9. Metrica di Friedmann, Robertson e Walker.

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1 9 Metic di Fiednn, obeton e Wlke Volio o tudie teticente coe il pincipio cooloico ci può peettee di ottenee l epzione dell pte pzile d quell tepole dell etic Un etic viene dett "invinte in fo" pe un tfozione di coodinte i i i ( e l etic tfot ' (') è uule ll etic oiinle () in oni punto dello pzio-tepo, cioè e ( y) ( y) y Il poble fondentle che info queto dicoo è l icec di quelle tfozioni ullo pzio-tepo che lcino invite l tuttu etic ipot Liitioci lle ole tfozioni infiniteie enete d un cpo vettoile : n ε ( ) ε << j ) L etic tfot à n n ed eendo ε e i ottiene δ ε, n n ε, n nε, e tutte le quntità econdo ebo devono eee clcolte nel punto P' D'lt pte l etic oiinle nel punto P' può eee epe in teini delle quntità clcolte in P tite un'epnione in eie di Tylo tonct l pio odine: n d) n n, ( ) n n, ε (

2 L condizione necei e ufficiente peché l tfozione enet dl cpo vettoile lci invite le popietàeoetiche dell vietàè che ' n e n (d) ino uuli qulunque i il punto P, cioè che i nnulli l loo diffeenz:, n n, n, 0 L 0 in cui L è l deivt di Lie del tenoe, not dll Meccnic zionle L'ulti uulinz può eee nche citt coe 0,, (,,, ),, Γ ; ; e l'ulti eulinz è dett equzione di Killin: 0 ; ; I vettoi che oddifno quete equzioni i chino vettoi di Killin e ono tutti e oli i vettoi che deteinno le popietàdi ieti dello pzio Quindi il poble dell deteinzione delle ioetie infiniteie pe un dt etic, e viceve il poble di intodue in un etic eneic ioetie deidete, i tfo in quello dell deteinzione dei vettoi di Killin pe l etic, e i intuice che lo tudio di tli vettoi àpoibile tite il tenoe di cuvtu, che contiene tutte le popietàeoetiche dell vietà Tite bcd poteo deteine () di vloi di e ;n in un punto Notio inftti che, pe le eole di coutzione delle deivte covinti, i h d ; b; c ; c; b c d Tenendo conto dell popietà bcd dbc cdb 0 i h che devono oddife le elzioni 0 ; n; ; ; n ; ; n ; n; n; ; n; ;

3 Conideio il pio ed il eto teine del pio ebo ;n; - n;; ; queto ovviente àuule ( ;n - n; ) ; e, pe le equzioni di Killin divent ;n; Co nlo uccede t il econdo e tezo teine e t quto e quinto Le equzioni di Killin iducono llo quell'eulinz 0 ; n; ; ; n ; n; I pii due teini di quet'ulti, zie ll eol di coutzione delle deivte covinti econde, fonicono in definitiv d ; n; n d Quindi conocendo e ;b in un punto poio deteine le deivte econde di ( ) dll'ulti equzione, e deivndol poio icve, epe in, tutte le deivte ucceive coe cobinzione linee di ( ) e ;b ( ) In queto odo le funzioni ( ) poono eee cotuite coe un eie di Tylo in l - l ed infine ottenee l nl A (, ) ( ) B (, ) ; ( ) l coe epeione utilizzile nche pe il clcolo del nueo io poibile di vettoi di Killin Inftti, poiché () è deteinto d ( ) e d ;n ( ), il nueo io di vettoi di Killin lineente indipendenti à, pe un vietàd N dienioni, n l N N( N ) N( N ) peché N nno deteinti d ( ) ed cuto dll'equzione di Killin te N( N ) d ( ), quet'ultio nueo ; n Uno pzio d N dienioni l cui etic h il nueo io di vettoi di Killin lineente indipendenti è chito pzio ieti i Pe tli pzi ebbe fcile diote che (Weinbe, p 8), cu delle equzioni di Killin e delle popietàdi ieti del tenoe di ienn, quet'ultio ue l fo cd ( db c cb d ) N( N )

