Fisica Generale VI Scheda n. 1 esercizi di riepilogo dei contenuti di base necessari. 1.) Dimostrare le seguenti identità vettoriali:

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1 Fisica Gnral VI Schda n. 1 srcizi di ripilogo di contnuti di bas ncssari 1.) Dimostrar l sgunti idntità vttoriali:. A (B C) = B (A C) C (A B) (A B) = ( A) B ( B) A ( A) = ( A) 2 A. suggrimnto: è important imparar ad usar il simbolo di Lvi-Civita pr l prmutazioni (tnsor totalmnt antisimmtrico: ɛ 123 = ɛ 312 = ɛ 231 = +1, cioè pari a +1 pr prmutazioni pari dlla disposizion principal 123. Pr prmutazioni dispari ɛ 132 = ɛ 321 = ɛ 213 = 1. Inoltr ɛ ijk = 0 s du o più indici sono riptuti com ɛ 112 = ɛ 122 = tc.. = 0). Così la componnt i-ma dl prodotto vttorial (A B) i = j,k ɛ ijk A j B k = ɛ ijk A j B k, dov la somma su indici riptuti è sottintsa. (Esmpio: (A B) 1 = j,k ɛ 1jk A j B k = ɛ 123 A 2 B 3 + ɛ 132 A 3 B 2 = A 2 B 3 A 3 B 2, com dv. Evidntmnt nlla somma non si sono considrati tutti i trmini con indici riptuti (ɛ 111, ɛ 112, tc..., prché nulli.) 2.) Du gocci sfrich di acua si scontrano si fondono in una singola goccia sfrica. S l gocci avvano raggi R 1 d R 2 portavano carich 1, 2, calcolar campo lttrico potnzial lttrico sulla suprfici dlla goccia composta. 3.) Una carica puntiform è insrita in una cavità all intrno di un conduttor isolato scarico lttricamnt. a) dtrminar ualitativamnt il campo lttrico nlla cavità, nl conduttor fuori dl conduttor. ual la carica total sulla suprfici dlla cavità all strno dlla suprfici dl conduttor? b) Com cambia la situazion s il conduttor è collgato a trra (potnzial lttrico costant ch uindi può ssr assunto nullo)? c) Discutr in dttaglio il caso di un conduttor formato da un guscio sfrico di raggio intrno raggio strno R xt ; la carica è posta la cntro dlla cavità uindi al cntro dl conduttor. Discutr anch l andamnto dl potnzial dl campo lttrico ni du casi a) b) prcdnti (si supponga di volr porr il potnzial nullo a grandi distanz dal conduttor (r ).

2 4.) Una carica è uniformmnt distribuita sulla suprfici di una sfra di raggio R. Fuori la sfra è prsnt una dnsità di carica ϱ(r) = ϱ(r) tal ch l ampizza dl campo lttrico risulta costant. Dtrminar ϱ(r). 5.) Du sfr carich uniformmnt (carica total ciscuna /2 raggio R/2) sono collocat ntro una sfra di raggio R anch ssa uniformmnt carica di carica total. Dtrminar il l andamnto dl campo lttrico pr distanz molto grandi risptto al raggio R.

3 Fisica Gnral VI Schda n. 1 srcizi di ripilogo di contnuti di bas ncssari Tsto Soluzioni 1.) Dimostrar l sgunti idntità vttoriali:. A (B C) = B (A C) C (A B) (1) (A B) = ( A) B ( B) A (2) ( A) = ( A) 2 A. (3) suggrimnto: è important imparar ad usar il simbolo di Lvi-Civita pr l prmutazioni (tnsor totalmnt antisimmtrico: ɛ 123 = ɛ 312 = ɛ 231 = +1, cioè pari a +1 pr prmutazioni pari dlla disposizion principal 123. Pr prmutazioni dispari ɛ 132 = ɛ 321 = ɛ 213 = 1. Inoltr ɛ ijk = 0 s du o più indici sono riptuti com ɛ 112 = ɛ 122 = tc.. = 0). Così la componnt i-ma dl prodotto vttorial (A B) i = j,k ɛ ijk A j B k = ɛ ijk A j B k, dov la somma su indici riptuti è sottintsa. (Esmpio: (A B) 1 = j,k ɛ 1jk A j B k = ɛ 123 A 2 B 3 + ɛ 132 A 3 B 2 = A 2 B 3 A 3 B 2, com dv. Evidntmnt nlla somma non si sono considrati tutti i trmini con indici riptuti (ɛ 111, ɛ 112, tc..., prché nulli.) Utilizzando il tnsor ɛ ijk si ha: pr l uguaglianza (1) (A (B C)) i = ɛ ijk A j (B C) k = ɛ ijk ɛ klm A j B l C m = L uguaglianza (2): = ɛ kij ɛ klm A j B l C m = (δ il δ jm δ im δ jl ) A j B l C m = = B i A m C m C i A l B l = B i (A C) C i (A B). (A B) = i (A B) i = i ɛ ijk A j B k = ɛ ijk ( i A j )B k + ɛ ijk A j ( i B k ) = ɛ kij B k ( i A j ) ɛ jik A j ( i B k ) = B k (ɛ kij i A j ) A j (ɛ jik i B k ) = = B ( A) A ( B) = ( A) B ( B) A La succssiva uguaglianza (3): ( A) = ( A) 2 A. è una particolar applicazion dll idntità (1). L attnzion da porr è rlativa alla non commutatività dll oprator dl campo vttorial A. Si lascia al lttor di compltar la dimostraion.

4 2.) Du gocci sfrich di acua si scontrano si fondono in una singola goccia sfrica. S l gocci avvano raggi R 1 d R 2 portavano carich 1, 2, calcolar campo lttrico potnzial lttrico sulla suprfici dlla goccia composta. La goccia d acua risultant dalla fusion dll du dv avr un volum pari alla somma di volumi prcdnti (inmprssibilità dll acua), uindi: ovvro 4 3 πr3 = 4 3 πr πr3 2 R = ( R R 3 2) 1/3. Inoltr la consrvazion dlla carica implica = Il campo lttrico sulla suprfici è dato da (lgg di Gauss): E(R) = κ R ˆr = κ ˆr, (R1 3 + R2) 3 2/3 d è radial. (κ = 1 4πɛ 0 nl sistma di unità di misura MKSA, κ = 1 nl sistma CGS di Gauss). Il potnzial lttrico può ssr scritto: φ(r) = κ R = κ (R1 3 + R2). 3 1/3 3.) Una carica puntiform è insrita in una cavità all intrno di un conduttor isolato scarico lttricamnt. a) dtrminar ualitativamnt il campo lttrico nlla cavità, nl conduttor fuori dl conduttor. ual la carica total sulla suprfici dlla cavità all strno dlla suprfici dl conduttor?

5 b) Com cambia la situazion s il conduttor è collgato a trra (potnzial lttrico costant ch uindi può ssr assunto nullo)? c) Discutr in dttaglio il caso di un conduttor formato da un guscio sfrico di raggio intrno raggio strno R xt ; la carica è posta la cntro dlla cavità uindi al cntro dl conduttor. Discutr anch l andamnto dl potnzial dl campo lttrico ni du casi a) b) prcdnti (si supponga di volr porr il potnzial nullo a grandi distanz dal conduttor (r ). a) Il conduttor isolato inizialmnt scarico rsta scarico globalmnt. L introduzion dlla carica puntiform nlla cavità produrrà un campo lttrico radial nll immdiat vicinanz dlla carica, com s dovuto alla sola carica puntiform. Allontanandosi dalla carica l lin di forza dviranno dall andamnto radial dipndranno dalla gomtria dlla cavità. L stss lin di forza dovranno ssr prpndicolari (infatti) alla suprfici intrna dlla cavità nll su immdiat vicinanz. La carica total indotta sulla suprfici intrna dovrà ssr pari alla carica puntiform indotta di sgno opposto. Infatti il campo lttrico all intrno dl conduttor dv ssr nullo d una ualunu suprfici di Gauss chiusa contnnt la cavità tutta immrsa nl conduttor sarà attravrsata da un flusso nullo di campo lttrico uindi la sua carica intrna ntta dovrà ssr nulla. La carica indotta sulla suprfici intrna dlla cavità sarà compnsata da una carica ugual d opposta distribuita sulla suprfici strna dl conduttor dato ch il conduttor dovrà ssr a carica total nulla visto ch è isolato. Inoltr una suprfici di Gauss chiusa strna la conduttor ch lo contnga tutto al suo intrno... b) La situazion cambia s il conduttor è posto a trra. Il suo potnzial dv risultar costant la sua carica total non rsta nulla potndo il collgamnto trasportar carich sul conduttor (o dal conduttor). In ogni caso il campo lttrico all intrno dl conduttor dv risultar nullo. L andamnto dl campo lttrico all intrno dlla cavità dntro il conduttor risulta idntico al

6 caso prcdnt (ssndo dtrminato dall proprità dl conduttor), il potnzial rsta costant pr continuità dntro il conduttor (d è nullo) tal dv rstar (smpr pr continuità) all strno dl conduttor. Allora la carica indotta sulla suprfici strna dl conduttor dv ssr nulla mntr ulla intrna (in total pari a pr l ragioni spost al punto a)) risulta ssr trasfrita pr mzzo dl collgamnto a trra. In total ora il conduttor ha assunto una carica mntr ra inizialmnt scarico. c) Gli argomnti ualitativi sposti ni punti a) b) possono ssr rsi uantitativi in modo smplic nl caso di una gomtria sfrica. Riprcorriamo dunu in modo uantitativo i punti a) b) nl caso di un guscio conduttor sfrico. c)-a) guscio conduttor sfrico isolato Campo lttrico potnzial nll divrs zon r < ; φ(r) = κ r + A ; E(r) = κ r ˆr 2 < r < R xt ; φ(r) = κ + A ; E(r) = 0 r > R xt ; φ(r) = κ r ; E(r) = κ r ˆr. 2 Il potnzial all strno (r > R xt ) ha la forma assgnata a causa dll condizioni al contorno post pr r inf ty, uindi la costant A è dtrminata dalla condizion di continuità tra potnzial intrno d strno a r = R xt, ovvro In conclusion: + A = A = R xt R xt r < ; φ(r) = κ [ r + R xt ; < r < R xt ; φ(r) = κ R xt ; E(r) = 0 r > R xt ; φ(r) = κ r ; ] E(r) = κ r ˆr. 2 ; E(r) = κ r 2 ˆr

7 c)-b) guscio conduttor sfrico posto a trra r < ; φ(r) = κ r + A ; E(r) = κ r ˆr 2 < r < R xt ; φ(r) = 0 ; E(r) = 0 r > R xt ; φ(r) = 0 ; E(r) = 0. Il potnzial all intrno dl conduttor dv ssr nullo a causa dll condizioni al contorno post al conduttor, uindi pr la costant A è dtrminata dalla condizion di continuità dl potnzial a r =, ovvro + A = 0 A = ; In conclusion: [ r < ; φ(r) = κ r ] ; E(r) = κ r ˆr 2 < r < R xt ; φ(r) = 0 ; E(r) = 0 r > R xt ; φ(r) = 0 ; E(r) = 0. 4.) Una carica è uniformmnt distribuita sulla suprfici di una sfra di raggio R. Fuori la sfra è prsnt una dnsità di carica ϱ(r) = ϱ(r) tal ch l ampizza dl campo lttrico risulta costant. Dtrminar ϱ(r). Il campo lttrico è radial pr l condizioni sulla distribuzion di carica risulta ssr (in un gnrico punto r > R) E(r) = κ r ˆr + κ (r) 2 r ˆr, 2 dov il primo trmin rapprsnta il campo lttrico gnrato dalla carica uniformmnt distribuita sulla suprfici di raggio R, il scondo ullo gnrato dalla distribuzion di carica ϱ(r), ovvro (r) = r R dr 4πr 2 ϱ(r ).

8 L condizioni dl problma impongono cioè oppur κ r + κ 1 2 r 2 r R E(r) = κ costant ˆr. (4) r Drivando risptto ad r si ottin R dr 4πr 2 ϱ(r ) = κ costant, dr 4πr 2 ϱ(r ) = ( costant r 2 ). 4πr 2 ϱ(r) = 2 costant r, ovvro ϱ(r) = 2 4π costant r. La costant non è arbitraria: dv valr, infatti dalla (4): κ costant = κ R 2, ch fissa il valor costant dll ampizza dl campo lttrico al valor ch lo stsso campo assum immdiatamnt fuori dlla distribuzion sfrica di carica di raggio R. 5.) Du sfr carich uniformmnt (carica total ciscuna /2 raggio R/2) sono collocat ntro una sfra di raggio R anch ssa uniformmnt carica di carica total. Dtrminar il l andamnto dl campo lttrico pr distanz molto grandi risptto al raggio R. A grandi distanz (r R) il sistma è uivalnt a tr carich puntiformi allinat: du di valor /2 collocat a x = ±R/2 d una di valor collocata ad x = 0. In total il sistma è uivalnt a du dipoli lttrici allinati di vrso opposto ch gnrano una distribuzin di uadrupolo linar di carich (la carica total è nulla d anch il momnto di dipolo lttrico è nullo). Il potnzial avrà un andamnto dl tipo 1/r 3 d il campo lttrico dl tipo 1/r 4.