Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

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1 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo chiuso e itto. Fissto x A, se l funzione f(x, ) : [, b] R dell sol vribile t fosse integrbile secondo Riemnn in [, b], llor vrebbe senso il seguente integrle: f(x, t) dt e quindi, l vrire di x in A, risulterebbe definit l seguente funzione: F (x) f(x, t) dt : A R. Noi, nel corso di quest trttzione, supporremo che l funzione f(x, t) si continu (nel complesso delle due vribili) in A [, b]. Quest è un ipotesi forte che semplificherà lqunto le dimostrzioni, m si può richiedere qulcos meno ll funzione f(x, t) e continuno vlere i risultti che tr poco otterremo. Siccome uno degli scopi è trovre un formul che ci permett di clcolre l derivt dell funzione F (x), risult essenzile vedere sotto qule condizione l funzione F (x) risult lmeno continu. Pertnto comincimo con un lemm che ci permetterà di sserire che l funzione F (x) è continu in A, sotto l sol ipotesi di continuità dell f(x, t). Lemm.1 Si f(x, t) : A [, b] R continu in A [, b], llor l funzione: è continu in A. Dimostrzione. F (x) Si x A. Provimo che: f(x, t) dt : A R F (x) F (x ), x x ossi, grzie d un noto teorem di nlisi 1 ) provimo che, per ogni successione {x n } A, si h: Notimo che provre l tesi, equivle provre: n F (x n) F (x ). n F (x n) F (x ) n f(x n, t) dt f(x, t) dt. Un ttimo di riflessione per dire che l tesi ltro non è che un pssggio l ite sotto il segno di integrle per l successione di funzioni φ n (t) f(x n, t) : [, b] R. Sppimo che ciò è grntito se l successione di funzioni φ n (t) è convergente uniformemente verso φ(t) f(x, t). Scopo del proseguo dell dimostrzione è, pertnto, provre questo ftto, ossi provre che: per ogni ε > esiste ν ν(ε) N tle che: ϕ n (t) ϕ(t) f(x n, t) f(x, t) < ε per ogni t [, b] (1) 1 Fissimo, d rbitrio, ε >. Teorem.1 Si f(x) : X R. Condizione necessri e sufficiente ffinché f(x) si continu in x X è che per ogni successione {x n} X convergente verso x, l successione numeric {f(x n)} converge verso f(x ). Dimostrzione. Provre!!!

2 2 Dl ftto che A è un perto di R, esiste un intorno (chiuso) di x tutto contenuto in A, cioé esiste σ > tle che: [x σ, x + σ] A. Si {x n } un successione di elementi di A convergente verso x. Senz perdit di generlità, possimo supporre che tle successione si contenut in questo intorno di x, cioé x n [x σ, x + σ], per ogni n N (osserv che eventulmente solo un numero finito di termini dell successione strebbero fuori d [x σ, x + σ], proprio per l convergenz dell stess verso x ). Considerimo il seguente rettngolo di R 2 : [x σ, x + σ] [, b] A [, b] Tle insieme è ovvimente un insieme chiuso e itto di R 2. Considerimo l restrizione dell funzione f(x, t) : R. Ess, essendo un funzione continu definit su un insieme chiuso e itto, grzie l teorem di Cntor, è uniformemente continu in, e quindi in corrispondenz l fissto ε >, esiste δ δ(ε) > ( e si può scegliere pure δ < σ), tle che : f(x, t ) f(x, t ) < ε se (x, t ), (x, t ), d R 2((x, t ), (x, t )) (x x ) 2 + (t t ) 2 < δ. (2) Per l convergenz di {x n } verso x, in corrispondenz δ > (sorto dll convergenz uniforme), esiste un indice ν N tle che: x n x < δ per ogni n > ν. (3) Provimo l tesi con l indice ν d determinre ugule ν. Si n > ν, llor i punti (x n, t), (x, t) sono tli che pprtengono (fcile verific) e inoltre: d R 2((x n, t), (x, t)) (x n x ) 2 + (t t) 2 x n x < (grzie (3)) < δ per ogni t [, b], m llor, si può pplicre l (2), con (x, t ) (x n, t) e (x, t ) (x, t), ottenendo: f(x n, t) f(x, t) < ε per ogni t [, b] che è l (1); quindi vle il teorem di pssggio l ite sotto il segno di integrle e quindi l tesi. Anzicché trovre un formul per l sol derivt di F (x), cerchimo un formul per un funzione che è più generle rispetto F (x). Si f(x, t) : A [, b] R un funzione continu in A [, b] e sino x A e, z ], b[ (supporremo sempre, per fcilità, che < z < b), llor h senso considerre: Si viene così costruire un funzione di tre vribili: Vle il seguente: φ(x,, z) f(x, t) dt R f(x, t) dt : A ], b[ ], b[ R Teorem.2 Si f(x, t) : A [, b] R un funzione continu in A [, b]. Allor: i) L funzione φ(x,, z) f(x, t) dt : A ], b[ ], b[ R è continu in A ], b[ ], b[. ii) Per ogni x A esistono le derivte przili dell funzione φ(x,, z) rispetto e z e vlgono: (x,, z) f(x, ) (x,, z) f(x, z) per ogni x A e per ogni, z ], b[ z iii) Se per ogni (x, t) A ], b[, esiste f (x, t) ed è continu in A ], b[, llor vle l seguente formul di derivzione sotto il segno di integrle: z f (x,, z) f(x, t) dt (x, t) dt

