IV-3 Derivate delle funzioni di più variabili

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1 DERIVATE PARZIALI IV-3 Drivat dll funzioni di più variabili Indic Drivat parziali Rgol di drivazion 5 3 Drivabilità continuità 7 4 Diffrnziabilità 7 5 Drivat scond torma di Schwarz 8 6 Soluzioni dgli srcizi 0 Com abbiamo visto nlla II part dl corso, la drivata di una funzion non è altro ch un rapporto tra du variazioni, qullo dl valor dlla funzion in corrispondnza a qullo dlla variabil. Si ricordrà (spro) ch più prcisamnt con drivata di f in un punto intndiamo il it dl rapporto incrmntal di f. Volndo costruir anch pr funzioni di n > variabili un rapporto incrmntal, cioè un quozint di variazioni, ci si imbatt in una difficoltà. Vdiamolo pr smplicità con du variabili: considriamo il punto ( 0, 0 ) il punto (,), in prossimità di ( 0, 0 ). Volndo far qullo ch si fa in una variabil, la variazion di f è f(,) f( 0, 0 ) pr ora non cambia molto; la variazion dlla variabil è invc (,) ( 0, 0 ), ch adsso è un vttor. Ora prò non possiamo costruir il rapporto incrmntal, dato ch il dnominator non è un numro. Possiamo ancora crcar di dfinir una drivata nl modo tradizional, cioè com it di un rapporto incrmntal, ma dobbiamo far in modo ch qul dnominator torni ad ssr un numro ral. Drivat parziali Smpr considrando il caso di du sol variabili, s in prossimità di ( 0, 0 ) prndiamo un punto facndo variar solo la prima componnt, cioè considriamo un punto (, 0 ), possiamo costruir il rapporto incrmntal f(, 0 ) f( 0, 0 ) 0. Si noti ch, dato ch solo la varia, la variazion ch sta a dnominator è data dalla variazion dlla sola, quindi il dnominator torna ad ssr un numro. Allora possiamo dfinir una drivata, ch sarà ovviamnt una drivata risptto alla. Dfinizion S ( 0, 0 ) è un punto intrno al dominio di f, chiamiamo drivata parzial di f risptto ad nl punto ( 0, 0 ) il f(, 0 ) f( 0, 0 ), s qusto è finito. 0 0 Analogamnt, possiamo costruir un altro rapporto incrmntal s in prossimità di ( 0, 0 ) prndiamo un punto facndo variar solo la sconda componnt, cioè considriamo un punto ( 0,). Avrmo allora la drivata risptto alla. Ricordo la dfinizion formal: la drivata di una funzion f : A R R in un punto 0 intrno ad A è il f() f( 0 ) f( 0 +h) f( 0 ) = 0 0 h 0 h (quando qusto è un numro). Si noti ch, tra l tant oprazioni ch abbiamo dfinito in qusto corso, molt dll quali dfinit tra vttori (vdi part III), non c n è nssuna ch prvda il quozint tra un numro un vttor. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

2 DERIVATE PARZIALI Dfinizion Chiamiamo drivata parzial di f risptto ad nl punto ( 0, 0 ) il f( 0,) f( 0, 0 ) 0 0, s qusto è finito. La drivata parzial di f risptto ad nl punto ( 0, 0 ) si indica con i simboli ( 0, 0 ) oppur f ( 0, 0 ). S qusta sist, diciamo anch ch f è drivabil parzialmnt risptto ad nl punto ( 0, 0 ). Analogamnt la drivata parzial di f risptto ad nl punto ( 0, 0 ) si indica con i simboli ( 0, 0 ) oppur f ( 0, 0 ), s qusta sist, diciamo ch f è drivabil parzialmnt risptto ad nl punto ( 0, 0 ). Dicndo smplicmnt ch una funzion f di du variabili è drivabil in ( 0, 0 ) si intnd ch ssa è drivabil parzialmnt in ( 0, 0 ) sia risptto ad sia risptto ad. In tal caso si chiama gradint di f in ( 0, 0 ) il vttor dll su drivat parziali. Si scriv f( 0, 0 ) = ( ( 0, 0 ), ( 0, 0 ) ) = ( ) f ( 0, 0 ),f ( 0, 0 ). In gnral, pr una funzion di n variabili, avrmo n possibili drivat parziali. A partir dal punto 0 = ( 0,...,0 n ) possiamo dar una variazion ad una sola dll n variabili, diciamo la i, passando pr qusta dal valor 0 i al valor i. Considriamo poi il i 0 i f( 0,...,0 i, i, 0 i+,...,0 n) f( 0,...,0 i,0 i,0 i+,...,0 n) i 0. i S sso sist finito, lo chiamiamo drivata parzial di f risptto a i nl punto 0, diciamo ch f è drivabil parzialmnt risptto a i nl punto 0. Pr indicar tal drivata si usano i simboli ( 0 ) oppur f i ( 0 ). i S nl punto 0 la funzion f è drivabil parzialmnt risptto a tutt l su n variabili, si dirà brvmnt ch è drivabil nl punto 0. S f è una funzion drivabil nl punto 0, il gradint di f in 0 è il vttor ( ) f( 0 ) = ( 0 ( ) ),..., ( 0 ) = f ( 0 ),...,f n ( 0 ). n Esmpi Considriamo la funzion f(,) = +, dfinita in tutto R. Considriamo poi il punto ( 0, 0 ) = (,0), in cui la funzion val. Si ha Si ha poi f(,0) f(,0) + (,0) = = =. f(,) f(,0) + (,0) = = = = Quindi f è drivabil nl punto (,0) f(,0) = (,). Considriamo la funzion f(,) = ln, dfinita sul smipiano > 0. Considriamo poi il punto ( 0, 0 ) = (,), in cui la funzion val 0. La funzion val 0 lungo la rtta = quindi la drivata parzial risptto ad è nulla. Si ha poi f(,) f(,) ln (,) = = =. 4 Quindi f è drivabil nl punto (,) f(,) = (0,). 3 È uno di iti notvoli. 4 Cambio di variabil = t poi si trova ancora uno di iti notvoli. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

3 DERIVATE PARZIALI 3 Considriamo la funzion f(,) =, dfinita nl smipiano 0. Considriamo il punto ( 0, 0 ) = (,4), intrno al dominio, in cui la funzion val. Si ha f(,4) f(,4) (,4) = = = ( )(+) = 4. Si ha poi f(,) f(,4) (,4) = = = 4 ( )( +) = 4. Quindi f è drivabil nl punto (,4) f(,4) = (4, 4 ). Si considri infin funzion f(,) = +, dfinita in tutto R. Pr facilitar la comprnsion di calcoli ch sguono, possiamo riscrivr la f com { + s 0, R f(,) = + s <, R rapprsntiamo quanto scritto nlla figura a fianco (nl primo quarto quadrant la funzion è +, mntr nl scondo trzo quadrant la funzion è +). f(,)= + f(,)=+ Considriamo ora il punto ( 0, 0 ) = (0,), in cui si ha f( 0, 0 ) =. Dar una variazion solo ad vuol dir muovrsi lungo una rtta passant pr (0,) parallla all ass (tal rtta ha quazion = ). Su di ssa, a dstra di (0,), la funzion val +, mntr a sinistra val +. Si ha prciò f(,) f(0,) + = =, f(,)= f(,) f(0,) + = =, 0 0 prtanto qusta funzion non ammtt drivata parzial risptto ad nl punto (0,). Ciò è sufficint pr dir ch in qul punto non è drivabil. C è invc in (0,) drivabilità parzial risptto ad, dato ch f(0,) f(0,) = =. f(,)= + Si noti ch il calcolo dlla drivata parzial risptto a richid di distingur i du casi > 0 < 0, mntr il calcolo dlla drivata parzial risptto a non lo richid. Si considri ora il punto ( 0, 0 ) = (,0). Facndo variar solo la prcorrndo quindi l ass (con = 0) si trova ch sia a dstra sia a sinistra, in un intorno sufficintmnt piccolo di (,0), la funzion val +. Si ha quindi =, quindi la funzion è drivabil parzialmnt risptto a in (,0). f(,)=+ Prcorrndo invc una parallla all ass (con = ) si trova ancora ch sia al di sopra sia al di sotto di (,0) la funzion val +. Si ha quindi + =, 0 quindi la funzion in (, 0) è drivabil parzialmnt anch risptto ad d è prtanto drivabil. Si ha f(,0) = (,). = = A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

