Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale."

Transcript

1 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo chiuso e itto. Fissto x A, se l funzione f(x, ) : [, b] R dell sol vribile t fosse integrbile secondo Riemnn in [, b], llor vrebbe senso il seguente integrle: f(x, t) dt e quindi, l vrire di x in A, risulterebbe definit l seguente funzione: F (x) f(x, t) dt : A R. Noi, nel corso di quest trttzione, supporremo che l funzione f(x, t) si continu (nel complesso delle due vribili) in A [, b]. Quest è un ipotesi forte che semplificherà lqunto le dimostrzioni, m si può richiedere qulcos meno ll funzione f(x, t) e continuno vlere i risultti che tr poco otterremo. Siccome uno degli scopi è trovre un formul che ci permett di clcolre l derivt dell funzione F (x), risult essenzile vedere sotto qule condizione l funzione F (x) risult lmeno continu. Pertnto comincimo con un lemm che ci permetterà di sserire che l funzione F (x) è continu in A, sotto l sol ipotesi di continuità dell f(x, t). Lemm.1 Si f(x, t) : A [, b] R continu in A [, b], llor l funzione: è continu in A. Dimostrzione. F (x) Si x A. Provimo che: f(x, t) dt : A R F (x) F (x ), x x ossi, grzie d un noto teorem di nlisi 1 ) provimo che, per ogni successione {x n } A, si h: Notimo che provre l tesi, equivle provre: n F (x n) F (x ). n F (x n) F (x ) n f(x n, t) dt f(x, t) dt. Un ttimo di riflessione per dire che l tesi ltro non è che un pssggio l ite sotto il segno di integrle per l successione di funzioni φ n (t) f(x n, t) : [, b] R. Sppimo che ciò è grntito se l successione di funzioni φ n (t) è convergente uniformemente verso φ(t) f(x, t). Scopo del proseguo dell dimostrzione è, pertnto, provre questo ftto, ossi provre che: per ogni ε > esiste ν ν(ε) N tle che: ϕ n (t) ϕ(t) f(x n, t) f(x, t) < ε per ogni t [, b] (1) 1 Fissimo, d rbitrio, ε >. Teorem.1 Si f(x) : X R. Condizione necessri e sufficiente ffinché f(x) si continu in x X è che per ogni successione {x n} X convergente verso x, l successione numeric {f(x n)} converge verso f(x ). Dimostrzione. Provre!!!

2 2 Dl ftto che A è un perto di R, esiste un intorno (chiuso) di x tutto contenuto in A, cioé esiste σ > tle che: [x σ, x + σ] A. Si {x n } un successione di elementi di A convergente verso x. Senz perdit di generlità, possimo supporre che tle successione si contenut in questo intorno di x, cioé x n [x σ, x + σ], per ogni n N (osserv che eventulmente solo un numero finito di termini dell successione strebbero fuori d [x σ, x + σ], proprio per l convergenz dell stess verso x ). Considerimo il seguente rettngolo di R 2 : [x σ, x + σ] [, b] A [, b] Tle insieme è ovvimente un insieme chiuso e itto di R 2. Considerimo l restrizione dell funzione f(x, t) : R. Ess, essendo un funzione continu definit su un insieme chiuso e itto, grzie l teorem di Cntor, è uniformemente continu in, e quindi in corrispondenz l fissto ε >, esiste δ δ(ε) > ( e si può scegliere pure δ < σ), tle che : f(x, t ) f(x, t ) < ε se (x, t ), (x, t ), d R 2((x, t ), (x, t )) (x x ) 2 + (t t ) 2 < δ. (2) Per l convergenz di {x n } verso x, in corrispondenz δ > (sorto dll convergenz uniforme), esiste un indice ν N tle che: x n x < δ per ogni n > ν. (3) Provimo l tesi con l indice ν d determinre ugule ν. Si n > ν, llor i punti (x n, t), (x, t) sono tli che pprtengono (fcile verific) e inoltre: d R 2((x n, t), (x, t)) (x n x ) 2 + (t t) 2 x n x < (grzie (3)) < δ per ogni t [, b], m llor, si può pplicre l (2), con (x, t ) (x n, t) e (x, t ) (x, t), ottenendo: f(x n, t) f(x, t) < ε per ogni t [, b] che è l (1); quindi vle il teorem di pssggio l ite sotto il segno di integrle e quindi l tesi. Anzicché trovre un formul per l sol derivt di F (x), cerchimo un formul per un funzione che è più generle rispetto F (x). Si f(x, t) : A [, b] R un funzione continu in A [, b] e sino x A e, z ], b[ (supporremo sempre, per fcilità, che < z < b), llor h senso considerre: Si viene così costruire un funzione di tre vribili: Vle il seguente: φ(x,, z) f(x, t) dt R f(x, t) dt : A ], b[ ], b[ R Teorem.2 Si f(x, t) : A [, b] R un funzione continu in A [, b]. Allor: i) L funzione φ(x,, z) f(x, t) dt : A ], b[ ], b[ R è continu in A ], b[ ], b[. ii) Per ogni x A esistono le derivte przili dell funzione φ(x,, z) rispetto e z e vlgono: (x,, z) f(x, ) (x,, z) f(x, z) per ogni x A e per ogni, z ], b[ z iii) Se per ogni (x, t) A ], b[, esiste f (x, t) ed è continu in A ], b[, llor vle l seguente formul di derivzione sotto il segno di integrle: z f (x,, z) f(x, t) dt (x, t) dt

