Formulario di geometria piana

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1 Fomuio di geometi in CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Due tingoi sono onguenti se hnno: odintmente onguenti due ti e ngoo f essi omeso (I ) odintmente onguenti un to e gi ngoi d essi dienti (II ) odintmente onguenti i te ti (III ) Citei di eismo Condizione neessi e suffiiente ffinhé due ette sino ee è he ogni tsvese fomi on esse: due ngoi teni inteni (o esteni) onguenti oue due ngoi oisondenti onguenti oue due ngoi oniugti inteni (o esteni) suementi RETTE PERPENDICOLARI Si uò dimoste esistenz e uniità de ett ssnte e un unto P e eendioe d un ett dt. RETTE PARALLELE Si uò dimoste esistenz, m non uniità de ett ssnte e un unto P e e d un ett. L uniità de ett e viene ssunt ome ostuto (ssiom). Tingoo Poietà e Teoemi I iento è i unto di inonto dee te medine di un tingoo. I iento divide isun medin in due ti ti he que on un estemo su vetie è doi de t. L otoento è i unto d inonto dee te tezze di un tingoo. I iento, otoento e i ioento sono te unti ineti. In ogni tingoo i segmento ongiungente i unti medi di due ti è eo tezo to e onguentee su metà. In un tingoo somm di due ti qusis è mggioe de tezo to. In un tingoo diffeenz di due ti qusisi è minoe de tezo to. L somm degi ngoi inteni di un tingooo è onguente d un ngoo itto. In un tingoo ogni ngoo esteno è onguente somm degi ngoi inteni non dienti. L somm degi ngoi inteni di un oigonoo di n ti è ugue n ngoi itti. L somm degi ngoi esteni di un oigonoo onvesso di n ti è onguente ngoi itti. Un oigono di n ti h n (n 3) digoni. Un tingoo si uò seme insivee o iosivee d un ionfeenz. Un oigono è insiviie in un ionfeenz se e soo se gi ssi dei suoi ti si inontno ne ento de ionfeenz. Un oigono è iosiviie d un ionfeenz se e soo se e isettii degi ngoi si inontno ne ento de ionfeenz. Un quditeo è insiviie in un ionfeenz se e soo se gi ngoi oosti sono suementi. L inento è i unto di inonto I ioento è i unto d inonto dee te isettii di un tingoo. dei te ssi di un tingoo. In ogni tingoo ettngoo In ogni tingoo i iento G, i medin etiv iotenus è ioento T e otoento H sono onguente metà ti he GH GT de iotenus. Un quditeo è iosiviie un ionfeenz se e soo se somm di due ti oosti è onguente somm degi ti due. In ogni tezio ongiungente i unti medi dei ti non ei è e e si e onguente oo semisomm. In ogni eogmm somm dei qudti dee unghezze dei ti è ugue somm dei qudti dee unghezze dee digoni. Mtemti 1

2 CRITERI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI Due tingoi sono simii se hnno: TEOREMI SULLA SIMILITUDINE TEOREMA DI TALETE gi ngoi oisondenti onguenti (I ) due ti diettmente oozioni e gi ngoi f essi omesi onguenti (II ) i ti oisondenti diettmente oozioni (III ) In due tingoi simii due ti oisondenti sono oozioni e tezze he esono d due vetii oisondenti. In due tingoi simii i eimeti sono oozioni due ti oisondenti. In due tingoi simii i oto f e ee è ugue oto f i qudti dee misue di due ti oisondenti. In due tingoi simii i oto f due digoni he ongiungono vetii oisondenti è ugue oto di due ti oisondenti. Se un fsio di ette ee è tgito d due tsvesi, i oto f due segmenti deteminti su un tsvese è ugue oto dei segmenti oisondenti deteminti su t tsvese. In un tingoo ettngoo medin etiv iotenus è onguente metà de iotenus stess. AM CM MB Se un ett e un to di un tingoo intese gi ti due ti, i divide in segmenti oozioni. AP : PB AQ: QC L isettie di un ngoo inteno di un tingoo divide i to oosto in segmenti oozioni gi ti due ti. BD : DC AB: AC Angoi e ode AOB ACB Angoi ionfeenz he insistono su stess od sono onguenti In un ionfeenz ode onguenti sono equidistnti d ento. Teoemi TEOREMA DELLE CORDE Se due ode AB e CD di un ionfeenz si inteseno in un unto P, i odotto dee misue dei due segmenti in ui AB est divis d P è ugue odotto deee misue dei due segmenti in ui CD est divis d P. AP PB CPPD TEOREMA DELLE SECANTI Se d un unto esteno d un ionfeenz si onduono due semiette senti, i odotto dee misue dei due segmenti tenenti d un sente è ugue odotto dee misue dei due segmenti tenenti t sente. PA PB CP PD TEOREMA DELLA TANGENTE Se d un unto esteno d un ionfeenz si onduono un semiett sente e un semiett tngente, i segmento di tngente, he h e estemi questo unto e i unto di tngenz, è medio oozione f inte sentee e su te esten. PA PT PT: PB Teoem de od AB sinα sin β Mtemti

3 S h S sinα S 1 sin β sinγ sinα FIGURE PIANE osγ + osα sinα sinβ sinγ Tingoo S + osα Tingoo ettngoo isettieβ + 1 medin osβ + ( + ) teto oosto sin α 1 : : iotenus teto diente os α 1: h h: 1 iotenus tg α teto oosto teto diente + h Tingoo equiteo 3 3 h S Rettngoo ( + h) S h Le digoni sono onguenti e si inontno ne oo unto medio. Qudto S Le digoni sono onguenti, eendioi t oo, si inontno ne oo unto medio e sono isettii degi ngoi inteni Peogmmo S h S sinα Le digoni si inontno ne oo unto medio. Gi ngoi oosti sono onguenti. Gi ngoi dienti sono suementi. Romo d d S 1 Le digoni sono eendioi t oo, si inontno ne oo unto medio e sono isettii degi ngoi inteni Mtemti 3

4 Quditeo Digoni eendioi d1 d S Digoni non eendioi d d S 1 sinβ Poigono egoe S 3 3 S Tezio + S 1 h Gi ngoi dientii to oiquo sonoo suementi. : : In un tezio isosee iositto d un ionfeenz i dimeto è medio oozione f e si. : : 1 Tezio In un tezio iositto d un semiionfeenz : i due segmenti in ui se mggioe est divis d ento de semiionfeenz sono onguenti i ti oiqui dienti. In un tezio isosee iositto d un semiionfeenz : i to oiquo è metà de se mggioe. Tingoo iositto ( ) T.isosee h S + 1 i T.equiteo Mtemti

5 Mtemti Tingoo insitto sin sin sin γ β α Tingoo insitto Ogni tingoo insitto in un sem Poigoni egoi insitti 3 3 h Poigoni egoi insitti 5 10 Cionfeenz R C π R S π 360 R β π S Settoe Eisse S π S T.isosee h miionfeenz è un tingoo ettngoo. 1 5 R 5 L n n n

6 Sezione ue Tingoo ueo Degono L sezione ue di un segmento è te de segmento medi oozione t inteo segmento e te imnente. AB : AC AC : CB Costuzione 1. Rett PB eendioe d AB.Punto medio M de segmento AB. 3. Cionfeenz on ento in B ssnte e M. Si tov i unto P.. Cionfeenz on ento in P ssnte e B. Si tov i unto Q 5. Cionfeenz on ento in A ssnte e Q. Si tov i unto C 6. i segmento AC esent sezione ue de segmento AB. Dimostzione Ponendo AC x e AB m si h: m: x x: (m x) D ui si ottiene: x + mx m 0 mmm 5 x Esudendo souzione negtiv si h: x 5 1 m 0,6m I tingoo ueo è un tingoo isosee on ngoo vetie di 36. Ne tingoo ueo isettie di uno degi ngoi se divide i to oosto in due segmenti, ti he queo ontenente i vetie de tingoo è te ue de to oiquo. Dimostzione Gi ngoi se A e B hnno un miezz di 7. Costuendo isettie BP, e i teoem de isettie si h: AP : PC AB : BC Sostituendo AB PB PC e BC AC si ottiene: AP : PC PC : AC PC è sezione ue de to oiquo AC. M essendo PC AC, si onude he: AP : AC AC : AC, ioè he: se AB è sezione ue de to oiquo AC. In un degono egoe, i to è onguente sezione ue de ggio. Inftti tindo i ggi d ento i vetii de oigono, si fomno tingoi isosei uei. Petnto misu de to de degono egoe insitto in un ionfeenz di ggio è: Rettngoo ueo Sie ogitmi I ettngoo ueo è un ettngoo vente un to onguente sezione ue de to (,8 :,5 0,6). Se su to minoe AD di un ettngoo ueo ABCD si ostuise i qudto AEFD, inteno ettngoo, si ottiene i ettngoo EBCF he isut no ueo. Ne ettngoo EBCF è ossiie ostuie un qudto di to FC ottenendo osì un nuovo ettngoo ueo e osì vi Tindo in ogni qudto un quto di ionfeenz, si ottiene un uv fom di sie, dett sie ogitmi, o nhe sie d oo. Pentgono ueo PENTAGONO AUREO L miezz degi ngoi inteni di un entgono egoe è 108. I tingoi ABE e CDE sono isosei. Petnto gi ngoi se misuno 36. Gi ngoi de tingoo BCE misuno 7, 7 e 36. Petnto i tingoo BCE è un tingoo ueo. Si onude quindi he: In un entgono egoe, i to è onguente sezione ue dee digoni. Mtemti 6

7 Pentgono ueo PENTAGONO AUREO Gi ngoi de tingoo BCF misuno 7, 7 e 36. Petnto i tingoo BCF è un tingoo ueo. Quindi se BF è sezione ue di FC. M BF AF AF è sezione ue di FC In un entgono egoe, due digoni si dividono in segmenti ti he i minoe è onguente sezione ue de mggioe. Numeo d oo I oto t misu di un segmento e misu de su sezione ue si him oto ueo o numeo d oo e si indi on ettee ge. m ϕ 1, m I numeo d oo ome in sviti ontesti, non soo geometii, m nhe tistii e hitettonii. In geometi è: - i oto t digone e i to di un entgono egoe - i oto in ui estno divise e digoni di un entgono egoe - misu de ggio de ehio iositto un degono egoe i ui to misu 1. In ge, i numeo d oo inteviene neo studio de osiddett suessione di Fioni: un suessione di numei, i ui imi due sono 1 e 1, mente i suessivi si ottengono sommndo f di oo i due eedenti numei. 1, 1, 1+1, 1+3, +35, 3+58, 5+813, 8+131, 13+13, I oto t un temine de suessione di Fioni e queo he o eede si vviin seme iù esee dei temini de suessione (3:11,619). Ne uomo: omeio è osto un tezz he è, on uon ossimzione, in oto ueo on que de individuo. Luogo di unti Luogo dei unti he vedono un segmento sotto un dto ngoo I uogo dei unti de ino he vedono un segmento AB sotto un dto ngoo α è ostituito d due hi di ionfeenz, venti AB ome od, simmetii isetto ett AB. Mtemti 7

8 Fomuio di geometi soid SOLIDO SUPERFICIE LATERALE SUPERFICIE TOTALE VOLUME Pism etto h + h Peeiedo h + h Cuo 6 Ciindo h + h Pimide h Cono h Tono di imide h + + Tono di ono h + + Sfe 3 Cott sfei Segmento sfeio un se h h h 3 Cott sfei Segmento sfeio due si h h h Fuso e sihio sfeio Tetedo Ottedo Mtemti 8

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