4 IV-3 DERIVATE DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI DERIVATE PARZIALI 4 Ossrvazion Non è difficil intuir capir ch studiar la drivabilità parzial risptto ad di una funzion f in un punto ( 0, 0 ) quival a studiar la drivabilità in t = 0 dlla rstrizion di f alla curva γ (t) = ( 0 +t, 0 ). Analogamnt, studiar la drivabilità parzial risptto ad in ( 0, 0 ) quival a studiar la drivabilità in t = 0 dlla rstrizion di f alla curva γ (t) = ( 0, 0 +t). La figura a fianco illustra ch il sostgno dlla curva γ è la rtta di quazion = 0 il sostgno dlla curva γ è la rtta di quazion = 0. Anzi, possiamo dimostrar facilmnt ch, s c è drivabilità parzial, allora risulta ( 0, 0 ) = (f γ ) (0) ( 0, 0 ) = (f γ ) (0). Infatti, con il cambio di variabil 0 = t (quindi = 0 +t), si ha f(, 0 ) f( 0, 0 ) f( 0 +t, 0 ) f( 0, 0 ) f(γ (t)) f(γ (0)) = =, 0 0 t 0 t t 0 t qust ultimo è proprio la drivata dlla funzion f(γ (t)) = (f γ )(t) in t = 0. È chiaro ch analogamnt si ha, pr la drivata risptto ad, f( 0,) f( 0, 0 ) f( 0, 0 +t) f( 0, 0 ) f(γ (t)) f(γ (0)) = =, 0 0 t 0 t t 0 t cioè la drivata dlla funzion f(γ (t)) = (f γ ) in t = 0. Possiamo vrificar il tutto su qualch smpio. Riprndndo la prima funzion dgli smpi prcdnti, cioè la f(,) = +, nl punto (,0), pr la drivata parzial risptto ad considriamo la curva γ (t) = (+t,0) la rstrizion f(+t,0) = +t. Tal funzion è drivabil in t = 0 con drivata ugual ad. Pr la drivata parzial risptto ad considriamo invc la curva γ (t) = (,t) la rstrizion ch è drivabil in t = 0 con drivata ugual ad. Pr la sconda funzion, cioè f(,t) = + t, f(,) = ln, nl punto (,), 0 0 = 0 pr la drivata parzial risptto ad considriamo la rstrizion di f alla curva γ (t) = (+t,), ch è f(+t,) = (+t) 0 = 0, = 0 da cui (,) = 0. Pr la drivata parzial risptto ad considriamo la rstrizion di f alla curva γ (t) = (,+t), ch è f(,+t) = ln(+t), da cui (,) =. Infin, pr la trza funzion, cioè si ha invc f(,) = +, nl punto (0,), f(0+t,) = t + = { t+ s t 0 t+ s t < 0 tal funzion non è drivabil in t = 0. Quindi f non è drivabil parzialmnt risptto ad. Risptto ad invc c è drivata parzial, dato ch la rstrizion alla curva (0, +t) coincid con la funzion t +t, ch è crtamnt drivabil. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

5 REGOLE DI DERIVAZIONE 5 Ancora un smpio. Pr la funzion f(,) = +, nl punto (0,0), l sam dlla drivabilità parzial risptto ad porta a considrar la rstrizion f(t,0) = t, ch non è drivabil in t = 0. L sam dlla drivabilità parzial risptto ad porta invc a considrar la rstrizion f(0,t) = t = t, ch è drivabil in t = 0, con drivata nulla. Prtanto si ha (0,0) = 0, mntr la (0,0) non sist. Spndiamo ora du parol sull intrprtazion gomtrica dll drivat parziali. Tnndo conto di quanto sposto nll ultima ossrvazion, ch cioè l drivat parziali