3 3 Dimostrzione. Sino x A,, z ], b[ e sino x n, n, z n tre successioni tli che x n x, n, z n z. Proveremo che φ(x n, n, z n ) φ(x,, z ). Poiché A e ], b[ sono insiemi perti, llor per qunto osservto, si può supporre che, per qulche σ >, x n ]x σ, x +σ[ e n, z n ], b[, per ogni n N. Considerimo il rettngolo [x σ, x + σ] [, b]. Poiché f(x, t) : A [, b] è continu, in prticolre srà continu nel rettngolo, che è un insieme chiuso e itto, dunque per il teorem di Weierstrss, l funzione f(x, t) mmette mssimo ssoluto in. Si M > mx f(x, t). Considerimo l quntità: n φ(x n, n, z n ) φ(x,, z ) f(x n, t) dt f(x, t) dt (utilizzndo l proprietà di dditività) n n f(x n, t) dt + f(x n, t) dt + f(x n, t) dt f(x, t) dt n z n zn f(x n, t) dt + z f(x n, t) dt + f(x n, t) f(x, t) dt (4) z M, poiché f(x n, t) < M per ogni n N (in qunto (x n, t) ), si h: n n f(x n, t) dt < M dt M n e nlogmente si prov: zn f(x n, t) dt < M z n z z pertnto, qundo fccimo tendere n, i primi due integrli dell ultimo membro dell (4) tendono zero, così come, grzie l lemm precedente, nche il terzo integrle dell (4) tende zero, per cui l i) è provt. Per ogni, z ], b[ e per ogni x A, considert l funzione di un sol vribile: ζ(z) φ(x,, z) per il teorem di Torricelli si ottiene: per cui nche l ii) è provt. f(x, t) dt e ι() φ(x,, z ) z (x,, z ) ζ (z ) f(x, z ) e f(x, t) dt (x,, z ) ι ( ) f(x, ) Si (x,, z ) A ], b[ ], b[. Occorre provre che per ogni ε > esiste δ > tle che per ogni x A con x x < δ, risult: φ(x,, z ) φ(x,, z ) f(x, t) x x < ε z f(x, t) dt, Fissimo ε >. Poiché x A e A è perto, llor esiste un intorno di x tle che [x, σ, x o + σ] A. Considerto il rettngolo [x, σ, x o + σ] [, z ], per il teorem di Cntor sull uniforme continuità, considerndo, senz perdit di generlità, < z, segue che in corrispondenz ε z >, esiste un δ > (possimo, ovvimente, supporre che δ < σ) tle che: f(x, t ) f(x, t ε ) < per ogni (x, t ), (x, t ) con d R 2((x, t ), (x, t )) < z δ (5) Provimo l tesi con δ δ. Si x [x σ, x + σ] e tle che x x < δ. Osservimo che il rpporto incrementle di phi(x,, z ) ) si scrive: φ(x,, z ) φ(x,, z ) f(x, t) dt f(x, t) dt f(x, t) f(x, t) dt (6) x x x x x x Fissto t [, b], grzie l teorem del vlore medio di Lgrnge pplicto ll funzione ϕ(x) f(x, t) : [x, x] R (per semplicità stimo supponendo che x x), si h: f(x, t) f(x, t) f(ξ, t) x x dove ξ ]x, x[ per ogni t [, b] (7)

