LEZIONE N 46 LA TORSIONE ALLO S.L.U.

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1 LEZIONE N 46 LA ORSIONE ALLO S.L.U. Supponiamo di sottoporre a prova di carico una trave di cemento armato avente sezione rettangolare b x H soggetta a momento torcente uniforme. All interno di ogni sua sezione trasversale si sviluppano delle tensioni tangenziali che sono nulle in corrispondenza dell asse ed assumono il valore massimo:,6 3 0, 45 HbHb max Quando la tensione tangenziale raggiunge il valore massimo compatibile con la resistenza a trazione del calcestruzzo la trave si fessura, sviluppando lesioni ad elica che si avvolgono intorno alla trave stessa (II stadio). Il modello di calcolo adottato per studiare il comportamento a torsione allo stato limite ultimo (III stadio) è costituito da una trave reticolare tubolare. Si tratta, in sostanza, di un traliccio di Mörsch spaziale formato da correnti longitudinali di acciaio, da montanti di acciaio (staffe) e da puntoni di calcestruzzo. A differenza del taglio tutti i correnti longitudinali risultano tesi, mentre le staffe continuano ad essere tese e le bielle di calcestruzzo compresse. Questo comportamento verrà meglio chiarito nel seguito Si suppone reagente esclusivamente la crosta di calcestruzzo disposta all esterno della sezione, di spessore t. 0

2 Difatti il contributo alla capacità resistente a torsione della parte più interna non fessurata è trascurabile, in virtù del valore esiguo dei bracci delle tensioni tangenziali. Consideriamo una sezione trasversale della trave cava (poiché tubolare) che così si viene a determinare. Il valore delle tensioni tangenziali che agiscono su di essa può essere determinato applicando la formula di Bredt: At in cui è il momento torcente e A è l area del poligono tratteggiato in figura, avente perimetro u m (non necessariamente passante per le armature longitudinali). La Norma Italiana suggerisce di calcolare lo spessore della sezione cava come: t = A c /u, in cui A c è l area della sezione di carpenteria ed u è il perimetro esterno della sezione. Noto t è evidentemente possibile determinare A ed u m. A = (b-t)(h-t) u m =[(b-t)+(h-t)]x Sulla generica lastra che compone la sezione cava agisce pertanto la forza tangenziale: F tz z A in cui z è la altezza della lastra. 03

3 La diagonale di calcestruzzo è sottoposta, per soddisfare l equilibrio alla traslazione, alla forza di compressione: F Fd z sin Asin Per l equilibrio del nodo A la forza F l nella barra superiore è di trazione: cos cot g Fl Fd cos z z Asin A così come quella F s nella staffa: Fs Fd sin z A Con riferimento alla figura a lato la forza nella barra inferiore è anch essa di trazione e vale anch essa: cos cot g Fl Fd cos z z Asin A La forza complessiva in tutte le barre longitudinali si ottiene facilmente considerando al posto dell altezza z della lastra, il perimetro medio u m : F l cot g u A m Nel caso in cui il passo delle staffe sia inferiore a zcot g, è possibile considerare la presenza di n tralicci multipli sfalsati fra di loro del passo s, con: zcot g n s e determinare quindi: z Fs s An Acotg 04

4 La verifica a torsione nel III stadio consiste nel confrontare fra loro il valore della torsione di calcolo esterna Ed, dovuta ai carichi di calcolo applicati, e la torsione di calcolo interna Rd, dovuta al contributo resistente dell acciaio, sia quello delle staffe, che quello delle barre longitudinali. Dovrà inoltre essere accertato che le bielle di calcestruzzo compresse non si rompano per schiacciamento. I valori della torsione di calcolo interna Rd sono dunque tre: a) quella dovuta all armatura longitudinale tesa che ha raggiunto lo snervamento; b) quella dovuta all armatura trasversale tesa che ha raggiunto lo snervamento; c) quella dovuta alle bielle oblique di calcestruzzo compresso, considerato alla soglia dello stato limite ultimo. Utilizzando la simbologia della Normativa Italiana, la torsione di calcolo esterna Ed deve essere confrontata separatamente con ognuno dei valori di calcolo interni Rsd, Rld e, rispettivamente corrispondenti all armatura trasversale, all armatura longitudinale ed alle bielle di calcestruzzo: Ed Rsd (armatura trasversale) Ed Rld (armatura longitudinale) Ed (calcestruzzo delle bielle) Nel caso della verifica dell armatura longitudinale evidentemente si ha: F l f A yd l, in cui Al è il simbolo adottato dalla Normativa italiana per indicare l area complessiva delle barre longitudinali. Utilizzando l espressione: cot g Fl um fyd Al A si ricava il momento torcente ultimo per le barre longitudinali: 05

5 Al Rld A fyd cotg u m Nel caso della verifica dell armatura trasversale (staffe) si ha: F A f s s yd ed utilizzando la: Fs s Acotg si ricava il momento torcente ultimo per le staffe: As Rsd A fyd cotg s Per quanto riguarda la verifica del calcestruzzo delle bielle si osserva che una biella di calcestruzzo si rompe quando F A th d cu biella cu biella Come si può vedere dall esame della figura, l altezza della biella è: h zcot g sin biella e quindi: F A tzcot g sin d cu biella cu Poiché la forza nelle bielle è pari a: F F d z sin Asin, si ottiene: At cotg sin cu 06

6 Si può poi scrivere: sin sin sin cos sin cos cos 1cot g 1 sin sin e quindi si ottiene: At cotg 1 cotg cu Le Norme ecniche Italiane assumono: f 0,5 f ' cu cd cd Si giunge quindi alla espressione: At f cot g 1 cot g cd E opportuno precisare che la Norma Italiana pone: t = A c /u e consente di variare l inclinazione delle bielle di calcestruzzo nei limiti: 0, 4cotg,5 che corrisponde ad imporre i seguenti limiti su : 68, 1,8 Si osserva che 68, = 90-1,8 e che quindi il campo di variazione dell angolo è simmetrico rispetto al valore medio

7 Nel caso, peraltro frequente nelle applicazioni, di presenza di sollecitazioni composte, la Norma Italiana fornisce le seguenti indicazioni: a) orsione, flessione e sforzo normale. Le armature longitudinali di torsione calcolate come sopra indicato si sommano a quelle di flessione. Si applicano inoltre le seguenti regole: - nella zona tesa all armatura longitudinale richiesta dalla sollecitazione di flessione e sforzo normale, deve essere aggiunta l armatura richiesta dalla torsione; - nella zona compressa, se la tensione di trazione dovuta alla torsione è minore della tensione di compressione nel calcestruzzo dovuta alla flessione e allo sforzo normale, non è necessaria armatura longitudinale aggiuntiva per torsione. b) orsione e taglio. Per la verifica delle bielle compresse deve risultare: Ed V V Ed 1 Il calcolo delle staffe può effettuarsi separatamente per la torsione e per il taglio, cumulando quindi le aree delle sezioni. Per l angolo delle bielle compresse deve essere naturalmente utilizzato lo stesso valore per la torsione e per il taglio. 08