coincidono con l drivat (monodimnsionali) lungo opportun rstrizioni, si intuisc facilmnt ch, s la f è drivabil risptto ad nl punto ( 0, 0 ), allora nl piano di quazion = 0 5 vi è una (d una sola) rtta tangnt al grafico di f (vdi figura sotto a sinistra). La drivata parzial di f risptto ad è la pndnza (cofficint angolar) di tal rtta, indicata con r in figura. Analogamnt, s f è drivabil risptto ad in ( 0, 0 ), allora nl piano di quazion = 0 vi è una (d una sola) rtta tangnt al grafico di f (figura sotto a dstra). La drivata parzial di f risptto ad è la pndnza di qusta rtta, indicata con r in figura. z z r r Esrcizio. Si calcolino l drivat parziali dll sgunti funzioni attravrso la dfinizion, cioè con il it dl rapporto incrmntal parzial. (a) f(, ) = nl punto (,) (b) f(,) = (+) nl punto (,) (c) f(, ) = ln nl punto (,) (d) f(,) = + nl punto (,) Rgol di drivazion Pr quanto riguarda il calcolo dll drivat, com avvin pr l funzioni di una sola variabil, la dfinizion (cioè il it dl rapporto incrmntal) si utilizza solamnt in casi particolari, com ad smpio l funzioni dfinit a tratti, o prché sprssamnt richista. 6 Pr il calcolo ci sono mtodi più comodi pr procdr, qulli ch vngono comunmnt dtti rgol di drivazion. Si ottngono comod rgol di drivazion parzial smplicmnt tnndo conto dl fatto ch nlla drivazion risptto alla variabil i tutt l altr variabili sono da mantnrsi costanti: quindi l rgol di calcolo sono l consut rgol di drivazion dll funzioni di una sola variabil. 7 5 Si tratta di un piano vrtical paralllo al piano,z ch contin il punto ( 0, 0 ). 6 Solitamnt pr capir s lo studnt ha studiato bn anch la toria. 7 Sarbb com drivar una funzion di una variabil ch dipnd anch da alcuni paramtri, i quali prò sono da ritnrsi costanti al momnto dlla drivazion. Ad smpio, s considriamo la funzion f() = a + b + c intndiamo ch a,b,c sono costanti, si ha f () = a+b. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

6 REGOLE DI DERIVAZIONE 6 Esmpi Calcoliamo l drivat parziali dlla funzion f(,) = 3. Drivando risptto ad, quindi con costant, si ha (,) = 3. Drivando risptto ad, quindi con costant, si ha (,) = 3. Con la funzion f(,) =, drivando risptto ad si ha Drivando risptto ad si ha invc (,) =. (,) =. L drivat parziali dlla funzion f(,) = sono: (,) = + = + 3 (,) = + = + 3. ( ) Con la funzion f(,) = ln abbiamo ln Con la funzion f(,, 3 ) = infin ln (,) = ln (,) = ( ln + + 3, si ha (,, 3 ) = (,, 3 ) = 3 (,, 3 ) = ln =. ) = ln. + +, Ossrvazion Faccio splicitamnt notar una cosa, ch risulta praltro vidnt dagli smpi appna visti. S f è una funzion di du variabili, allora in gnr l su drivat parziali sono anch ss funzioni di du variabili, in gnral, funzioni di n variabili hanno drivat parziali ch sono anch ss funzioni di n variabili. Esrcizio. Si calcolino l drivat parziali dll sgunti funzioni con l rgol di drivazion. (a) f(,) = (+) 3 4 (b) f(, ) = ln( + ) (c) f(,) = (d) f(,) = () f(, ) = + (g) f(,) = (f) f(,) = / + (h) f(, ) = +ln +ln A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