4 4 Poiché (x ξ) 2 + (t t) 2 x ξ x x < δ, vle l (5) con (x, t ) (ξ, t) e (x, t ) (x, t), pertnto, d (6) e (7), risult: φ(x,, z ) φ(x,, z ) f(x, t) z x x f(ξ, t) f(x, t) dt < ε dt ε per ogni t [, b] z che è l tesi. Dl teorem precedente e dl teorem sull derivbilità delle funzioni composte, discende il seguente: Corollrio.1 Si f(x, t) : A [, b] R continu nel suo insieme di definizione. Supponimo che esist e si continu in A ], b[. Sino α(x), β(x) : A R derivbili in A e tli che α(x), β(x) ], b[ per ogni x A, llor l funzione: risult derivbile e si h per ogni x A: ϕ (x ) β(x) α(x ) ϕ(x) β(x) α(x) f(x, t) f(x, t) dt : A R dt + f(x, β(x )) f(x, α(x )) Gli esempi che seguirnno mostrernno che se non sono verificte tutte le ipotesi dei precedenti teoremi, può cpitre che mnchi l continuità dell F (x) oppure l derivbilità di F (x). Esempio.1 Si f(x, t) : [, 1] [, 1] R così definit: x t f(x, t) se t < x se x t 1 Proveremo che l funzione F (x) non è continu pur essendo l funzione f(x, t) continu rispetto ll vribile (di integrzione) t. f(x, t) f(x, t) x t f(x, t) x t x f(x, t) x+t f(x, t) x+t f(x, t) Grfico del dominio di f(x, t) Si x [, 1], llor l funzione dell sol vribile t: x t f(x, t) se t < x : [, 1] R se x t 1 è continu. Si t [, 1] \ {}, llor l funzione dell sol vribile x: x t f(x, t ) se < t < x : [, 1] R se x t 1

5 5 è continu, mentre per t : { 1 se < x f(x, ) x : [, 1] R se x vi è un discontinuità in x. Dunque f(x, t) non è continu in (, ). Considerimo: F (x) f(x, t) dt : [, 1] R (osservimo che tle integrle h senso essendo f(x, t) un funzione continu rispetto ll vribile t). Si x [, 1] \ {} llor: mentre F (x ) f(x, t) dt 2 [ x x t 1 ] [ ] t x 1 ( f(x, t) dt 2 dt + dt 2 x x t t ) 1 t 2 F () dunque l funzione F (x) non è continu in x. f(, t) dt dt Esempio.2 Si f(x, t) : [ 1 4, 1 4 ] [, 1] R così definit: t se t < x f(x, t) t + 2 x se x t < 2 x se 2 x t 1; t < se x, f(x, t) f( x, t) se x < Mostreremo che l funzione f(x, t) è continu, mentre non è continu il segno di integrle. e che non vle l formul di derivzione sotto f(x, t) f(x, t) t + 2 x A 3 f(x, t) t + 2 x A 4 A 2 f(x, t) t A 5 A 1 f(x, t) t x A 6 f(x, t) Grfico del dominio di f(x, t) Il punto dove sembrerebbe esserci qulche problem per l continuità di f(x, t) è l origine (, ). Dividendo l insieme di definizione [ 1 4, 1 4 ] [, 1] nei sei sottoinsiemi dove vi è cmbio di legge: A 1, A 6, notimo che (, ) è di ccumulzione per ognuno dei sottoinsiemi. Provimo l continuità di f(x, t) per esempio nel sottoinsieme A 2. Risult: f(x, t) f(, ) t + 2 x se (x, t) (, )