3 3 Dimostrzione. Sino x A,, z ], b[ e sino x n, n, z n tre successioni tli che x n x, n, z n z. Proveremo che φ(x n, n, z n ) φ(x,, z ). Poiché A e ], b[ sono insiemi perti, llor per qunto osservto, si può supporre che, per qulche σ >, x n ]x σ, x +σ[ e n, z n ], b[, per ogni n N. Considerimo il rettngolo [x σ, x + σ] [, b]. Poiché f(x, t) : A [, b] è continu, in prticolre srà continu nel rettngolo, che è un insieme chiuso e itto, dunque per il teorem di Weierstrss, l funzione f(x, t) mmette mssimo ssoluto in. Si M > mx f(x, t). Considerimo l quntità: n φ(x n, n, z n ) φ(x,, z ) f(x n, t) dt f(x, t) dt (utilizzndo l proprietà di dditività) n n f(x n, t) dt + f(x n, t) dt + f(x n, t) dt f(x, t) dt n z n zn f(x n, t) dt + z f(x n, t) dt + f(x n, t) f(x, t) dt (4) z M, poiché f(x n, t) < M per ogni n N (in qunto (x n, t) ), si h: n n f(x n, t) dt < M dt M n e nlogmente si prov: zn f(x n, t) dt < M z n z z pertnto, qundo fccimo tendere n, i primi due integrli dell ultimo membro dell (4) tendono zero, così come, grzie l lemm precedente, nche il terzo integrle dell (4) tende zero, per cui l i) è provt. Per ogni, z ], b[ e per ogni x A, considert l funzione di un sol vribile: ζ(z) φ(x,, z) per il teorem di Torricelli si ottiene: per cui nche l ii) è provt. f(x, t) dt e ι() φ(x,, z ) z (x,, z ) ζ (z ) f(x, z ) e f(x, t) dt (x,, z ) ι ( ) f(x, ) Si (x,, z ) A ], b[ ], b[. Occorre provre che per ogni ε > esiste δ > tle che per ogni x A con x x < δ, risult: φ(x,, z ) φ(x,, z ) f(x, t) x x < ε z f(x, t) dt, Fissimo ε >. Poiché x A e A è perto, llor esiste un intorno di x tle che [x, σ, x o + σ] A. Considerto il rettngolo [x, σ, x o + σ] [, z ], per il teorem di Cntor sull uniforme continuità, considerndo, senz perdit di generlità, < z, segue che in corrispondenz ε z >, esiste un δ > (possimo, ovvimente, supporre che δ < σ) tle che: f(x, t ) f(x, t ε ) < per ogni (x, t ), (x, t ) con d R 2((x, t ), (x, t )) < z δ (5) Provimo l tesi con δ δ. Si x [x σ, x + σ] e tle che x x < δ. Osservimo che il rpporto incrementle di phi(x,, z ) ) si scrive: φ(x,, z ) φ(x,, z ) f(x, t) dt f(x, t) dt f(x, t) f(x, t) dt (6) x x x x x x Fissto t [, b], grzie l teorem del vlore medio di Lgrnge pplicto ll funzione ϕ(x) f(x, t) : [x, x] R (per semplicità stimo supponendo che x x), si h: f(x, t) f(x, t) f(ξ, t) x x dove ξ ]x, x[ per ogni t [, b] (7)

4 4 Poiché (x ξ) 2 + (t t) 2 x ξ x x < δ, vle l (5) con (x, t ) (ξ, t) e (x, t ) (x, t), pertnto, d (6) e (7), risult: φ(x,, z ) φ(x,, z ) f(x, t) z x x f(ξ, t) f(x, t) dt < ε dt ε per ogni t [, b] z che è l tesi. Dl teorem precedente e dl teorem sull derivbilità delle funzioni composte, discende il seguente: Corollrio.1 Si f(x, t) : A [, b] R continu nel suo insieme di definizione. Supponimo che esist e si continu in A ], b[. Sino α(x), β(x) : A R derivbili in A e tli che α(x), β(x) ], b[ per ogni x A, llor l funzione: risult derivbile e si h per ogni x A: ϕ (x ) β(x) α(x ) ϕ(x) β(x) α(x) f(x, t) f(x, t) dt : A R dt + f(x, β(x )) f(x, α(x )) Gli esempi che seguirnno mostrernno che se non sono verificte tutte le ipotesi dei precedenti teoremi, può cpitre che mnchi l continuità dell F (x) oppure l derivbilità di F (x). Esempio.1 Si f(x, t) : [, 1] [, 1] R così definit: x t f(x, t) se t < x se x t 1 Proveremo che l funzione F (x) non è continu pur essendo l funzione f(x, t) continu rispetto ll vribile (di integrzione) t. f(x, t) f(x, t) x t f(x, t) x t x f(x, t) x+t f(x, t) x+t f(x, t) Grfico del dominio di f(x, t) Si x [, 1], llor l funzione dell sol vribile t: x t f(x, t) se t < x : [, 1] R se x t 1 è continu. Si t [, 1] \ {}, llor l funzione dell sol vribile x: x t f(x, t ) se < t < x : [, 1] R se x t 1

5 5 è continu, mentre per t : { 1 se < x f(x, ) x : [, 1] R se x vi è un discontinuità in x. Dunque f(x, t) non è continu in (, ). Considerimo: F (x) f(x, t) dt : [, 1] R (osservimo che tle integrle h senso essendo f(x, t) un funzione continu rispetto ll vribile t). Si x [, 1] \ {} llor: mentre F (x ) f(x, t) dt 2 [ x x t 1 ] [ ] t x 1 ( f(x, t) dt 2 dt + dt 2 x x t t ) 1 t 2 F () dunque l funzione F (x) non è continu in x. f(, t) dt dt Esempio.2 Si f(x, t) : [ 1 4, 1 4 ] [, 1] R così definit: t se t < x f(x, t) t + 2 x se x t < 2 x se 2 x t 1; t < se x, f(x, t) f( x, t) se x < Mostreremo che l funzione f(x, t) è continu, mentre non è continu il segno di integrle. e che non vle l formul di derivzione sotto f(x, t) f(x, t) t + 2 x A 3 f(x, t) t + 2 x A 4 A 2 f(x, t) t A 5 A 1 f(x, t) t x A 6 f(x, t) Grfico del dominio di f(x, t) Il punto dove sembrerebbe esserci qulche problem per l continuità di f(x, t) è l origine (, ). Dividendo l insieme di definizione [ 1 4, 1 4 ] [, 1] nei sei sottoinsiemi dove vi è cmbio di legge: A 1, A 6, notimo che (, ) è di ccumulzione per ognuno dei sottoinsiemi. Provimo l continuità di f(x, t) per esempio nel sottoinsieme A 2. Risult: f(x, t) f(, ) t + 2 x se (x, t) (, )

6 6 Per ogni (x, t) ] 1 4, 1 4 [ ] 1, 1[, si h: se < t < x 1 x se x < t < 2 x se 2 x < t < 1; < t < se x, f( x, t) se x < Risult f(, t) per ogni t [, 1]. Inftti: f(x, t ) f(, t ) x x t > f(x, t ) x x t > f(x, ) f(, ) x x t f(x, t ) f(, t ) x x t < x x (poiché d un certo punto x < t2 4 ) t > x x t x x t < Si, desso x >, llor: x 2 x F (x ) f(x, t) dt dt + t dt + ( t + 2 [ t 2 x ) dt + dt x 2 ] t x [ ] t2 + t2 x x ) t x t x Ripetendo qunto sopr clcolto, si mostr che è nche per x <, si h F (x) x. Bnlmente per x si h F (), dunque F (x) x per ogni x [ 1 4, 1 4 ] e quindi F (x) 1 per ogni x ] 1 4, 1 4 [. M, poiché: f(, t) dt dt si h: 1 F () f(, t) f(, t) dt dt dunque non vle l formul di derivzione sotto il segno di integrle. Finor bbimo supposto che l intervllo [, b] fosse itto. Se considerimo un intervllo ilitto llor può ccdere che i risultti dei precedenti teoremi non vlgono più, bisogn cioé fre nuove ipotesi sull funzione f(x, t). Definizione.1 Diremo che γ(t) è sommbile in un insieme I se è integrbile in ogni insieme chiuso e itto di I e γ(t) è integrbile in senso generlizzto ( integrle improprio o di funzione generlmente continu) Vlgono i seguenti risultti: Teorem.3 Si f(x, t) : A I R (essendo I un intervllo nche ilitto) un funzione continu. Supponimo che esist un funzione sommbile in I, γ(t), tle che: f(x, t) γ(t) per ogni x A e per ogni t I llor l funzione: è continu in A. F (x) f(x, t) dt : A R I Vle l seguente formul di derivzione sotto il segno di integrle: Teorem.4 Si f(x, t) : A I R (essendo I un intervllo nche ilitto) un funzione continu. Supponimo che esist e si continu in A I. Supponimo, infine, che esist un funzione sommbile in I, γ(t), tle che: γ(t) per ogni x A e per ogni t I llor si h: F (x) f(x, t) dt dt I I