7 4 DIFFERENZIABILITÀ 7 3 Drivabilità continuità È da mttr in vidnza il sgunt fatto: lo studnt ricordrà ch con l funzioni di una variabil la drivabilità in un punto implica la continuità nllo stsso punto. Qusto risultato non val più con funzioni di più variabili: ora la drivabilità di una funzion nl punto 0 non garantisc la continuità dlla funzion in 0. In altr parol ci sono smpi di funzioni drivabili in un punto ma non continu in qul punto. Un smpio in mrito è fornito dalla funzion di du variabili { s = 0 f(,) = 0 s 0. La funzion val sugli assi cartsiani val 0 in tutti gli altri punti dl piano. L rstrizioni agli assi dlla funzion f sono funzioni costanti, con valor, quindi la funzion f è drivabil parzialmnt in ( 0, 0 ) = (0,0) con drivat parziali ntramb null. Non c è prò continuità in (0, 0), dato ch il it nll origin non sist: infatti l rstrizioni lungo gli assi cartsiani hanno it, mntr la rstrizion ad una qualunqu altra rtta pr l origin ha it 0. Il motivo dl fatto ch in più variabili la drivabilità parzial in un punto 0 non implica la continuità in 0 è facilmnt intuibil: l sistnza dll drivat parziali dipnd dal comportamnto dlla funzion soltanto lungo l dirzioni paralll agli assi cartsiani, mntr la continuità coinvolg i valori in tutto un intorno dl punto 0. Quindi la drivabilità lungo l dirzioni fondamntali non dà sufficinti garanzi sul comportamnto dlla funzion lungo altr possibili dirzioni. Ossrvazion Sorg spontana a qusto punto una domanda: s la drivabilità parzial non è sufficint a garantir la continuità, quali proprità possono ssrlo? Qui mi ito a citar soltanto qusto risultato: s una funzion f ha drivat parziali in un insim A qust drivat parziali sono funzioni continu in A, allora f è continua in A. L funzioni ch hanno drivat parziali continu sono l cosiddtt funzioni di class C, com in R rano di class C l funzioni con drivata (prima) continua. 4 Diffrnziabilità Nll ossrvazion ch chiud la szion prcdnt ho citato una proprità ch garantisc la continuità. Un altra proprità di qusto tipo, molto important anch nll applicazioni, è la diffrnziabilità. Non n abbiamo parlato in prcdnza, cioè pr l funzioni di una sola variabil, in quanto il conctto, in una sola variabil appunto, non si discosta molto da qullo di drivabilità. In più variabili invc la diffrnziabilità acquista un significato divrso da qullo di drivabilità (parzial) sicuramnt important, sia da un punto di vista torico, sia applicativo. Prsnto prima la dfinizion con rifrimnto a funzioni di du variabili succssivamnt n do la gnralizzazion ad n variabili. Pr introdurr il conctto, in modo ch la dfinizion formal non risulti di non immdiata comprnsion, si può dir ch una funzion è diffrnziabil in un punto s la variazion di suoi valori, in prossimità di qusto punto, è in buona approssimazion una funzion linar dlla variazion dll variabili indipndnti. Dfinizion Sia f : A R R sia ( 0, 0 ) un punto intrno ad A. Diciamo ch f è diffrnziabil in ( 0, 0 ) s c è una funzion linar dl tipo c ( 0 )+c ( 0 ) tal ch la diffrnza [ ] f(, ) f( 0, 0 ) c ( 0 )+c ( 0 ) sia trascurabil. 