6 6 Per ogni (x, t) ] 1 4, 1 4 [ ] 1, 1[, si h: se < t < x 1 x se x < t < 2 x se 2 x < t < 1; < t < se x, f( x, t) se x < Risult f(, t) per ogni t [, 1]. Inftti: f(x, t ) f(, t ) x x t > f(x, t ) x x t > f(x, ) f(, ) x x t f(x, t ) f(, t ) x x t < x x (poiché d un certo punto x < t2 4 ) t > x x t x x t < Si, desso x >, llor: x 2 x F (x ) f(x, t) dt dt + t dt + ( t + 2 [ t 2 x ) dt + dt x 2 ] t x [ ] t2 + t2 x x ) t x t x Ripetendo qunto sopr clcolto, si mostr che è nche per x <, si h F (x) x. Bnlmente per x si h F (), dunque F (x) x per ogni x [ 1 4, 1 4 ] e quindi F (x) 1 per ogni x ] 1 4, 1 4 [. M, poiché: f(, t) dt dt si h: 1 F () f(, t) f(, t) dt dt dunque non vle l formul di derivzione sotto il segno di integrle. Finor bbimo supposto che l intervllo [, b] fosse itto. Se considerimo un intervllo ilitto llor può ccdere che i risultti dei precedenti teoremi non vlgono più, bisogn cioé fre nuove ipotesi sull funzione f(x, t). Definizione.1 Diremo che γ(t) è sommbile in un insieme I se è integrbile in ogni insieme chiuso e itto di I e γ(t) è integrbile in senso generlizzto ( integrle improprio o di funzione generlmente continu) Vlgono i seguenti risultti: Teorem.3 Si f(x, t) : A I R (essendo I un intervllo nche ilitto) un funzione continu. Supponimo che esist un funzione sommbile in I, γ(t), tle che: f(x, t) γ(t) per ogni x A e per ogni t I llor l funzione: è continu in A. F (x) f(x, t) dt : A R I Vle l seguente formul di derivzione sotto il segno di integrle: Teorem.4 Si f(x, t) : A I R (essendo I un intervllo nche ilitto) un funzione continu. Supponimo che esist e si continu in A I. Supponimo, infine, che esist un funzione sommbile in I, γ(t), tle che: γ(t) per ogni x A e per ogni t I llor si h: F (x) f(x, t) dt dt I I

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

Integrazione numerica. I(f) := Non sempre si riesce a trovare la forma esplicita della primitiva.

Integrazione numerica. I(f) := Non sempre si riesce a trovare la forma esplicita della primitiva. Approssimzione numeric di: Motivzioni. Integrzione numeric I(f) = f(x)dx. Non sempre si riesce trovre l form esplicit dell primitiv. Vlutzione costos dell primitiv. L funzione d integrre può essere dt

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Calcolo integrale per funzioni di una variabile Cpitolo 10 Clcolo integrle per funzioni di un vribile 10.1 Funzioni primitive Abbimo studito il problem di dedurre d un dt funzione l su derivt. Voglimo or occuprci del problem inverso: dt un funzione

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già

Dettagli

INTEGRAZIONE NUMERICA

INTEGRAZIONE NUMERICA INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO.. 008 009 http://www.mt.unirom.it/ pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p.1/0 INTEGRAZIONE NUMERICA Dt

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

Funzioni a variazione limitata

Funzioni a variazione limitata Cpitolo 1 Funzioni vrizione limitt 1.1 Il problem delle primitive di funzioni L 1 Il problem dell ricerc delle primitive di un ssegnt funzione f : I R con I = [, b] intervllo limitto, cioè le soluzioni

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,

Dettagli

ANALISI VETTORIALE. Giovanni Maria Troianiello. 31 ottobre 2010. 1 Approfondimenti sull integrale di Riemann 3. 2 Integrali impropri e serie 5

ANALISI VETTORIALE. Giovanni Maria Troianiello. 31 ottobre 2010. 1 Approfondimenti sull integrale di Riemann 3. 2 Integrali impropri e serie 5 ANALISI VETTORIALE Giovnni Mri Troiniello 31 ottobre 2010 Indice 1 Approfondimenti sull integrle di Riemnn 3 2 Integrli impropri e serie 5 3 Criterio del confronto, convergenz ssolut, convergenz condiziont

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

Il calcolo integrale

Il calcolo integrale CAPITOLO 4 Il clcolo integrle Il problem che ffrontimo in questo cpitolo è il clcolo di ree di lcune regioni del pino. Inizimo il cpitolo spiegndo quli regioni pine simo interessti. Questi rgomenti sono

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Lezione 1 Insiemi e numeri

Lezione 1 Insiemi e numeri Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione.