4 Il tenoe di icci di coneuenz divent, icodndo che bc c i δ e δ i N, Undo llo l'identitàdi Binchi N ; 0 icvio ubito che N ; 0 e quindi, icodndo che l deivt covinte dell etic è null, ; b 0 b cioè, li pzi ieti i ono cuvtu cotnte Se o icodio che il Pincipio Cooloico è tto poto coe ipotei di be pe lo tudio dell cooloi, poio note eo che ipone che l pte pzile dello pzio-tepo i uno pzio -dienionle ieti i peché ichiede l'eitenz di due ioetie, quell tlzionle e quell otzionle, onun delle quli può eee deteint d te vettoi di Killin Quindi, e deve vlee il pincipio cooloico, il -pzio pzile deve eee uno pzio ieti i, cioè cuvtu cotnte Coincio d nlizze lo pzio cuvtu cotnte poitiv Se lo ieio in uno pzio euclideo fittizio qutto dienioni, ottenio che può eee ppeentto d un fe tidienionle, di cui è iedito civene l fo dell etic Un upeficie feic tidienionle nelle coodinte cteine di 4 h equzione 4 e è il io dell fe 4

5 È utile il pio lle coodinte poli feiche en χ enθ coφ; en χ enθ enφ; en χ coθ; 4 co χ diffeenzindo, l'eleento di ditnz ull fe tidienionle i civeà ( dχ en χ( en θdφ )) dl Quet epeione dell'eleento di line ette in ilto che le coodinte che tio undo ono coodinte noli e quindi è penile che ino cooventi, iult più utile ue un lto ite Intoducio le coodinte enθ coφ; enθ enφ; coθ; ponendo /, con viile t 0 ed, ottenio infine dl d ( en θdφ ) che è l'lt fo dell'eleento di ditnz di un ti-pzio cuvtu cotnte poitiv D'lt pte le due foe dell etic i poono ottenee l'un dll'lt con l tfozione d co χdχ dχ en χ en d χ dχ Il volue dello pzio, cioè l upeficie feic tidienionle, è dχ V d e poiché 6 4 en θ à π π d enθ dφ π V 5

6 Quindi vedio che il volue dell pte pzile dell'univeo è finito pe oni vloe di finito Pe qunto iud lo pzio cuvtu cotnte netiv, notio che eo, ieo coe il pecedente in un 4 fittizio, è ppeentile con un'ipeboloide di otzione, e, con un pocediento nloo quello pecedente, ptendo dll elzione 4 i ottiene oppue l fo [ dχ enh χ( en θ dφ )] dl d dl ( en θ dφ ) Notio che, eendo in queto co il ne di viilitàdi (χ, θ, φ) dto d oppue, nelle viili (, θ, φ), d 0 χ, 0 θ π, 0 φ π 0, 0 θ π, 0 φ π il volue è infinito pe qulunque vloe di diveo d zeo Infine il ti-pzio pitto è l'etenione nole di un pino ieo in uno pzio euclideo qutto dienioni, ed h l'eleento di line, epe in coodinte poli feiche, [ d ( en θ dφ )] dl Anche lo pzio pitto h, ovviente, il volue infinito pe oni diveo d zeo Poiché il noto univeo è decivibile coe uno pzio qutto dienioni con un ottopzio -dienionle ieti i, pe il pincipio cooloico, le coponenti 0i dell etic nno nulle peché le coodinte ono cooventi ed etichettte dll coodint tepole, e quindi l etic che utilizzeeo à d dt d k en θ dφ con k cotnte che può uee i vloi, -, 0, e che pende il noe d quelli che pe pii l'hnno utilizzt: Fiednn, obeton e Wlke 6