8 Ossrvazion Si noti ch dir ch la variaziondi f è sostanzialmntlinar quival a dir ch la diffrnza tra tal variazion una funzion linar è trascurabil. Quindi diffrnziabil in un punto vuol dir ch in prossimità di qusto punto la variazion dlla funzion è praticamnt linar risptto all variazioni dll variabili (cioè proporzional a qust). Si dovrbb intuir ch la novità risptto alla drivazion parzial è ch ora non opro nssuna rstrizion dlla funzion ma considro tutti i punti in prossimità di ( 0,0 ). E fors si intuisc anch ch quindi la diffrnziabilità mi può garantir un maggior numro di proprità dlla funzion f risptto a quanto possono far l drivat parziali. Lafunzionlinar( 0, 0 ) c ( 0 )+c ( 0 ) sichiamaildiffrnzial di f in ( 0, 0 ) si indica con df( 0,0 ). Si tratta dlla funzion linar dll variazioni di. A volt si scriv anch df = c d +c d. 8 In raltà dovri diri, più rigorosamnt, trascurabil risptto a ch cosa. La diffrnza dv ssr trascurabil risptto alla distanza di (, ) da ( 0,0 ). E ricordo ch il significato [ di ciò è ch, al tndr di ( ], ) a ( 0,0 ), cioè al tndr a zro dlla loro distanza, il rapporto tra la diffrnza f(, ) f( 0,0 ) c ( 0 )+c ( 0 ) tal distanza tnd a zro. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

8 5 DERIVATE SECONDE E TEOREMA DI SCHWARZ 8 Il diffrnzial, quando la funzion è diffrnziabil, fornisc una buona approssimazion dlla variazion di f in prossimità di un punto ch stiamo considrando. Ossrvazion Si può dimostrar ch, s una funzion f è diffrnziabil nl punto ( 0,0 ), allora l du costanti c c dl diffrnzial non sono altro ch l du drivat parziali di f in ( 0,0 ), ch quindi possiamo scrivr df = d + d (l drivat parziali sono calcolat nl punto ( 0, 0 )). Esmpio Scriviamo il diffrnzial dlla funzion f(,) = + nl punto ( 0, 0 ) = (,). Ci srvono intanto l du drivat parziali. Si ha ( 0, 0 ) = (,) = ( 0, 0 ) = (,) = 4. Prtanto il diffrnzial di f in (,) è df(,) = ( 0 )+4( 0 ) = ( )+4( ) = d+4d. Ossrvazion Si potrbb provar ch l intrprtazion gomtrica dlla diffrnziabilità pr l funzioni di du variabili è l sistnza dl piano tangnt al grafico dlla funzion nl punto ch vin considrato. Ricordando ch l intrprtazion gomtrica dlla drivata in una variabil ra l sistnza dlla rtta tangnt, si potrbb dir ch il conctto ch gnralizza la drivata in du variabili è la diffrnziabilità non la drivabilità parzial. Pr fornir ora la dfinizion di diffrnziabilità in n variabili convin fors formalizzar in modo lggrmnt divrso la scrittura dlla funzion linar (cioè dl diffrnzial). Possiamo dir ch una funzion linar in n variabili è il risultato dl prodotto intrno di un vttor costant pr il vttor dll variabili. 9 Dtto qusto, possiamo quindi dar la sgunt Dfinizion Sia f : A R n R sia 0 un punto intrno ad A. Diciamo ch f è diffrnziabil in 0 s c è un vttor c pr cui la diffrnza f() f( 0 ) c, 0 sia trascurabil. 0 La funzion linar c, 0 si chiama il diffrnzial di f in 0 si indica con df( 0 ). Val in gnral il risultato ch, s una funzion è diffrnziabil in un punto 0, l costanti c i ch compaiono nl suo diffrnzial sono l drivat parziali di f nl punto 0. Possiamo anch sinttizzar qusto scrivndo ch c = f( 0 ), ossia ch df( 0 ) = f( 0 ), 0 = f( 0 ), d = n i= i ( 0 )d i. Ossrvazion Ricordo, a conclusion dlla szion, ch s una funzion è diffrnziabil in un punto, allora ssa in qusto punto è continua drivabil parzialmnt risptto a tutt l su variabili. Esrcizio 