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione. T. ZOLZZI. Appunti del corso di Introduzione ll Anlisi Funzionle Scuol di Dottorto in Scienze e Tecnologie dell Informzione e dell Comuniczione. NOTA. L utore desider ringrzire le studentesse di dottorto,

Dettagli

Analisi Matematica: Calcolo Integrale. Francesco Russo

Analisi Matematica: Calcolo Integrale. Francesco Russo Anlisi Mtemtic: Clcolo Integrle Frncesco Russo 2 settembre 200 2 Indice Integrli indefiniti 5. Primitive ed integrli indefiniti................. 5.2 Formule di integrzione..................... 6 2 Integrle

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre

Dettagli

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI cur di Michele Scgli RICHIAMI TEORICI INTEGRALI IMPROPRI NOTEVOLI L integrle CONVERGE dx, < DIVERGE per

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

8. Calcolo integrale.

8. Calcolo integrale. Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 26 8 Clolo integrle 8 Signifito geometrio dell integrle definito

Dettagli

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY ndreucci@dmmm.unirom1.it 1. Notzione fondmentle e prime definizioni

Dettagli

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 9 Sommrio. Crtterizzimo l equivlenz elementre in termini di sistemi di isomorfismi przili e di giochi di Ehrenfeucht-Frïssé. 1. Giochi di Ehrenfeucht-Frïssé

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4

Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4 ispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4 Qurto trimestre del o nno del Corso di Lure in Ingegneri Elettronic ocente: Murizio Romeo Mggio 25 ii Indice Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

FUNZIONI LOGARITMICHE

FUNZIONI LOGARITMICHE FUNZIONI LOGARITMICHE Voglimo vedere come dl grfico δ di un funzione y=f(x) si può pssre l grfico δ dell funzione y = f (x). Dobbimo vere ben presente il grfico dell funzione y = x con x R + e con >0,

Dettagli

June 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2

June 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 June 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 1. Introduzione ll topologi e ll struttur di R 2 e R 3. [3, Prgrfi 1 e 2, Cpitolo 2] L esperienz dell Anlisi A ci insegn che, per poter definire limiti, derivte etc,

Dettagli

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni Cpitolo 7 Integrli doppi In questo cpitolo studieremo gli integrli per funzioni di più vribili: più precismente ci occuperemo degli integrli di funzioni di due vribili (dunque integrli doppi), m piccole

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

Integrali curvilinei e integrali doppi

Integrali curvilinei e integrali doppi Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di

Dettagli

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x)

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x) Funzioni Un funzione f d X in Y è costituit d un tern di elementi ) un insieme X, detto dominio di f 2) un insiemey, detto codominio di f f di Y. Nel cso, in cui X,Y sino sottinsiemi di R, generlmente

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi, EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil

Dettagli

x = x(t) y = y(t) t [a, b]

x = x(t) y = y(t) t [a, b] Dt un curv continu. Curve ed integrli di line : t [, b] i punti () = (x(), y()) e (b) = (x(b), y(b)) si chimno primo e secondo estremo dell curv, rispettivmente. L curv si dice chius se () = (b). L curv

Dettagli

Teoria dell integrazione elementare

Teoria dell integrazione elementare [versione del 5 mggio 29] Teori dell integrzione elementre Andre Crpignni Diprtimento di Mtemtic Applict Università di Pis Per tre cose vle l pen vivere: l mtemtic, l music, l more. Rento Cccioppoli Introduzione

Dettagli

Esercizi su spazi ed operatori lineari

Esercizi su spazi ed operatori lineari Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni

Dettagli

acuradi Luca Cabibbo e Walter Didimo Esercizi di Informatica teorica - Luca Cabibbo e Walter Didimo 1

acuradi Luca Cabibbo e Walter Didimo Esercizi di Informatica teorica - Luca Cabibbo e Walter Didimo 1 curdi Luc Cio e Wlter Didimo Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 1 espressioni regolri e grmmtiche regolri proprietà decidiili dei linguggi regolri teorem di Myhill-Nerode notzioni sul

Dettagli

Un carrello del supermercato viene lanciato con velocità iniziale

Un carrello del supermercato viene lanciato con velocità iniziale Esempio 44 Un utomobile procede lungo l utostrd ll velocità costnte di m/s, ed inizi d ccelerre in vnti di m/s.5 proprio nell istnte in cui super un cmion fermo in un re di sost. In quel preciso momento

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per

( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per Funzioni di utilità (finlmente un po di geroglifici, dopo i grffiti) NB: non fte leggere queste pgine un mtemtico, ltrimenti mi msscr!. Definizione e proprietà Considerimo due eni e di interesse per un

