CAPITOLO II ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA'

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1 CAPITOLO II LMNTI DI CALCOLO DLL PROBABILITA'. Spazo de capo ed evet Sa eeguto u epereto (e. l laco d u dado, dce pazo de capo o pazo capoaro S l'ee d tutt pobl et (rultat d quell'epereto. Nel cao del laco d u dado lo pazo de capo è S {,,3,4,5,6 }. Poao dare ua rappreetazoe grafca co u dagraa d Ve S dce eveto u ottoee dello pazo de capo. 3 4 epo l ottoee { 4,5} è u eveto. 5 6 U eveto dce eleetare e è u ottoee dello pazo de capo forato da u olo eleeto. Lo pazo de capo è qud l'ee degl evet eleetar. L'eveto certo cocde co S L'eveto poble è l ottoee vuoto Fra l'eveto certo e l'eveto poble c'è tutta ua vata gaa d evet che hao dvere pobltà d verfcar. La teora della probabltà è ua teora della ura che vuole apputo urare la pobltà che u eveto ha d verfcar. S pooo dare dvere defzo d probabltà a ecoda del coteto cu devoo applcare: oo cacua ua geeralzzazoe dell'altra el eo che la ucceva coprede la precedete coe cao partcolare. e oo:. La defzoe claca o d Laplace. La defzoe frequettca o tattca 3. La defzoe oggettva 4. La defzoe aoatca.. La copozoe degl evet S dce eveto oa o uoe o totale d due evet e l'eveto che verfca quado aleo uo de due verfca. ' l'uoe eo etco degl evet e dca co. : el cao del laco del dado e {, } ed {, 3, 4 } allora {,, 3, 4 } S dce eveto terezoe o copoto o prodotto d due evet e l'eveto che verfca quado verfcao etrab gl evet. ' l'terezoe eo etco degl evet e dca co. : el cao del laco del dado e {,, 3 } ed {, 3, 4 }. Allora {, 3 } Sa u eveto dce eveto cotraro e dca co o l'eveto che verfca quado o verfca. e o dcoo ache oppot o copleetar. Nell'eepo de dad e {,, 3 }, o { 4, 5, 6 }. No Due evet e dcoo copatbl e pooo verfcare etrab, coè S

2 Due evet e dcoo copatbl e o pooo verfcare etrab, qud l verfcar dell'uo eclude l verfcar dell'altro. Ne egue che 3. Defzoe claca d probabltà Sa dato uo pazo de capo forato da evet eleetar, a u eveto forato da evet eleetar, ell'pote che tutt gl evet eleetar dello pazo de capo ao equprobabl, defce p ( Tale probabltà gode delle eguet propretà:. 0 P (. 0 e è poble 3. e è certo N.B: tale defzoe ha evdeteete u vzo logco quato la defzoe cotee gà l cocetto che deve defre. Tuttava dre che gl evet eleetar dello pazo de capo devoo eere equprobabl va teo el eo che rtee d o avere eleet tal che faccao peare l cotraro. Ad eepo e appao che u dado è tato fatto a regola d'arte co aterale oogeeo co pgol egualete arrotodat ecc.. o abbao otv per rteere che ua facca abba pù probabltà d verfcar d altre. Ovvaete la codzoe d equprobabltà degl evet eleetar cottuce ua codzoe perché poa applcare la defzoe claca. 4. Teore ulla probabltà Teorea 4. : Teorea dell'eveto uoe d evet copatbl Sao e due evet copatbl allora. D: ao gl evet eleetar cottuet e gl evet eleetar cottuet, eedo e copatbl o hao eleet coue per cu è cottuto da eleet. Ne egue che.: a dato u azzo d 40 carte, a l'eveto " eca u ao", a l'eveto " eca u re". S vuole calcolare la probabltà dell'eveto "eca u ao o u re". edo gl evet copatbl tale probabltà 4 4 ottee Teorea 4. : Teorea dell'eveto uoe d evet copatbl Sao e due evet copatbl allora -. D: ao gl evet eleetar cottuet e gl evet eleetar cottuet, poché e oo copatbl c arao degl evet eleetar cou, ao r. Per cu l eveto r è forato da - r evet eleetar per cu r - N.B: l teorea 4. è u cao partcolare del teorea 4. quato el cao cu e ao copatbl allora 0.: a dato u azzo d 40 carte, a l'eveto "eca ua carta d pad" e l'eveto "eca u ao", l'eveto è "eca ua carta d pad o u ao". e oo copatbl quato può ucre ache

3 3 0 4 l'ao d pad. da cu deve toglere la probabltà che eca l'ao d pad perché altret arebbe cotata due volte. Per cu Teorea 4.3 : geeralzzazoe de teore 4. e 4. el cao d 3 evet Sao,, 3, 3 evet quala, dotra che: D: alla oa della probabltà de tre evet deve toglere la probabltà degl evet a due a due cou altret quet evet arebbero cotat due volte a deve aggugere la probabltà dell'eveto coue a tutt e tre gl evet perché tale eveto è tato cotato tre volte 3 a ache tolto tre volte, per cu aleo ua volta deve coparre. Nel cao partcolare cu,, 3 ao a due a due copatbl l teorea dveta: 3 3 Teorea 4.4: Probabltà dell'eveto cotraro ad u eveto o - P ( D: o S. Tuttava eedo e o copatbl arà o P ( o da cu o - P ( 5. Probabltà codzoata Def: La probabltà che u eveto verfch ell'pote che l'eveto a verfcato dce probabltà codzoata d rpetto a e crve P ( /. Def: e P ( / P ( / o allora due evet dcoo tocatcaete dpedet, l che vuol dre che la probabltà dell'uo o dpede dal fatto che l'altro a oppure o verfcato. I cao cotraro dce che u eveto è dpedete dall'altro. Il odello d evet dpedet è cottuto dalle etrazo ucceve da u'ura d ua palla co retroduzoe ell'ura d quella etratta precedeteete. Quado vece la palla etratta o vee reea ell'ura, due evet "etrazo ucceve" oo dpedet. Calcolo d P ( / Sa l uero degl eleet che cottucoo lo pazo de capo, l uero degl evet eleetar d e k l uero d quell d, r l uero degl evet eleetar d. S forato da eleet k r

4 4 r r Per la defzoe claca d probabltà P ( / k k. I cocluoe P ( /. Aalogaete P ( / Rulta che P ( o / - P ( /. k r r Ifatt o / - - P ( /. k k epo. S lacao due dad. Qual è la probabltà d avere coe oa 8 (eveto apedo che l rultato ha dato coe oa u uero par (eveto? Occorre coè calcolare P ( /. Sarà { (,6; (3,5; (4,4; (5,3; (6, }. Lo pazo de capo è queto cao cottuto dall'eveto che è forato da 8 evet eleetar che oo uer par. Qud / 8 5 epo S lacao tre oete. Sa l'eveto "o ece eua teta" ed l'eveto "ecoo eo d due tete". S vuole calcolare /. Lo pazo de capo è { (T,C,C; (C,T,C; (C,C,T; (C,C,C }, per cu eedo {(C,C,C }, /. 4 Teorea 5.: probabltà dell'eveto terezoe d due evet / / D: la forula deduce drettaete dalla defzoe d probabltà codzoata. I partcolare e e oo dpedet, allora / e /, qud epo: Sa data u'ura co 0 palle bache, 0 roe e 5 ere. Faccao due etrazo ucceve co retroduzoe. Calcolare la probabltà che verfch l'eveto che la palla a baca e la ecoda a roa. " la etratta a baca", " la etratta a roa". Gl evet oo dpedet. Rulta Tale probabltà può eere calcolata ache drettaete ulla bae della defzoe. Ifatt rulta che gl evet eleetar che cottucoo lo pazo de capo oo le dpozo co rpetzoe d 35 eleet d clae che oo 35, gl evet eleetar che cottucoo l'eveto oo 0 0, coè l uero d tutte le pobl coppe d cu la pra palla è baca e la ecoda è 0 0 roa. Ne rulta che 35 epo:

5 5 Co dat dell'eerczo precedete calcolare la tea probabltà facedo però l'pote che la palla etratta o vega rea ell'ura. I tal cao gl evet rultao dpedet. 0 0 Rulta pertato che / Ifatt rfacedo l calcolo ulla bae della defzoe rulta che lo pazo de capo è cottuto dal uero delle dpozo eza rpetzoe d 35 eleet d clae coè 35 34, etre l'eveto è forato da tutte le coppe d cu la è baca e la è roa che oo Ne egue che Teorea 5.: probabltà dell'eveto terezoe d pù evet aao l cao d tre evet. 3 / 3 / ( D: 3 ( 3 3 / ( / 3 / ( epo: Sa data u'ura co 70 palle d cu 38 bache, verd e 0 roe. Calcolare la probabltà che etraedo uccevaete 3 palle, eza rettere og volta la palla etratta ell'ura, le 3 palle ao tutte bache. Sa "la etratta a baca"; " la etratta a baca"; 3 " la 3 etratta a baca". Gl evet oo fra loro dpedet. S tratta d calcolare Applcado l teorea ha che Facedo l calcolo ecodo la defzoe lo pazo de capo è cottuto da 70 * 69 * 68 evet eleetar che oo le dpozo eza rpetzoe d 70 eleet d clae 3, etre l'eveto 38*37 *36 3 è cottuto da 38*37*36 evet eleetar. Qud 3 70*69 * Il teorea d Baye Suppoao d avere due ure U e U coteet rpettvaete 4 palle bache e 6 ere e 3 bache e 5 ere. S etrae a orte u ura; dall ura precelta etrae ua palla. Suppoao che a baca. Qual è la probabltà che ea provega dall ura U? Tale problea rolve co la forula d Baye. I geerale l problea poe e ter eguet: uppoao che u eveto poa eere deterato da caue,,.,. tal che j, j, coè le caue ao a due a due copatbl, ed oltre.... S che è l'eveto certo (cò è equvalete a dre che,,.,. cottucoo ua partzoe d S. Suppoao oltre che ao ote le e le / coè la probabltà che l'eveto verfch per la caua. Sappao oltre che è verfcato, voglao calcolare che a tata la caua a deterarlo, coè voglao deterare /. S dotra la forula / eguete: / k k / / Ifatt, per defzoe, / k Ma ( ( ( 3. ( allora P ( /, qud k k k

6 6 / k / k / k coe voleva dotrare. Per quato è tato detto la forula d Baye può eere crtta ache / Nel cao dell'eepo precedete dell'ura rulta: "etratta l'ura U " ; " è etratta l'ura U " ; 4 3 " la palla etratta a baca"; / ; / /. Occorre calcolare / / / / p( dce la probabltà a pror dell eveto, etre / dce la probabltà a poteror perché è calcolata apedo che è verfcato l eveto. 7. Applcazoe del Teorea del Baye a Tet dagotc U tet dagotco o creeg è u tet che vee applcato a oggett che o preetao acora alcua toatologa clca, al fe d prevere la alatta. Coloro che rultao potv al tet hao ua aggore probabltà d cotrarre la alatta e geere vegoo ottopot ad ulteror accertaet. Itroducao eguet bol: è l eveto che l oggetto è alato è l eveto che l oggetto è ao T è l eveto che l rultato del tet cu l oggetto è tato ottopoto è potvo T - è l eveto tet egatvo C oo vare certezze quado eegue u tet dagotco. S verfca u falo egatvo quado l tet è egatvo a l oggetto è alato. La probabltà d u falo egatvo è T - /. S verfca u falo potvo quado l tet dà u rultato potvo a l oggetto o è alato. La probabltà d u falo potvo è T /. S dce ebltà d u tet la probabltà d avere rultat potv quado l oggetto è realete alato, coè ebltà T /. Rulta T / - T - / S dce pecfctà d u tet la probabltà d avere rultat egatv quado l oggetto è ao, coè pecfctà T - /. Rulta T - / - T /. Nel cao de tet dagotc è partcolarete portate calcolare la probabltà che l dvduo a alato el cao cu l tet a potvo, coè /T. Tale probabltà dce valore predttvo d u tet potvo. Dal teorea d Baye rulta: /T T / T / T / La dce ache prevaleza della alatta e vee deterata edate dage tattca u ua certa popolazoe. Ovvaete -. T / è la ebltà del tet.

7 7 T / è la probabltà d avere u falo potvo. Aalogaete può calcolare l valore predttvo d u tet egatvo che è /T -. Dal teorea d Baye rulta: T / / T T / T / epo. Da u dage rulta che ua certa regoe hao 9,3 ca d tubercolo per abtat, oltre tutt oggett d uo tudo oo tat ottopot ad ua radografa al torace per evdezare l eteza d ua patologa faatora, e la ebltà del tet è rultata par a 0,7333 e la ua pecfctà par a 0,975. S chede d calcolare l valore predttvo d u tet potvo e quello d u tet egatvo. Sarà valore predttvo del tet potvo /T T / T / T / Da dat rulta: 0, , , Sebltà T / 0,7333 T / è l eveto cotraro della pecfctà coè - T - / - 0,975 0,085 Qud ha: (0,000093(0,73333 /T 0, 0039 (0,000093(0,73333 (0,999907(0,085 Ioltre l valore predttvo d u tet egatvo è / T T / T / T Rulta: T - / pecfctà 0,975 T - / - T / - 0,7333 0,667 (0,999907(0,975 Qud /T - 0,99997 (0,999907(0,975 (0,000093(0,667 La probabltà 0,0093% rappreeta la probabltà che u dvduo d quella regoe ha d eere affetto da tubercolo. Tale probabltà è defta probabltà a pror. Dopo aver fatto la radografa ed aver otteuto u rultato potvo lo teo oggetto ha ua probabltà d eere alato par al 0,39%. Tale probabltà dce probabltà a poteror, quato codera ua uova forazoe coè l rultato del tet. Oervazoe: arebbe aupcable che u tet dagotco foe altaete eble e altaete pecfco. I realtà però u le tet o ete. Talvolta è cotrett a prvlegare la ebltà o la pecfctà. U tet eble è preferble quado o dvduare la alatta ha coegueze percoloe, u tet pecfco è portate quado ad eere daoo è u rultato falo potvo. Ad eepo coe trueto dagotco per dvduare evetual rgett del ree utlzza l lvello d creata erca (copoto chco preete el ague llgra %. U creeto d creata è peo aocato ad ua ucceva uffceza reale. Nella pra coloa della tabella eguete ( M. Pagao, K. Gauvreau, Botattca, p. oo rportat var lvell d creata coe pobl dcator d rgetto ( el eo che valor uperor a quello celto dcao u percolo d rgetto e elle altre due la ebltà e la pecfctà d u tet che uae quell dcatore. Creata Sebltà Specfctà erca(g%, 0,939 0,3,3 0,939 0,03 /

8 8,4 0,909 0,8,5 0,88 0,380,6 0,758 0,46,7 0,77 0,535,8 0,636 0,649,9 0,636 0,7,0 0,545 0,766, 0,485 0,773, 0,485 0,803,3 0,394 0,8,4 0,394 0,843,5 0,364 0,870,6 0,333 0,89,7 0,333 0,894,8 0,333 0,896,9 0,303 0,909 Coe vede dalla tabella auetado la ebltà duce la pecfctà e vcevera. Il rcho relatvo Il cocetto d rcho relatvo poe quado dedera cofrotare le probabltà d alatta due dfferet tuazo o grupp. Il rcho relatvo RR è la probabltà che u oggetto apparteete ad u gruppo epoto a deterat fattor, vlupp la alatta rpetto alla probabltà che u oggetto apparteete ad u gruppo o epoto (gruppo cotrollo vlupp la tea alatta. Pù precaete è defto coe la probabltà d alatta el gruppo epoto dvo la probabltà d alatta el gruppo o epoto alatta / epoto RR alatta / oepoto epo: uo tudo ul cacro alla aella, ua doa è coderata coe epota e ha partorto l pro babo all età d 5 a o oltre. I u capoe d 4540 doe che hao partorto l pro babo pra de 5 a, 65 hao vluppato u cacro della aella. Delle 68 doe che hao partorto l pro babo all età d 5 a o oltre, a 3 è tato dagotcato u cacro alla aella. Se auao che uer oo abbataza grad da oddfare la defzoe frequetta d probabltà, l rcho relatvo d vluppare u cacro alla 3/68 aella è RR, 33 65/ 4540 U rcho relatvo d,33 vuol dre che le doe che hao partorto l pro babo all età d 5 a o oltre hao ua probabltà uperore del 33% d vluppare u cacro alla aella rpetto alle doe che hao partorto ad u età pù govae. I geerale u rcho relatvo d,0 dca che le probabltà d alatta del gruppo epoto e d quello o epoto oo ugual; pertato o ete u aocazoe fra epozoe e alatta. 8. Defzoe frequetta d probabltà Def. S dce frequeza aoluta f a l uero delle volte che u certo eveto verfca. : laca ua oeta 00 volte "teta" ece 30 volte. Rulta f a 30 Def. S dce frequeza relatva f r l rapporto fra l uero de ucce d ed l uero delle prove fatte. f r f a. Rulta ovvaete 0 f r

9 9 Aaloge e dffereze fra frequeza relatva e probabltà: Aaloge: oo etrab uer copre fra 0 e, valgoo 0 per evet pobl, per evet cert. Dffereze: la probabltà è u cocetto a pror, la frequeza relatva u cocetto a poteror che eceta coè d prove per eere defta. S poe l problea d vedere che relazoe ete fra frequeza relatva e probabltà ed partcolare che gfcato pratco ha, per eepo, dre che la probabltà che lacado ua oeta eca "teta" è. Legge eprca del cao Quado l uero delle prove è pccolo, la frequeza relatva d u eveto ha u carattere aleatoro e può cabare otevolete quado rpeta per la ecoda volta lo teo uero d prove. Per eepo 0 lac d ua oeta può captare che "teta" eca due volte (f r 0,, altr 0 lac "teta" può ucre vece 8 volte (f r 0,8. L'epereza dce che al crecere del uero delle prove fatte tutte elle tee codzo, la frequeza relatva pur varado, tede a tablzzar attoro ad u valore, coè ordaraete le fluttuazo olto grad oo epre pù rare, e tale valore attoro a cu le frequeze relatve tablzzerao corrpode al valore della probabltà dell'eveto. I cò cote la legge eprca del cao. Ache e propraete potreo crvere che l P, propraete perché o eclude che poao avere cotaet otevol dalla probabltà ache per valor alt d. Vao fatte alcue oervazo:. La legge o è dotrable a è puraete eprca. Il cao " o ha eora" per cu e lacado ua oeta vee "teta" olte volte d eguto, cò o c autorzza a peare che el laco uccevo a pù probable che eca "croce". Og laco è dpedete dagl altr gà effettuat. 3. La legge eprca del cao dà u gfcato pratco al cocetto d probabltà. La probabltà è la frequeza relatva co cu u certo eveto tede a preetar u u uero grade d prove. 4. La legge eprca del cao legtta la defzoe frequetta o tattca d probabltà Def: defce probabltà d u eveto eo tattco la frequeza relatva che eo aue u u grade uero d prove eegute tutte elle edee codzo. Tale defzoe applca que ca cu o è applcable la defzoe claca quato vee a acare la codzoe d equprobabltà degl evet eleetar u cu ea baa. Ad eepo e abbao delle buoe rago per rteere che u dado a truccato, o eedo per eepo cotruto co aterale oogeeo, o potreo rteere equprobabl l'ucta de e uer per cu o potreo aegare alla probabltà d ucta del uero l valore 6. L'alteratva è quella d rpetere l laco del dado u uero elevato d volte, calcolare la frequeza relatva dell'ucta d ed auere per defzoe tale valore coe probabltà dell'eveto. Tuttava ache la defzoe frequetta o può eere applcata epre perché è ecearo che l'eveto d cu vuole defre la probabltà a rpetble elle tee codzo. Per cu o potre calcolare bae a tale defzoe la probabltà che ua partta d calco vca ua quadra puttoto che l'altra. Per calcolare tale probabltà può rcorrere alla defzoe oggettva 9. Defzoe oggettva d probabltà La probabltà d u eveto eo oggettvo, coè ecodo l'opoe d u certo dvduo, è l prezzo P che è dpoto a pagare (rcuotere per rcevere (pagare ua oa utara al verfcar dell'eveto. Per cu e l'dvduo è dpoto a pagare (rcuotere ua oa π per rcuotere (pagare la oa S al verfcar dell'eveto e ulla el cao l'eveto o verfch, egl attrbuce all'eveto ua probabltà P S π. f a

10 0 Tale defzoe è oggettva a o arbtrara perché poe che l'dvduo a "coerete" coè a dpoto a fare le ue coee a coe gocatore a coe baco. Tale probabltà è egualete coprea fra 0 e perché è "coerete" pagare lra per rcuotere ua lra el cao del verfcar d u eveto certo, coì coe è "coerete" pagare 0 lre per rcevere ua lra el cao d u eveto poble. epo: e uo coetttore d cavall attrbuce la probabltà 0,3 alla vttora d u certo cavallo vuol dre che è dpoto a pagare (rcevere 0, per rcuotere (pagare 000 el cao l cavallo vca, ulla e l cavallo perde. 0. Defzoe aoatca d probabltà Sa dato u ee S d eleet detto pazo de capo, ed u uo ottoee detto eveto, per probabltà dell'eveto tede l uero p( aocato ad defto da eguet ao:. 0. S per og ere fta o fta uerable d evet dgut,,,..,.. Partedo da tale defzoe ottegoo tutt teore che oo dotrat el cao della defzoe claca. Ad eepo: Teorea o - P ( D: o S per l aoa. Tuttava eedo e o copatbl arà per l aoa 3 o P ( o da cu o - P ( Teorea 0 D: S e oo dgut per cu S S S, da cu -S 0 Teorea 3 Per og eveto rulta 0 D: 0 per l aoa, occorre dotrare che. o. Se foe > allora o arebbe <0 che è poble vto l aoa. Allora deve eere, coe voleva dotrare. Teorea 4 Se e oo due evet d S allora: - D: Rulta ( o ( o ( Qud per l aoa 3: o o ( facle verfcare che: o ( e che o (3 Rcavado o dalla ( e o dalla (3 e ottuedole ella ( ottee la te Naturalete e e oo dgut, per cu per l teorea 0 allora Oervazoe: può raere cocertat del fatto che oo tate date della probabltà d u eveto dvere defzo, tuttava c'è da dre che ee oo ogua ua geeralzzazoe dell'altra el eo che og defzoe cotee la precedete coe cao partcolare. Ioltre ootate le dvere defzo cotuao a valere gl te teore e le tee propretà. Motrao coe eepo che la defzoe claca può otteere coe cao partcolare d quella frequetta.

11 Sa dato u epereto copoto da evet eleetar { e, e, e 3, e }. Ad eepo lacado u dado truccato lo pazo de capo è {,, 3, 4, 5, 6 }. Faccao prove ( lac del dado gol evet eleetar preeto,, 3,. volte ( volte l uero, volte l uero ecc... Sarà 3. ;.... Poché l l (... l... l arà e e e 3. e Suppoao che gl evet eleetar e, e, e 3, e ao equprobabl arà e e e ecodo la defzoe claca. Ioltre a l'eveto { e, e, e 3, e k }, a l uero delle prove fatte, N l uero delle volte cu è verfcato e,, 3, 4. k l uero delle volte cu oo verfcat e, e, e 3, e k. Sarà 3... k N. N I bae alla defzoe frequetta... k k l l( l... l e e e 3. e k. Nel cao delle equprobabltà arà qud k coe ella defzoe claca. A queto puto rtrovao tutt teore ulla probabltà degl evet uoe ed terezoe. ercz ul calcolo delle probabltà. Suppoao che la probabltà d avere flazoe I è 0,3, che la probabltà d avere receoe R è 0, e che la probabltà d avere flazoe e receoe è 0,06. Qual è la probabltà d avere flazoe o receoe? [ R. 0,44]. Abbao u azzo d 5 carte, 3 cuor, 3 quadr, 3 pcche, 3 for. Qual è la probabltà d etrarre ua carta d cuor o d quadr o u ao? [ R. 7/3] 3. Qual è la probabltà d avere due 6 lac uccev d u dado? [R. /36] 4. Qual è la probabltà d avere u 6 u cacu dado u uco laco d due dad? [ R. /36] 5. U ura cotee 0 palle : 5 roe, 3 bache, galle. Calcola la probabltà d avere due palle bache due etrazo ucceve co rebuolaeto. [ R. 9/00] 6. Calcola la probabltà d avere 3 fee ua fagla co 3 fgl [R. /8] 7. S lacao coteporaeaete due dad, qual è la probabltà d avere 5 coe oa de uer uct? [ R. /9] 8. S lacao coteporaeaete due dad, qual è la probabltà d avere coe oa de uer uct u uero 4? [ R. /6] 9. U ura cotee 0 palle: 5 roe, 3 bache, galle. Faccao due etrazo ucceve eza retroduzoe, calcola la probabltà che la etratta a roa apedo che la etratta è tata roa. [R. 4/9] 0. Dall ura precedete faccao 3 etrazo ucceve eza retroduzoe, calcola la probabltà che la 3 etratta a roa apedo che la etrata è tata roa e la o roa. [ R. ½]. Dall ura precedete faccao due etrazo ucceve, calcola la probabltà d avere due roe a el cao d etrazo ucceve co retroduzoe che el cao d etrazo eza retroduzoe. [ R. ¼, /9]. Dall ura precedete faccao 3 etrazo ucceve, calcola la probabltà d avere 3 palle roe a el cao d etrazoe co retroduzoe che eza. [ R. /8, /] 3. Alberto rcorda le cfre del uero d telefoo, alvo l ulta, d ua ragazza che ha coocuto dcoteca. Dpoedo d due getto decde d telefoarle cegledo a cao l ulta cfra. Calcola la probabltà che dov l uero eatto teedo preete che può fare al ao due telefoate. [ R. 0,]

12 4. L epereza ha otrato che u og pezz prodott uo tableto durate l turo duro 00 oo dfetto e che u og pezz prodott durate l turo otturo 500 oo dfetto. Nell arco delle 4 ore 000 pezz oo prodott durate l turo duro e 600 durate l turo otturo. Calcola la probabltà che: a u eleeto preo a cao fra 600 eleet prodott elle 4 ore a tato prodotto durate l turo duro e a dfettoo b a tato prodotto durate l turo otturo e a dfettoo c a tato prodotto durate l turo otturo e o a dfettoo d a dfettoo dpedeteete dal turo cu a tato prodotto e u pezzo dfettoo