4. Si scriva il diffrnzial dll sgunti funzioni, nl punto indicato. (a) f(,) = 3 in (,) (b) f(,) = ln(+) in (,0) 5 Drivat scond torma di Schwarz Com avvin pr l funzioni di una variabil, pr l quali, dopo la drivata prima, possono ssr dfinit la drivata sconda tutt l altr, così analogamnt può avvnir pr l funzioni di più variabili. S f : A R n R s f è drivabil parzialmnt in A, com già ossrvato ogni drivata parzial i è una funzion dfinita in A a valori in R, ch associa ad ogni appartnnt ad A il numro ral i (). Tali funzioni possono quindi a loro volta ssr drivabili parzialmnt risptto all variabili,..., n. 9 In du variabili possiamo scrivr cioè c ( 0 )+c ( 0 ) = c, 0, s poniamo c = (c,c ), = (, ) 0 = ( 0,0 ). 0 Una scrittura stsa di f() f( 0 ) c, 0 potrbb ssr f(,..., n) f( 0,..., 0 n) n c i ( i 0 i ). S f è di du variabili, la drivata parzial di f risptto ad può ssr a sua volta drivata risptto ad o risptto ad, lo stsso pr la drivata parzial di f risptto ad. i= A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

9 5 DERIVATE SECONDE E TEOREMA DI SCHWARZ 9 Ciascuna i può avr dunqu n drivat parziali; la drivata parzial di simbolo, i j i risptto ad j vin indicata con il vin dtta drivata parzial sconda di f risptto ad i risptto a j. Pr una funzion di n variabili vi sono dunqu nl complsso n drivat parziali scond. Vi sono qull ottnut drivando du volt risptto alla stssa variabil, ch si indicano con,..., n qull ottnut invc drivando risptto a variabili divrs, cioè Qust ultim si chiamano drivat scond mist. Esmpi i j, con i,j =,...,n i j. La funzion f(,) = + 3 ha drivat parziali prim drivat parziali scond (,) = (,) = 3 (,) =, (,) = 0, (,) = 0, (,) = 6. La funzion f(,) = ha drivat parziali prim (,) = (,) = drivat parziali scond (,) = 0, (,) =, (,) =, (,) = 3. La funzion f(, ) = ln( +ln ) ha drivat parziali prim drivat parziali scond (, ) = +ln (, ) = +ln (, ) = ( +ln ), (, ) = ( +ln ), (, ) = ( +ln ), (, ) = ( +ln ) + ( ) +ln. Lo studnt fors avrà notato ch in tutt l funzioni dgli smpi proposti l drivat scond mist sono uguali. Val infatti in proposito il sgunt important risultato. Torma (di Schwarz) Data la funzion f, dfinita nll aprto A R n qui drivabil parzialmnt du volt, s l drivat scond mist f i j f j i sono continu in A, allora ss sono uguali. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

10 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 0 Ossrvazion L funzioni di uso comun, cioè in pratica l funzioni ch si ottngono dall funzioni lmntari con oprazioni lmntari, hanno drivat(di ogni ordin) continu. Val quindi pr qust il torma di Schwarz. Abbiamo già dtto ch l funzioni con drivat prim continu si dicono di class C. Analogamnt, qull con drivat scond continu si dicono di class C, così via. Qull ch hanno drivat di ogni ordin continu si dicono di class C. L funzioni lmntari qull ch si ottngono da qust con oprazioni di somma, prodotto, quozint composizion sono quindi, ni punti intrni di rispttivi domini, funzioni di class C. Ossrvazion L drivat scond di una funzion dfinita in R n solitamnt si scrivono in una matric n n, dtta matric Hssiana o gradint scondo. Si scriv... f n f = n... Nl caso