Dettagli

Formule di Gauss Green

Formule di Gauss Green Formule di Guss Green In queste lezioni voglimo studire il legme esistente tr integrli in domini bidimensionli ed integrli urvilinei sull frontier di questi. In seguito i ouperemo del problem nlogo nello

Dettagli

Analisi Matematica. Note di base di. Parte terza. Lamberto LAMBERTI Corrado MASCIA

Analisi Matematica. Note di base di. Parte terza. Lamberto LAMBERTI Corrado MASCIA Spienz, Università di Rom Diprtimento di Mtemtic G.Cstelnuovo Note di bse di Anlisi Mtemtic Prte terz versione 1.2 (18 novembre 2012) Lmberto LAMBERTI Corrdo MASCIA Licenz c 2008 Lmberto Lmberti & Corrdo

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................

Dettagli

Teoria in pillole: logaritmi

Teoria in pillole: logaritmi Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del

Dettagli

L integrale di Riemann

L integrale di Riemann Cpitolo L integrle di Riemnn. Definizioneeprimeproprietà In questo cpitolo ci proponimo di esporre l teori clssic dell integrzione, dovut B. Riemnn, per funzioni reli di un vribile rele. L teori clssic

Dettagli

MATRICI DETERMINANTI SISTEMI LINEARI TEORIA ED ESERCIZI

MATRICI DETERMINANTI SISTEMI LINEARI TEORIA ED ESERCIZI I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI DIPRTIMENTO DI GRRI FCOLT DI INGEGNERI DEI SISTEMI LOGISTICI E GRO- LIMENTRI LEZIONI DI GEOMETRI E LGEBR DISPENS MTRICI DETERMINNTI SISTEMI LINERI TEORI ED ESERCIZI

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Sintesi di Mtemtic cur di Griell Grzino SCOMPOSIZIONE IN FATTORI ) Rccoglimento fttore comune ( Applicile d un polinomio di un numero qulunque di termini purchè i termini presentino lmeno un letter o un

Dettagli

Appunti del corso di METODI MATEMATICI DELLA FISICA. Guido Cognola

Appunti del corso di METODI MATEMATICI DELLA FISICA. Guido Cognola Appunti del corso di METODI MATEMATICI DELLA FISICA Guido Cognol nno ccdemico 29-21 Questi ppunti sono essenzilmente l trscrizione in mnier schemtic e concis delle lezioni svolte nel corso di Metodi Mtemtici

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione eori di Jourwski ü [A.. 0-03 : ultim revisione 4 gennio 03] Si pplic l teori di Jourwski l fine di clcolre l distribuzione di tensioni tngenzili su lcune sezioni soggette sforzo di tglio.. Sezione d ê

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)

Dettagli

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0 Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,

Dettagli

Rapporti e proporzioni numeriche

Rapporti e proporzioni numeriche Rpporti e proporzioni numeriche Rpporti. Per rpporto tr due numeri e b, di cui il secondo diverso d zero, s intende il quoziente estto dell divisione dei due numeri dti, cioè :b oppure /b. Ad esempio dire

Dettagli

b a J(y) = y (x) 2 dx.

b a J(y) = y (x) 2 dx. 1. Il clcolo delle vrizioni Per illustrre lcuni concetti di questo importnte settore dell nlisi e dell mtemtic pplict prtimo d un esempio molto semplice. Considerimo l clsse di funzioni A = {y(x) C 1 [,

Dettagli

Sia A un sottoinsieme limitato del piano e f ( x, y ) una funzione definita in A e limitata. L integrale doppio

Sia A un sottoinsieme limitato del piano e f ( x, y ) una funzione definita in A e limitata. L integrale doppio Prte secon : Clcolo integrle. Integrle oppio su un rettngolo Si A un sottoinsieme limitto el pino e f ( x, ) un funzione efinit in A e limitt. L integrle oppio A f ( x, ) x è un numero efinito in moo tle

Dettagli

8 Controllo di un antenna

8 Controllo di un antenna 8 Controllo di un ntenn L ntenn prbolic di un rdr mobile è montt in modo d consentire un elevzione compres tr e =2. Il momento d inerzi dell ntenn, Je, ed il coefficiente di ttrito viscoso, f e, che crtterizzno

Dettagli

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli