Politecnico di Milano Fondamenti di Fisica Sperimentale a.a Facoltà di Ingegneria Industriale - Ind. Aero-Energ-Mecc

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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Fisica Speimentale a.a Facoltà di Ingegneia Industiale - Ind. Aeo-Eneg-Mecc II pova in itinee - 5/7/1 Giustificae le isposte e scivee in modo chiao e leggibile. Sostituie i valoi numeici solo alla fine, dopo ave icavato le espessioni letteali. Scivee in stampatello nome, cognome, maticola e fimae ogni foglio. 1. Si considei una distibuzione di caica sfeica di aggio R 1 = 1 cm con densità di caica volumetica costante ρ = C/m. Attono a tale R R R 1 distibuzione di caica viene posto un guscio sfeico conduttoe, inizialmente ρ scaico, di aggio inteno R = cm ed esteno R = 5 cm. Si calcoli: a) la caica totale Q del sistema (soluzione numeica); b) il campo elettico E in tutto lo spazio, facendone un gafico (solo soluzione analitica); c) il potenziale elettostatico V in tutto lo spazio, facendone un gafico (solo soluzione analitica).. Un condensatoe piano, costituito da due amatue piane di aea S poste a distanza D tale che D << S, viene connesso ad un geneatoe. Una volta podotta una d.d.p. V ta le amatue, il geneatoe viene disconnesso e una lasta conduttice a facce piane e paallele, di spessoe d < D, viene inseita intenamente al condensatoe. Si calcolino: a) la densità supeficiale di caiche indotte sulla lasta; b) il campo elettico nel condensatoe; c) il lavoo esteno compiuto pe inseie la lasta. S d D. Ento un conduttoe cilindico di aggio R = 5 cm è paticato un foo cilindico paallelo all'asse di aggio = 1 cm; l'asse del foo dista dall'asse del conduttoe d = cm. Se il conduttoe è pecoso da una densità di coente J = 4 A/mm unifome su tutta la sezione, calcolae l'espessione del campo magnetico a) lungo la congiungente i due centi (solo soluzione analitica); b) nel cento del foo (soluzione numeica). (Dati: Pemeabilità magnetica del vuoto μ = 4π 1-7 H/m) R y d x 4. a) Si descivano le popietà del campo magnetico B. b) Si veifichi la legge di Ampèe nei casi seguenti: b1) un filo infinito ettilineo pecoso da coente è concatenato a un pecoso di cicuitazione Γ 1 (pecoso a scelta dallo studente). b) un filo infinito ettilineo pecoso da coente non è concatenato a un pecoso di cicuitazione Γ (pecoso a scelta dallo studente).

2 ESERCIZIO 1 a) La caicadella sfea intena è Q 1 = (4/) π R 1 ρ = C. Tutte le linee di campo che patono dalla caica vengono intecettate dal conduttoe esteno e si ealizza una induzione totale. Quindi sulla supeficie intena del conduttoe si accumula una caica Q = - Q 1 e, poiché il conduttoe è globalmente neuto, la caica Q = - Q = Q 1 lasciata libea si accumula sulla supeficie estena in modo da endee nullo il campo elettico all inteno del conduttoe. La caica totale isulta dunque Q = Q 1 + Q + Q = Q 1 Q e Q ispecchia la simmetia sfeica del poblema: sono distibuite unifomemente Il campo elettico E è adiale e uscente ispetto al cento della sfea di aggio R 1 in tutto lo spazio a causa della simmetia sfeica del poblema. Utilizzando la legge di Gauss si tova: E Q E R Pe R 1 : 4 1 Pe R 1 < < R : E 4 Alla distanza = R il campo E è singolae: è pesente una discontinuità finita ΔE = ρ /ε = Q / (4 π )< dovuta alla distibuzione supeficiale di caica. R 1 R R Pe R < < R : E = Alla distanza = R il campo E è singolae: è pesente una discontinuità finita ΔE = ρ /ε dovuta alla distibuzione supeficiale di caica. Pe > R : E 4 c) Il potenziale elettostatico V ha supefici equipotenziali sfeiche concentiche alla caica a causa della simmetia sfeica del poblema. Utilizzando la definizione di potenziale V V E d dove Γ è un pecoso di integazione che pate dal punto di ifeimento O e aiva al punto in cui si vuole calcolae il potenziale V e scegliendo V = in un punto O a distanza infinita si tova: E R 1 R R Pe > R : Pe R < < R : Pe R 1 < < R : Pe R 1 : V V 4 V = costante 4 R Q V 4 R R Q Q R R R1 R1 R1 4 R R R1 R 1

3 ESERCIZIO Il condensatoe senza lasta sottoposto all azione del geneatoe si caica e poduce al suo inteno un campo elettico E. Poiché D << S possiamo tascuae la dispesione delle linee di campo ai bodi del condensatoe e consideae il campo E unifome, pependicolae ad entambe le amatue e oientato dall amatua caica positivamente veso quella caica negativamente. Dalla elazione ta il potenziale V ed E isulta: E = V / D. a) Inseendo la lasta, si ha induzione di una densità di caica sulle sue supefici (di segno opposto) tale da annullae il campo al suo inteno. Poiché il condensatoe è disconnesso, la caica sulle sue amatue imane invaiata e così anche il campo nello spazio non occupato dalla lasta, mente vaia la diffeenza di potenziale in conseguenza dell annullamento del campo all inteno della lasta. Il campo coisponde ad una densità supeficiale di caica sulle amatue e sulla lasta (come si dimosta tamite la legge di Gauss) in modulo pai a: σ = ε E = ε V / D Il segno della densità supeficiale di caica isulta: positivo pe amatua a potenziale supeioe, negativo pe la supeficie della lasta vicina all amatua a potenziale supeioe, positivo pe la supeficie della lasta vicina all amatua a potenziale infeioe, negativo l amatua a potenziale infeioe. b) Il campo elettico è nullo all inteno della lasta, unifome e uguale a quello peesistente all inseimento della lasta in ogni alto punto ta le amatue del condensatoe. c) Il lavoo esteno L est compiuto dall opeatoe che ha intodotto la lasta è L est = - L elettostatico. Il lavoo del campo elettostatico L elettostatico è pai all opposto della vaiazione dell enegia elettostatica ΔU del condensatoe, ovveo all opposto della vaiazione di enegia elettostatica associata al campo elettico E ceato dal condensatoe. Seguiamo quest ultima via: L est = - L elettostatico = ΔU = - ½ ε E S d < dove S d è il volume della lasta e il lavoo esteno è negativo poiché la foza elettostatica è attattiva.

4 ESERCIZIO La deteminazione del campo magnetico geneato dal conduttoe non può appaentemente essee fatta sfuttando la legge di Ampèe in foma integata vista a lezione, poiché in poblema posto non ha elevata simmetia. Tuttavia la sovapponibilità degli effetti pemette di scopoe il campo totale ceato nella somma di due campi geneati da conduttoi cilindici pecosi ciascuno da densità di coenti unifomi, di cui è agevole deteminae il campo tamite la legge di Ampèe). I due campi da sommae consideae sono: 1) B 1 geneato da un cilindo con cento in O, oigine degli assi, e aggio R pecoso da una densità di coente J nella diezione e nel veso dell asse z di una tena destosa xyz (dove x e y sono gli assi in figua) e ) B geneato da un cilindo con cento in (d,,) e aggio pecoso da una densità di coente J = -J nella diezione dell asse z, ma in veso opposto. Infatti la coente totale che scoe attaveso i punti inteni al foo isulta: J + J = e quindi il campo di coente totale dovuto alla sovapposizione dei due conduttoi è esattamente quello ichiesto nelle ipotesi, e così anche il campo totale geneato B = B 1 + B. a) Pe x d : Applichiamo la legge di Ampèe ad un pecoso cicolae Γ 1 con cento in O e aggio x. Il campo geneato dal conduttoe 1 è tangente, oientato in veso antioaio ispetto ad un ossevatoe che guada la figua e unifome in modulo. La sua cicuitazione isulta π x B 1 La coente concatenata al isulta pecoso Γ 1 isulta π x J e la legge di Ampèe impone dunque che: π x B 1 = μ (π x J) Da cui: B 1 = ½ μ x J Analogamente B si ottiene utilizzando un pecoso cicolae Γ con cento in (d, ) e aggio (d x). La coente concatenata al pecoso Γ sul conduttoe (vituale) è π J. Si tova: B = ½ μ J / (d x) Il campo totale isulta: B = B 1 + B = ½ μ J (x + / (d x)) Pe d x d: In modo analogo al punto a) si tova: B 1 = ½ μ x J Analogamente, utilizzando un pecoso cicolae Γ con cento in (d, ) e aggio (d x), la coente concatenata isulta π (d - x) J. Si tova: B = - ½ μ (d x) J Il campo totale isulta costante: B = B 1 + B = ½ μ J (x + (d x)) = ½ μ J d L esecizio non ichiede i valoi pe x d, che vengono ipotati pe completezza. Pe d x d + : Il campo totale isulta costante: B = B 1 + B = ½ μ J (x - (x d)) = ½ μ J d Pe d + x R: B = B 1 + B = ½ μ J (x - / (x d)) Pe x R: B = B 1 + B = ½ μ J (R / x - / (x d)) 4

5 b) Sostituendo i valoi numeici si tova: B(d, ) = ½ μ J d = T ESERCIZIO 4 a) Le popietà fondamentali del campo magnetostatico sono inteamente descitte 1) dall equazione sul flusso attaveso una supeficie chiusa S (equivalente alla legge di Gauss del campo elettico) e ) dalla legge di Ampèe che ne descive la cicuitazione su un pecoso chiuso Γ: a.1) Φ S (B) = il che equivale esattamente a die che le linee di campo di B sono chiuse ovveo a die che il campo magnetostatico è solenoidale a.) Cicuitazione Γ (B) = μ I concatenata Le due equazioni vanno commentate secondo quanto pesente in ogni testo di elettomagnetismo (a cui si imanda pe i dettagli), limitatamente alle pati in pogamma e viste a lezione. b) La legge di Biöt-Savat ci fonisce il valoe del campo in ogni punto dello spazio: B è oientato tangenzialmente alla ciconfeenza con cento sul filo, passante pe il punto in cui si vuole deteminae il campo e giacente in un piano pependicolae al filo. Il suo veso è antioaio se la ciconfeenza è ossevata da un punto a valle dell attavesamento da pate della coente I del piano in cui giace (egola della mano desta). Il suo modulo è B = μ I / ( π ) dove è il aggio della ciconfeenza e la distanza dal filo del punto in cui si vuole misuae B. Pe veificae la legge di Ampèe è sufficiente calcolae la cicuitazione secondo la definizione e veificae che soddisfa l equazione a.). b.1) Coente concatenata: La scelta più semplice consiste in pecoso di cicuitazione Γ 1 concentico al filo infinito. la cicuitazione isulta: I Γ 1 Cicuitazione Γ1 (B) = π B = π μ I / ( π ) = μ I dove I è la coente che scoe nel filo. L eq. a.) è quindi veificata. b.) Coente non concatenata: La scelta più efficace consiste nel pecoso di cicuitazione Γ mostato in figua a lato, composto da segmenti di ette adiali e di ciconfeenze di cento sul filo. In tale caso alla cicuitazione contibuiscono solo i tatti di ciconfeenza, lungo i quali B è tangente, mente non contibuiscono i segmenti adiali, lungo i quali B è pependicolae. Risulta: Cicuitazione Γ (B) = θ (B B) = I θ Γ dove θ è l angolo compeso ta i segmenti adiali. Poiché il contibuto alla cicuitazione lungo i due achi di ciconfeenza è uguale in modulo e opposto in segno, la cicuitazione isulta nulla. Si è veificato quindi in questo caso paticolae che vale la legge di Ampèe e che la cicuitazione del campo magnetostatico non dipende dalla coente non concatenata. 5