (staffe a due bracci di diametro 8 mm con f 1s = 28 ): min = f 1s 0,9 h f yd = [2 (0,50 cm 2 )] 0,9 (0,459 m) (3830 dan / cm 2 ) 0,16 m = 16 cm. V Sd (10000 dan) Nei pressi degli incastri si adotta, quindi, una staffatura in ragione di 18 / 15. Infatti: V Rsd = f 1s 0, 9 h f yd = [2 (0,50 cm2 )] 0,9 (0,459 m) (3830 dan / cm 2 ) dan, (0,15 m) con V Rsd > V Sd = dan. Invece, una staffatura in ragione di 18 / 25 porta un taglio massimo pari a: V Rsd = f 1s 0, 9 h f yd = [2 (0,50 cm2 )] 0,9 (0,459 m) (3830 dan / cm 2 ) 6300 dan. (0,25 m) Tale valore del taglio si ha nella sezione distante da asse pilastro di: z * = z 1 V (z * ) (6300 dan ) Sd = (300 cm) 1 V Sd (10000 dan) = 111 cm, che si arrotonda al valore z * = 120 cm. In particolare, supponendo dei pilastri di sezione 30 cm x 30 cm, tale sezione dista da filo pilastro di 120 cm (30 cm)/2 = 105 cm. Pertanto, una staffatura possibile è la seguente: da filo pilastro fino a z * = 105 cm si adotta una staffatura in ragione di 18 / 15 ; nelle sezioni in campata, a valle della sezione z *, si adotta una staffatura in ragione di 18 / 25. Verifica prescrizioni di Normativa. Verifica sezione sul taglio massimo: V Sd = dan 1 2 b m h v f cd = 0,5 (30 cm) (45,9cm)0,55 (113daN / cm 2 ) dan. Il metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse impone di verificare per ogni staffatura che: f 1s 0,5 cw b m sin f cd f yd = 0, 5 cw b m f cd f yd. Si esegue la verifica per la sola staffatura con passo minore 18 / 15. La verifica è positiva, risultando: f 1s = (1,0cm2 ) = 0, 06 cm 2 / cm < 0,5 1 0, 55(30 cm) (113daN / cm 2 ) (15 cm) (3830daN / cm 2 ) 0,24 cm 2 / cm. Verifiche prescrizioni generali. Verifica percentuale minima armature al taglio 670

9 Si verifica la staffatura con passo maggiore: 18 / 25. Si ha: A w = sw s b m sin = f 1s b m sin (90 ) = 2(0, 50 cm 2 ) 0, (25 cm) (30 cm) Risultando: 0,08 w = 0,00133 w min = f [MPa] 0,08 (20 MPa) ck = 0,0008. f yk [MPa] (440 MPa) Verifica distanze minime armature trasversali. Si esegue la verifica sul tratto staffato con passo massimo (18 / 25 ): s st = 25 cm s l max = 0,75 h (1+ cotg) = 0,75(45,9cm) 34,4cm. Verifica massima distanza trasversale tra i bracci delle staffe. Deve risultare: 0,75h 34, 4cm s s max = 60 cm. Utilizzando staffe a due bracci di diametro 8 mm su una larghezza della sezione pari a b = 30 cm e avendo previsto un ricoprimento delle armature trasversali di 2,5 cm, risulta una distanza tra i bracci delle staffe (asse-asse) pari a: d s = b 2 c staffa = (30 cm) 2(2,5cm) (0,8cm) 24 cm. Risultando d s = 24 cm < s s max = 34,4cm, la staffatura adottata rispetta la prescrizione di Normativa. Si riporta, nella figura 11.43, una proposta di carpenteria esecutiva delle armature così progettate. Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!! Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_43.tif Figura Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata. (*)ESEMPIO 12 (verifica). Sia data una travata a spessore a due campate di luce L = 6,0 m e di sezione 120 cm x 24 cm. La travata sia sottoposta alle medesime sollecitazioni di progetto dell esempio precedente: 671

10 M Sd = 12 tm = 1,210 6 dancm (agli incastri e in mezzeria); V Sd = 10 t = dan (taglio nullo alla distanza di z = 300 cm da asse pilastro). Sapendo che il massimo ricoprimento previsto per le armature più esterne è pari a c = 2,5 cm, verificare speditamente le armature longitudinali e le armature trasversali, utilizzando la carpenteria esecutiva proposta in figura I materiali utilizzati siano: C20/25 per il conglomerato e S440 per gli acciai nervati. Si ipotizzi che in cantiere siano disponibili, per le sole armature longitudinali, barre del diametro di 20 mm. Si seguano le indicazioni date nella EN SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato (C20/25): f cd = 113daN / cm 2 (tab. 9.3_b); f ck = 200 dan / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b); f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.3_b); acciai (S440): f yd = 3830daN / cm 2 (tab. 9.4_b); f yk = 4400 dan / cm 2 (tab. 9.4_b); Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: h h = c + staffe + long / 2 = (2,5cm)+ (0,8cm) + (2, 4cm)/2 = 4, 50 cm. Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (24 cm) (4,50 cm) = 19,50 cm ; Per la verifica delle armature longitudinali, si rimanda all analogo esempio 7. Le armature disposte verificano i minimi e le prescrizioni da Normativa. Inoltre, sono in numero sufficiente da poter essere sistemate uniformemente sui bordi orizzontali delle staffe, consentendo alle bielle di conglomerato compresso di estrinsecare al meglio il meccanismo del traliccio resistente al taglio. Si riporta di seguito, per comodità di lettura nella figura 11.44, il semidominio di progetto delle sezioni così progettate. 672

11 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_44.tif Figura Semidominio resistente delle sezioni progettate. Come si può notare, il punto della sollecitazione di progetto (n Sd ; m Sd ) (0,00; 0,25) si trova all interno del campo di rottura 2, a metà tra la condizione di rottura bilanciata ( c = 3,5 con f = yd ) e la condizione di rottura duttile ( c = 3,5 con f = 10 ). Pertanto, l allungamento unitario degli acciai inferiori tesi sarà circa uguale al seguente valore medio: f + 10 yd = ( f / E )+ 10 yd f

12 In particolare, dal grafico in figura 11.44, la frontiera del semidominio di rottura interseca l asse delle ordinate nel punto (0,00; 0,40). Conseguentemente, il coiciente di sicurezza a rottura può valutarsi immediatamente da rapporto: CS 0,40 1,6 1. 0,25 Il valore assunto è sufficientemente alto, in modo tale che la travata non presenti particolari problemi in fase di esercizio, quali fessurazioni, tensioni elevate e deformate eccessive. In ogni caso, in questo esempio, per semplicità di trattazione, non si eseguono le verifiche allo stato limite di esercizio. Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!! Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_45.tif Figura Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata. Calcolo minimi armature al taglio. A Dalla relazione: sw 0, 08 s [cm 2 / m] = 100 f [MPa] ck b m [cm]sin, min f yk [MPa] per le staffe (sin = 1 ), si calcola: A sw s min 0, 08 [cm 2 / m] = 100 (20 MPa) (440 MPa) (30 cm) 2,44 cm 2 / m. Inoltre, il passo massimo per le staffe deve essere: max = 0,75h (1+ cotg ) = 0,75(19, 5cm) 15 cm. Il vincolo per la distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe in una sezione: 0,75h = 0,75 (19, 5cm) 15 cm s trasv min 60 cm Nota. Come si può subito notare dai particolari in figura 11.45, il vincolo sulle distanze trasversali dell insieme di staffe in una qualsiasi sezione non è verificato. La struttura non rispetta le prescrizioni sulla corretta disposizione delle staffe. Malgrado ciò, a puro titolo di esempio, si continua la verifica per la sola resistenza allo SLU per taglio dell elemento. Verifica armature al taglio Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone. Si assume: 1,0 < cotg < 2,5. Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa cotg = 2,5 (con e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per V Rd max il valore minimo: V Rd max = cw b m 0,9 h f cd 2, 5 0,138 0, 30 cw b m h f cd. 674

13 Si calcola, intanto: = 0,6 1 f [MPa] (20 MPa) ck = 0,6 1 0, 55 ; e cw = 1,0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha: V Rd max = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 301 (120 cm)(19, 5cm) 0, 55(113daN / cm 2 ) dan. Risultando V Sd = dan < V Rd 2 = dan, la verifica a non schiacciamento è positiva. Verifica sezione sul taglio massimo V Sd = dan 1 2 b m h v f cd = 0,5 (120 cm)(19, 5cm) 0, 55(113daN / cm 2 ) dan. Verifica staffatura Per la verifica delle armature trasversali si parte ponendo cotg = 1. Si calcola, quindi, il passo minimo delle staffe nei pressi degli incastri (staffe a quattro bracci di diametro 8 mm con f 1s = 48 = 4 (0, 50 cm 2 ) ): min = f 1s 0,9 h f yd = [4(0, 50 cm 2 )] 0,9 (0,195 m) (3830daN / cm 2 ) 0,13 m = 13 cm. V Sd (10000 dan ) Nei pressi degli incastri è presente una staffatura in ragione di 28 / 10. Essa è verificata: V Rsd = f 1s 0, 9 h f yd = [4 (0,50 cm 2 )] 0,9 (0,195 m)(3830dan / cm 2 ) dan, (0,10 m) con V Rsd > V Sd = dan. Invece, compatibilmente con il passo massimo consentito alle staffe, una staffatura in ragione di 28 / 15 porta un taglio pari a: V Rsd = f 1s 0, 9 h f yd = [4 (0,50 cm 2 )] 0,9 (0,195 m)(3830dan / cm 2 ) 8960 dan. (0,15 m) Tale valore del taglio si ha nella sezione distante da asse pilastro di: z * = z 1 V (z * ) (8960 dan ) Sd = (300 cm) 1 V Sd (10000 dan) = 32 cm, che si arrotonda al valore z * = 40 cm. In particolare, supponendo dei pilastri di sezione 30 cm x 30 cm, tale sezione dista da filo pilastro di 40 cm (30 cm)/2 = 25 cm < 95 cm. Pertanto, ai fini della sola resistenza allo stato limite ultimo, la staffatura è verificata. (*)ESEMPIO 13 (verifica). Si verifichi una sezione rettangolare 30 cm x 50 cm di una trave confezionata con un conglomerato C20/25 e con gli acciai nervati del tipo S440. La sezione sia armata con staffe a due bracci in ragione di 18 / 10. Si assuma una sollecitazione di progetto pari a V Sd = dan e una distanza del baricentro delle armature pari a h = 4cm. Calcolare, il massimo quantitativo di armatura al taglio icace, tralasciando le verifiche sui minimi di armatura trasversale. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato (C20/25): f cd = 113daN / cm 2 (tab. 9.3_b); f ck = 200 dan / cm 2 = 20 N / mm 2 f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.3_b); (tab. 9.3_b); 675

14 acciai (S440): f yd = 3830daN / cm 2 (tab. 9.4_b); Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (50 cm) (4cm) = 46 cm ; Calcolo area staffe ettiva: f 1s = 2 (0,50 cm 2 ) = 10,0cm 2 / m. (0,10 m) Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone Si assume: 1,0 < cotg < 2,5. Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa cotg = 2,5 (con e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per V Rd max il valore minimo: V Rd max = cw b m 0,9 h f cd 2, 5 0,138 0, 30 cw b m h f cd. Si calcola, intanto: = 0,6 1 f [MPa] (20 MPa) ck = 0,6 1 0, 55 ; e cw = 1,0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha: V Rd max = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 301 (30 cm)(46 cm) 0, 55(113daN / cm 2 ) dan. Risultando: V Sd = dan < V Rdmax = dan, la verifica a non schiacciamento è positiva. Verifica quantitativo armatura al taglio Calcolo del valore minimo di V Rds (quindi per cotg = 1,0 ): ( V Rds ) min = f 1s 0,9 h f yd = (10, 0cm 2 / m) 0,9 (0, 46 m)(3830dan / cm 2 ) dan. Calcolo del valore massimo di V Rds (quindi per cotg = 2,5 ): ( V Rds ) max = f 1s 0,9 h f yd cotg = = (10,0cm 2 / m) 0,9 (0,46 m) (3830 dan / cm 2 )2, dan. Risultando, solo in funzione del valore dell inclinazione del puntone compresso (cotg [1,0; 2,5] ): V Rd max > V Sd V Rds ( ) min = dan < V Sd = dan < ( V Rds ) max = dan, le armature al taglio verificano la sezione. 676

15 OSSERVAZIONI. In particolare, essendo il valore della sollecitazione tagliante di calcolo tale che ( V Rds ) min < V Sd, allo stato limite ultimo il taglio è equilibrato dalle armature ormai snervate; quindi l equilibrio è mantenuto da un maggiore cimento del puntone compresso (1) e anche dalla presenza di un idonea armatura longitudinale, supposta essere ancora sufficiente all aumento del tratto di traslazione dei momenti flettenti per trazione anticipata (2) : 0,9 h y * = (cotg cotg ) + s 2 2. Si può, quindi, affermare che la rottura dell elemento strutturale avverrà (ad un ulteriore incremento dei carichi) per schiacciamento improvviso del puntone compresso; cioè quando: V Sd = V Rd max = V Rds. Infine, la massima area icace di armatura al taglio per sole staffe è: cotg = 1,0 A sw max s 0, 5 cw b m f cd sin f icace yd Quindi, sostituendo i valori numerici: A swmax 0, 51 0,55 (30 cm) s == (113daN / cm2 ) 1 (3830daN / cm 2 ) 0,24 cm2 / cm = 24 cm 2 / m. icace Quantitativi di armatura maggiori sono del tutto inutili, perché la massima resistenza del puntone (per cotg = 1,0 ) non è in grado di sostenere ulteriori contributi dell armatura. (*)ESEMPIO 14 (verifica). Si verifichi una sezione rettangolare 60 cm x 24 cm di una trave a spessore confezionata con un conglomerato C20/25 e con gli acciai nervati del tipo S440. La sezione sia armata con staffe a 4 bracci in ragione di 18 / 10. Supponendo una distanza del baricentro delle armature dai casseri pari a h = 4cm e un taglio di calcolo pari a V Sd = dan, verificare la sezione al taglio. Si tralasci la verifica sui minimi di armatura trasversale. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato (C20/25): f cd = 113daN / cm 2 (tab. 9.3_b); f ck = 200 dan / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b); f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.3_b); acciai (S440): f yd = 3830daN / cm 2 (tab. 9.4_b); Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (24 cm) (4cm) = 20 cm ; Calcolo sezione armatura resistente al taglio (nell interasse = 10 cm ): f 1s = 4 (0,50 cm 2 ) = 2,0cm 2. Calcolo area ettiva della staffatura: f 1s = (2,0cm2 ) (0,10 m) = 20 cm2 / m. Si calcola, intanto: 1 A causa dello snervamento delle armature al taglio, gli ulteriori incrementi dei carichi causano degli incrementi delle sollecitazioni flessionali sul puntone inclinato. Alla rottura, il puntone si schiaccia improvvisamente mentre le armature sono in deformazione a tensione costante (modello elastico e perfettamente plastico: diagramma senza incrudimento). 2 Vedere paragrafo

16 = 0,6 1 f [MPa] (20 MPa) ck = 0,6 1 0, 55 ; e cw = 1,0 per assenza di forze assiali. Calcolo resistenza minima al taglio del puntone compresso (cotg = 2,5 ): V Rd max = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 301 (60 cm) (20 cm) 0, 55(113daN / cm 2 ) dan. Risultando: V Sd = dan < V Rdmax = dan, la verifica a non schiacciamento è positiva. Fissata l area ettiva della staffatura, il valore minimo della resistenza ultima portata dalle armature al taglio (ponendo cotg = 1,0 ) risulta: ( V Rds ) min = f 1s 0,9 h f yd = (20, 0cm 2 / m) 0, 9 (0, 20 m) (3830daN / cm 2 ) dan ; mentre il massimo valore portato dalle armature grazie al maggior cimento del puntone compresso (cotg = 2,5 ) risulta: ( V Rds ) max = f 1s 0,9 h f yd cotg = = (20,0cm 2 / m) 0,9 (0,20 m) (3830 dan / cm 2 )2, dan. Risultando: V Rd max > V Sd con cotg = 2,5 ( V Rds ) min < V Sd < ( V Rds ) max la sezione può considerarsi verificata. Infatti, ponendo V Sd = V Rds si ottiene il valore ettivo per cotg : V cotg = Sd (25000 dan)(10 cm) = 1,81 f 1s 0,9 h f yd (2,0cm 2 )0,9 (20 cm) (3830 dan / cm 2 ) che rientra nel limite imposto dalla Norma: 1,0 cotg 2,5. Andrà comunque accertato che le armature longitudinali coprano il diagramma dei momenti flettenti traslato in funzione del valore cotg = 1,81. (*)ESEMPIO 15 (3) (verifica). Verificare una sezione rettangolare di una trave a spessore di sezione 60 cm x 24 cm armata al taglio con staffe a 4 bracci in ragione di 18 / 7, 5 e soggetta ad un taglio di calcolo pari a V Sd = dan e con un altezza utile pari a h = 20 cm. Si verifichi la sezione al taglio, supponendo per essa le seguenti resistenze di progetto dei materiali: conglomerato: f cd = 130 dan / cm 2 ; f cd = 77,5daN / cm 2 ; acciai: f yd = 3740daN / cm 2. Si omettano le verifiche sui minimi delle armature trasversali. SOLUZIONE. Calcolo sezione armatura resistente al taglio (nell interasse = 7,5cm ): f 1s = 4 (0,50 cm 2 ) = 2,0cm 2. Calcolo armatura al taglio ettiva: 3 Esempio rielaborato dal testo: Il cemento armato; Aurelio Ghersi; Dario Flaccovio. 678

17 f 1s = (2,0cm2 ) (0,075 m) = 26,7cm2 / m. Calcolo resistenza minima al taglio del puntone compresso (cotg = 2,5 ): V Rd max = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 301 (60cm) (20 cm) (77, 5 dan / cm 2 ) dan. Risultando: V Sd = dan > V Rdmax = dan, la verifica a non schiacciamento è negativa: l equilibrio potrebbe essere possibile per valori minori dell inclinazione del puntone compresso e quindi per sufficienti quantitativi di armatura (V Rds > V Sd ). Stante la costanza del quantitativo di armatura, per cotg = 2,5 si ha V Rds = ( V Rds ) max. Quindi, se risultasse subito V Rds = ( V Rds ) max < V Sd, la verifica si chiuderebbe immediatamente con esito negativo. Per poter sfruttare il più possibile i materiali, si controlla quindi che V Rds > V Sd almeno per cotg = 2,5 : cotg = 2,5 V Rds = f (V 1s 0,9 h f t yd cotg Rds ) max = s Sostituendo, infatti, i valori numerici si ottiene: (V Rds ) max = f 1s 0,9 h f yd 2,5 = f 1s 0,9 h f yd 2,5 = (26,7cm 2 / m) 0, 9(0, 20 m) (3740 dan / cm 2 )2, dan. Poiché si ha (V Rds ) max = dan > V Sd = dan > V Rd max = dan, si va a verificare se esiste quel particolare valore dell angolo * d inclinazione del puntone compresso (che rispetti i limiti di Norma: 1,0 cotg* 2,5 ) che porta l elemento strutturale in condizioni di rottura bilanciata. Pertanto, l equilibrio allo stato limite ultimo in condizioni di rottura bilanciata deve essere cercato per un valore di * comune sia a V Rd max = V Rd max (*) che a V Rds = V Rds (*) e che verifichi l uguaglianza V Rd max (*) = V Rds (*). Si dimostra che tale valore dell angolo cercato è: f cotg* = cd b m (A s / s) f yd sin 1. In particolare, avendo utilizzato solo staffe (sin = 1 ), sostituendo i valori numerici si ottiene: (77, 5 dan / cm 2 )(60 cm) cotg* = 1 1,91. (0,267 cm 2 / cm)(3740dan / cm 2 ) Con il valore appena calcolato, si determina il valore del taglio ultimo che le armature presenti possono portare: V Rds, * = A sw s st 0, 9 h f yd cotg* = = (26,7cm 2 / m) 0, 9(0, 20 m) (3740 dan / cm 2 )1, dan, la verifica è negativa perché non risulta anche V Rds,* > V Sd. Infatti: V Rds,* = dan < V Sd = dan. OSSERVAZIONI. La procedura di verifica poteva essere condotta anche sfruttando la procedura 2), introdotta alla fine del paragrafo : 679

18 Calcolo V Rds, =45 : V Rds, =45 = A sw 0,9 h f yd = (26,7cm 2 / m) 0, 9(0, 20 m) (3740 dan / cm 2 ) dan. s st Calcolo angolo inclinazione del puntone in condizioni di rottura bilanciata: V Rd max, (27900 dan ) cotg * = 1 = 1 1,92 [1,0; 2, 5]. V Rds, =45 0,33 (17970 dan) Non risulta, però, cotg * > cotg. Infatti: V cotg * = 1,92< Sd (35000 dan) = V Rds, =45 (17970 dan) 1,948 = cotg, in altri termini: * = (1 / 1,92) = 0, 52 > = (1 / 1,948) = 0, 51, la sezione non è verificata. 680