preo a cao fra 600 pezz prodott durate le 4 ore provega dal turo duro. [ R. 0,005, 0,0087, 0,373, 0,003, 0,4] 6.Sappao che la probabltà che u certo goro pova è 0,; la probabltà che abba u cdete autoobltco u goro quala è 0,005; la probabltà che abba u cdete autoobltco u goro d pogga è 0,0. Calcola: a La probabltà che u certo goro pova e abba u cdete autoobltco b La probabltà che pova apedo che è avuto u cdete autoobltco [ R. 0,00; 0,4] 7. Due ure cotegoo rpettvaete 6 palle roe, 6 ere, 8 galle la pra e 3 roe, 8 ere e 9 galle la ecoda. S etraggoo coteporaeaete due palle dalla pra ed ua dalla ecoda ura. Calcola la probabltà che: a Le tre palle ao roe b Le tre palle ao d colore dvero [ R. 69/960; 44/65] 8. Due ure cotraegate dalle lettere A e B oo coì copote: l ura A cotee 60 palle roe e 40 verd; l ura B cotee 0 palle roe e 30 verd. S lacao due dad: e ecoo due uer ugual etrae ua palla da A; cao cotraro etrae ua palla da B. S uppoga che, effettuata l etrazoe della palla, queta rult eere roa. Calcola la probabltà che la palla roa provega dall ura A. [ R. 3/3] 9. Tre acche A,B,C producoo rpettvaete l 0%, l 35% ed l 45% de bullo prodott da ua certa fabbrca. Sul totale de bullo prodott dalle tre acche rultao dfetto l 5%, l 4% ed l % rpettvaete. Vee celto u bulloe a cao e vee trovato dfettoo. Qual è la probabltà che eo provega dalla accha B? [ R. 0,4] 0. I ua catoletta oo coteute 8 caraelle: alcue oo avvolte carta roa ed altre carta baca; alcue oo al ele e altre al loe. Precaete le caraelle oo dtrbute coe egue: carta roa e apore ele: carta roa e apore loe: carta baca e apore ele: 3 carta baca e apore loe: S etrae a cao ua caraella. Calcola la probabltà che la caraella etratta a al ele eedo avvolta carta roa. [ R. /3].I dat rportat d eguto dervao da uo tudo che eaa l uo della vetrcolografa radoucldca quale tet dagotco per l dvduazoe della patologa coroarca. Tet Malatta Totale o Potvo Negatvo Totale Detera: a la ebltà e la pecfctà del tet b per ua popolazoe la cu probabltà d preetare patologe coroarche è 0,0 calcola la probabltà che u oggetto preet la alatta preeza d u rultato potvo al tet della vetrcolografa radoucldca c Calcola l valore predttvo d u tet egatvo

13 3. Uo tudo ha afferato che la ebltà della aografa quale tet d creeg per l dvduazoe del cacro della aella è 0,85; la ua pecfctà è 0,80. a Qual è la probabltà d u falo egatvo? b Qual è la probabltà d u falo potvo? c I ua popolazoe cu la probabltà che ua doa abba u cacro della aella è 0,005, qual è la probabltà che ua doa abba u cacro preeza d ua aografa potva? 3.Per dver etod d cotraccezoe oo d eguto rportate le probabltà che ua doa abba ua gravdaza o prevta durate l pro ao d utlzzo Metodo d cotraccezoe Probabltà d gravdaza Neuo 0,43 Dafraa 0,49 Proflattco 0,06 Sprale 0,07 Pllola 0,037 Per cacu etodo, calcola l rcho relatvo d gravdaza per doe che uao queto etodo rpetto alle doe che o utlzzao alcu tpo d precauzoe. Coe vara l rcho fuzoe del etodo d cotraccezoe? Sul lbro d teto Murray R. Spegel, Stattca, Mc Graw-ll eercz ul calcolo cobatoro e delle probabltà da p. 8 a p. 49