di una funzion f(,) di du variabili il gradint scondo è la matric f = Ossrvazion S la funzion soddisfa l ipotsi dl torma di Schwarz, quindi Hssiana è una matric simmtrica. n. = f, la sua matric Vdrmo nlla prossima dispnsa dl corso com l drivat parziali prim di una funzion(cioè il gradint) possano ssr utili nlla ricrca di punti stazionari com invc l drivat parziali scond (cioè la matric Hssiana) siano importanti pr studiar la natura di punti stazionari, cioè pr capir s ssi sono punti di massimo o di minimo. Il gradint scondo è util anch nllo studio dlla convssità dlla concavità dlla funzion (sattamnt com la drivata sconda pr l funzioni di una variabil). Esrcizio 5. Calcolar il gradint scondo (ossia la matric Hssiana) dll sgunti funzioni. (a) f(,) = 3 + (b) f(, ) = (c) f(,) = + (d) f(,) = / () f(,,z) = z (f) f(,, 3 ) = 3 6 Soluzioni dgli srcizi Esrcizio. (a) Si ha f(,) =. La drivata parzial risptto ad è La drivata parzial risptto ad è (+t) +t = =. t 0 t t 0 t +t t t = = =. t 0 t t 0 t t 0 t (b) Si ha f(,) = 3. La drivata parzial risptto ad è (+t+) +t 3 (3+t) +t 3 3( t )+t t = = = 4. t 0 t t 0 t t 0 t La drivata parzial risptto ad è (++t) t 3 (3+t) t 3 3( t )+t t = = =. t 0 t t 0 t t 0 t Si ricordi il it notvol t 0 t t =. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

11 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI (c) Si ha f(,) = 0. La drivata parzial risptto ad è La drivata parzial risptto ad è 0 t 0 t = 0. ln(+t) t 0 t = ln(+t) = t 0 t.3 (d) Si ha f(,) =. La drivata parzial risptto ad è ( +t) +t++ t 0 t La drivata parzial risptto ad è (t ) t++ = t 0 t t t+ t++ = t 0 t ( t+ = + ) t+ = t 0 t.4 ++t+ = t 0 t t 0 t+ t =. Esrcizio. (a) Si ha (b) Si ha (c) Si ha (d) Si ha () Si ha = 3 4 +(+) = 3 4 +(+) 3 4 ( 4). = + = ln( + )+ = +. =. = = = ( + ) ( ) = ( ) = + + ( ) = ( ). 3 ln(+t) Si ricordi il it notvol t 0 =. t 4 (+t) Si ricordi il it notvol b t+ (+t) t 0 = b. Quindi t t 0 = / t t 0 = /. t A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

12 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI (f) Si ha (g) Si ha (h) Si ha = / + / ( ) = / ( ) = / + / = / ( ). = (+ ) = + (+ ) = (+ ). = +ln ( +ln ) ( +ln ) = ( +ln ) ( +ln ) ( +ln ). Esrcizio 4. (a) L du drivat parziali sono (,) = 3 (,) = 3 quindi (,) = 6 (,) =. Quindi il diffrnzial è df(,) = 6(+)+( ) = 6d+d. (b) L du drivat parziali sono (,) = ln(+)+ + (,) = + quindi (,0) = (,0) =. Quindi il diffrnzial è df(,0) = + = d+ d. Esrcizio 5. (a) f(,) = 3 +. Il gradint di f è f = ( ) 3 +,3 +. Il gradint scondo è (b) f(, ) =. Il gradint di f è Il gradint scondo è f = ( ) ( f = f =, ). ( 3 0 ). A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

13 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 3 (c) f(,) = +. Il gradint di f è f = +( ) (+),(+). Il gradint scondo è ( (+) f = ) (+) (d) f(,) = /. Il gradint di f è Il gradint scondo è () f(,,z) = z. Il gradint di f è Il gradint scondo è f = / 4 f = /(, ). f = ( ) 0. (+) ( ) z,z,. f = 0 z z 0. 0 (f) f(,, 3 ) = 3. Il gradint di f è f = (,, ) Il gradint scondo è f = A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

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